Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 8
Текст из файла (страница 8)
д. и †'" + ъ †"' + ш †'" = ( йт - Ч)... †операт конвективиой составдк щ дк ляющей. Конвективная составляющая характеризует изменение параметра в пространстве в данный момент времени. Может отличаться от нуля как для нестационарпого, так и для стационарного течения д.-. д ~ д а= †-' /+ †'" у + †" к †операт Гамильтон». дк ду дк Задача ЗЛ. Запишите ииражеиие или Ге и Х,.
Линия тока. Это линия в пространстве, в каждой точке которой, в данный момент времени, вектора скорости частиц касательны (рис. Зй,а). Из условия параллельности вектопа скорости Ф'ивекторавлементалиниитока аУ=дхг'+Ну/+аяк следует, что УЖ = (аи/у — ес/я) /+ (идя — твдх) У+ (аХх — иву) к =О. Из условия равенства нулю проекций »того нуль-вектора получим дифференциальное уравнение линии тока Ых/и = Ну/о =-Ня/тв. (3.
9) Для построении линии тока, проходящей через точку А| (рис. 33,6), следует отложить соответствующие одному и тому же мо- ментУ вРемени вектоР скоРости Ф~ частицы Аь вектоР йти частицы Аь находящейся на векторе %'~ вблпзи А~ и т. д. Уменьшая длину отрезков полученной ломаной линии и увеличивая их число до бесконечности, получим в пределе линию тока. В установившемся течении положение линий тока в пространстве не изменяется и они совпадают с траекториями частиц. В неустаиовившемся течении положение линий тока может непрерывно изменяться н ие созна.
дать с траекториями, Элементарная ст~руйка. Труб ка тока. В движущейся жидкости выделим элементарную площадку с(8 (рис. 3.1,э).Через все точки площадки проведем линии тока. Полученный объемный лучок линий тока называется элементарной струйкой, а его боковая поверхность — трубкой тока. а о. й ,е ые ~ее~ Ер 1Н йр х, х Рис.
3.1. Линия н трубка тока б) Задача З,З. Докажите, что поверхность трубки тока удовлетворяет условию непротекания, т. е. непронанаеиа дая жидкости. Параметры жидкости могут изменяться только вдоль оси элементарной струйки и не изменяются поперек струйки. Последнеа объясняется тем, что сечения элементарной струйки могут бьггь выбраны столь малыми, что изменением параметров в них всегда можно поенебречь.
Однако, ори этом, поперечные градиенты скорости дУ/дг, температуры дт(дг н концентрации избыточного компонента дс1дг могут иметь любые конечные значения, т. е. в элементарной струйке может иметь место трение, теплопроводность и диффузия. Совокупность элементарных струек называется потоком жидкости. 3.2.
РАСХОД ЖИДКОСТИ. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ Объемным расходом жидкости Я, ма(с называется объем жидкостп, протекающий через данную поверхность в секунду. Из курса векторного анализа следует, что объемный расход через произвольную поверхность 8 (см. рис. 3.1,а) равен потоху вектора скорости Ц=~(У й)48=~ %'соза48= ~(ис(уди+'иФхФз+евдлх(у), (3, 10) где са — угол между лектором скорости 1Р и ортом внешней норма- ли а к элементарной площадке с(8. Живым сечением Я„называется сечение потока, каждая влемеитарная площадка которого нормальна к соответствующему вектору скорости. В этом случае (3.10) упрощается 9 =~ Кс(5. (3, 11) Массовым расходом жидкости О, кг1с называется масса жидкости, протекающая через данное сечение в секунду.
Если плотность в различных точках повервности одинакова, то массовый расход равен объемному„умноженному на плотностш О=®. (3. 12) Поперечным сечен и е м и о т о к а называется сечение площадью 5, перпендикулярное оси потока. Среднерасходной скоростью )рос называется постоянная для всего поперечного сечения потока скорость, при которой расход равен действителыюму, т. е. О=в~ Ж'соыМЮ=йЮ, 8, (3.
13) Выражение (3,!3) является определяющим для средиерасходной скорости )р.,=О1йо=ЕЮ=(1д ) )Рс з с(о. <3. 14) В элементарной струйке скорость йр в поперечном сечении постоянна, т. е. равна средперасходиой, и, если угол между линиями тока невелик, так, что соз аж 1, то расход рассчитывается по формуле О=ойрат, Вектор ойР= ) ОД ), кг/(ма с) называется п л о т н ос т ь ю т о к а и равен массе жидкости, протекающей через квадратный метр сечения в секунду, Задача З.З.
На основании рнс. 3.1,е и формулы <3.13) сделайте ааключенке об наменения плотности тока сжимаемой и несжимаемой жидкости в аавнснмости д от илощадн сечения канала при — = О. дс 3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСУИ Уравнение неразрывности (оплошности) выражает закон сохранения массы при учете сплошности движущейся жидкости и является одним из основных в гндрогазодниамнке. Лля жидкого объема закон утверждает неизменность его массы во времени (йт)с(! О). Для контрольного объема У с замкнутой контрольной поверхностью 8 (рис. 3.2), через который протекает жидкость, заключаем, что разность между массой жидкости, вытекающей из объема н втекавшей в него, равна изменению мамы жидкости в нем.
