Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случае к внешним участкам контрольной поверхности и жидкой поверхности, обозначенными цифрами1 и 2, добавляются внутренние участки д, 4, 5, б, вырезающие части объема, занятые не жидкими чзстицами, а твердыми телами. Расход жидкости через эти дополнительные участки контрольной поверхности равен нулю, так ках твердые тела непроницаемы для жидкости, з количество жидкости, вытекающей из контрольного объема через поверхность 8, равно количеству жидкости, втекающей в него через поверхность 4 (эти поверхности расположены сколь угодно близко друг к другу и одинаковы по площади).
Итак, выделенный объем содержит только жидкие частицы. Уравнение (4.1) справедливо для любой частицы, находящейся в объеме и имеющей плотность о», объем»1У», скорость йГь т. е. 1(й» 1УЮФ = И;. (4. 2) где Л1㻠— равнодействующая внешних сил, действующих на частицу д Интегральное уравнение движения для всего жидкого объема У получим суммируя уравнения типа (4.2) по всем жидким частицам, заключенным внутри жидкой поверхности в момент времени 1: — (й(Р»ГУ) = — ~ П(Р'Л '= Дм (4.
3) з» з» г г где — йФ'ЫУ вЂ” полная производная цо времени от вектора сумк»,) марного количества движения жидкого объема; Яз — вектор равнодействующей всех вяешиих сил, действующих на жидкий объем в момент времени При суммировании„ силы взаимодействия между жндкнмн частицами, согласно третьему закону Ньютона, уравновешиваются, Поэтому, равнодействующая )аз в соответствии с (1,6) н (1.8) равна сумме внешних элементарных массовых — Ф»» и поверхностных— 1»»з»» „сил Лз=.УЬЙ,=»»1 +Ь»» — — ~7о»1У+ ~ г»18 з»»...з> Поверхностные силы должны суммироваться по жидкой поверхности. Однако поскольку в момент суммирования 1 жидкая поверхность совпадает с контрольной, то в дальнейшем удобнее считать, что суммирование ведется по контрольной поверхности 5»»„ль включа»ошей все участки 1, 2, Я, 4, 5, 6.
Сила реакции жидкости 1г — поверхностная сила, с которой жидкость действует на обтекаемые ею тела. По абсолютной величине она равна и обратна по знаку равнодействующей, с которой твердые тела (подвижные и кеподвижные) действуют на жидкость. В данном случае (см. рис, 4.1) взаимодействие происходит 61 на внутренних участках контрольной поверхности 5>+5г 5и,е>, а силы, действующие на 5э и 5ь взаимно уравновешиваются и сила реакции жидкости будет Ю вЂ” Ж (.„— ) д3 .—— — > ( И+ )' Ью), (4.4> в<а е> \,з>а 6) з>иг) где й — орт нормали к площадке Н5; 5>аз) — поверхность твердых тел, обтекаемая жидкостью.
Равнодействующая поверхностных сил, действующих на всю контрольную поверхность 5и..л> определяется по формуле Ьы г>=Аз<>,э>+йз>г е>=йе>пд) В где)7з<пг> — равнодействующая поверхностных сил, действующих иа части контрольной поверхности 1 и 2, через которые происходит обмен жидкостью между выделенным контрольным объемом и окружающей оредой. С учетом силы реакции жидкости интегральное уравнение дви« ження жидкого объема (4.3) примет вид: >~в+)~е<> г>+~в<э г> ~ +~за ю и м а ю и > ю Итак, на основании интегрального уравнения движения (4.3) илн (4.6) можно утверждать, что производная по времени суммарного количества движения жидкого объема равна сумме всех внешних сил, действующих на этот объем.
Это уравнение является самым общим динамическим уравнением гидрогазодинамики. Оно применимо для объема любой величины и для любого (даже разрывного) движения, при котором параметры состояния жидкости и характеристики движения претерпевают разрыв внутри объема. Это уравнение является исходным для расчета сил, действующих в потоках жидкости.
Расчетная форма интегрального уравнения движении для контрольного объема. Преобразуем полную производную по времени суммарного количества движения к форме, удобной для решения практических задач. Пусть в момент времени Г жидкий объем аанимает контрольный объем Ш+Г (см. рис. 4.1).
Обозначим суммарное количество движения жидкого объема в этом положении через К>=Й>п>+Кн. За время Аг жидкий объем переместится и займет положение 1+!1. При этом, под действием сил, его суммарное количество движения изменится и будет К~+и=-Ки+м+Йги+м. Тогда, по определению, производная по времени суммарного количества движения жидкого объема будет — 'равд)~ =цщ . Подставляя в это выражел ь>+и ег " и о аг нне значение суммарных количеств движения н группируя члены с одинаковыми числовыми индексами, получим К вЂ” к Й вЂ” к д ( у ~( ° и+ы и + ги+ы аис (4 7) Лг«ые аС ые аг Прн М-+О часть жидкого объема1ч+ы стремится к контрольному объему 11!+1 и первый член правой части (4.7) будет частной про-.
изводной суммарного количества движения жидкости в,контрольном объеме по времени (4. 8) ыс ас дскб Прн установившемся течении зта релнчнна равна нулю. Учтем, что контрольная поверхность Во„ ю состоит нз поверхностн авиа, через которую жидкость вытекает нз контрольного объема, н Яви †чер которую она втекает в него, а элементарная масса жидкости, отмеченная на рнс. 4.( штриховкой — йбв, Лг=й%ыИ,ы,Ы, получим, что второй член правой части (4.7) ;а Юо ьчеы — ои « ~ у о « ' -~,р,ао ы.а М звыа е представляет разность .между секундными количествами движения жидкости, вытекающей.нз контрольного объема н втекаюшей в него.
Величина ~й)Р'„Ж'й5 называется также потоком количества двиясенин жидкости, протекающей в секунду через данную поверхность. Подставляя (4.8) н (4.9) в (4.7), а результат в (4.3), получим расчетную формулу ннтегрального уравнения движения для контрольного объема: 'с' = — „«о'ю'йЬ'+ «йФМйЗ вЂ” «еФ'„ЮЖ (4. 10) т заик Я где ссв определяется формулой (4.6).
Первая теорем а Эйлера на основании (4.!О) устанавлнвает, что равнодействующая внешних сил лсв, действующих в данный момент на сиад»ость в контрольном объеме, равна иниенению во времени суммарного количества двиясения асад»ости в этом объеме (частная нроизводная но времени) плюс разность натанов количества движения асад»ости на выходе из контрольного объема и на входе в иегов.
д Г ' Уравнению (4ЛО) можно придать Форму йа ~ ОйМ + Юнге®~д. д1 к з(п2) Следовательно, количества движении, втекающее в коитрольиыа объем, прикато отрицательным, а вытекающее — положительным. Интегральное уравнение движения для контр о л ь и о г о о б ъ е м а в проекциях на ось х получим, подставив значение )сз из (4.6) в (4.10) и спроектировав его на ось ае й„=~ ХйаЪ'+(") тйЯ') + ~1 вЫЮ) — гс„ У4 = — ~ йиг(Г+ ~ йФ'„иг45 — ~ д)уг,,игУ8, (4. 11) где символ 5 у интеграла обозначает площадь контрольной поверхности, не соприкасавшуюся с ьи твердыми поверхностями, а проекция иа ось х сил действия жидкости на твердые поверхности, ЬИ, З ъ- 2 СОПРИКаСаЮЩИЕСЯ С КОНтРОЛЬНОй поверхностью. Задача 4,2. Напашите уравнение (4ЦО) У в нроскпнях на оси р и з длз неуставовившегося и установившегося течений.
л Сформулируйте для этих случзез первую теорему Эйлера. Рнс. 4.2, Контрольный объем для элементарной струйки Интегральные уравнения движения для произвольного контрольного объема элементарной струйки при установившемся течении в проекциях на оси х, р, з (рис. 4.2). Подставив в уравнение (4.11) д дг — мигз(' =О; ~ йз)Р„зизИ8 Ози„~ м1Фгпиф5=0,иг г 1 ~вх и Оз — О! — О~ получим уравнение движения в проекциях на ось х и по аналогии для осей у и з )~ах=о(из иг) )тик=О(тгз о~)~ (4, 12) ггзз О (шз иг~)~ т. е. проекция равнодействующей всех внешних сил, приложенных к струйке жидкости иа любом ее участке, равна проекции на ту же ось,разности потоков количества движения на выходе из уча. стка и иа входе в него или равна произведению расхода иа приращение проекций скорости.
Задача 4.2. Используя (4Л2) укажите необходимые и достаточные условия движений жидкости ускоренного, замедленного и без ускорения. Одной из важнейших задач гидрогазодинамики является определение сил взаимодействия между жидкостью и обтекаемыми те. лами, т. е, сил К Эта задача может решаться двумя способамн, Первый основывается на (4.4) и требует вычисления интегралов по поверхности тел от нормальных и тангеициальиых напряжений, что во многих случаях представляет непреодолимые трудности.
Второй способ основывается иа применении уравнения движения (4.1()) или (4.12). При установившемся движении н известных нли отсутствующих массовых силах искомая сила определяется только по состоянию потока на входном и выходном участках контрольной поверхности беа определения распределения нормальных и касательных напряжений по телу. Эта важнейшая особенность уравнения движения, кок видим, позволяет прн правильном выборе контрольной поверхности решать задачи, недоступные для первого способа. Поскольку в расчете используются силы и параметры течения только на внешней части контрольной поверхности, то внутренние ее части не рассматриваются — они были выделены лишь для обоснования метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