В неизменном контрольном объеме изменение массы может произойти 39 только за счет изменения плотности жидкости при иеустаиовившемся течении, т, е. ~ й(ЕУ)аг3= — ((дй/д() ЗЬ'. (3. 15) Формула Остроградского — Гаусса для произвольиого вектора а Ф г Гзи би заз п ат(Я=-', д(чаФ'= — ~г ~ — + — + — 1сй' (дл ду дл ) позволяет заменить в (3.!5) интеграл по иоверхиости интегралом ио объему и получить ~ ~ — +б1ч(ЕУ)14Р'=О. (3. 17) и Приравняв подыитегрзльиую функцию (3.!7) нулю, так как она ие. ьт прерывиа, а интеграл по произволь- ному объему равен нулю, получим 3 диффереициальиое уравнение не- разрывности Рис.
33, Контрольный объем 38 - ГЗГЕв) — = — д(у(еЮ)= ~ ( + бт дл +3(Ео)+З(ц )1 (3. 13) ду дл Дивергенция (расхождеиие) вектор» плотности тока (б(у(ейг)) представляет разность между массой жидкости, вытекающей из элементарного контрольного объема и втекающей в него, отнесенную к единице времени и объема.
Оиа равна локальной производчой от плотности. Задача 3.7. Определите размерность Жч (рУ). Задача 3.8. Объясните значение знака минус в (3.18), Задача 3.9. Используи (ЗЛ8) и (3.8) получите лифференянзльное уравнение неразрывности в форме з(р/о(= — р б(т (Ет). Задача зле. Получите урзвнеиис (336), рассмотрев протекание жидкости через элементарный контрольный объем с ребрвмн ил, йу, йи. Для различных течений уравнение неразрывности принимает следующие формы: для несжимаемой жидкости е=сопз1, де/сй=О, б(т (У) =да/дт+ до/ду+ дти/ди = О (3. 19) для установившегося течения до/д(=О я б(ч (Е)3') = д (Еи)/дх+ д (Ео)/ду+ д(йти)/да =О, (3.
2О) т. е. расходы жидкости, вытекающей из контрольного объема ьтз и втекающей в него б~„раппы. Следовательно, при установившемся течении в камиле расход жидкости через любое поперечиое се- ло ченне! — 1, 2 — 2,, ( — 1 одинаков и с учетом (3.13) можно запнсатзн %г = Оз =О; =01)Р1«р5з =РФ зер5з =яр)Р;чр5~ = сопл(. ДЛя ЭЛЕМЕНтарНОй СтруйКИ Прн уетаНОВИВШЕМСя ТЕЧЕНИИ Н (Ргср = В'1 О, =Цз=01=й,узт15, =йзФ;5з=йй'15р =сопя(. (3.
21) Для иесжимаемои жидкости не только массовый расход во всех сечениях одинаков, но и объемный расход (4г = 02=9,= Ф'15, = В'252= )р'р5с (3. 22) Задача Зл1. Укажите, чем определяется нзменепне скорости течения в канале для несжямаемой Н сжимаемой жидкости? Сопла и диффузоры. Каналы, н которых жидкость ускоряется ()зз>))21), называются соплами или коифузорами, а точения В ннх — конфузориыми. рнс 3 з тачанке между Каналы, в которых жидкость тормозит- лопатками ся ()»з<)р~), называются диффузорами, а течения в них — диффузорными. Для несжимаемой жидкости сопла — сужающиеся каналы (5з<5~), а диффузоры — расширяющиеся (52>5~). Для сжимаемой жидкости соплами могут служить и сужающиеся н расширяющиеся каналы, в зависимости от условий течения; то же самое относится и к днффузорам.
Задача ЗЛ2. Запишяте всеми зозможнымк способамп условяе несжнмаемо. стн прн течепнн, Задача З.Ш. Опишите свойства жидкости н характер ее двнжеяня для трех случаев. а) 41»(йг)=0; 0) 01»(ейр)=0; в) с)1» (0)Р)= — 2 кг((мз с). задача зл4. докажите, что расход воздуха через канал между двумя ю. паткамн 1=~0,02 и высота (по нерваля к чертежу) а=0рОЗ ж, )Р1 =200 м/с, р~.= .6 кг)м* и а=30 разек О=ел кг)с (ряс.
ЗЗ). 3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОИ ЧАСТИЦЫ Для ~выяснения,кииематическнх особенностей движения жидкости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью )(У= =)»'(г, () разложить иа простейшие. Как известно, скорость произвольной точки твердого тела Ф всегда может быть представлена как векторная сумма скорости 17о поступательного движения полюса О и скорости вращения (шХгс) вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс: Ф'= Фо+ (. Х гс).
(3. 23) Движение жидкой частицы является более сложным и определяется следующей теоремой. Т е о р е и а К о ш и — Г е л ь м г о л ь ц а. Скорость движения (»' любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно раосмат- рнвать как результат сложения векторов скоростей более простых движений '. 1) скорости нвазнтвердого движения, представляющей сумму скорости В'о поступательного движения вместе с произвольным полюсом О, находящимся и самой частице, и скорости вращения частицы (гоХга) около собственной оси, т. е. оси, проходящей че« рез полюс О (3.23); 2) скорости 1е'в деформациониого движения, изменяющего форму и размеры частицы: К =Ус+( Хго)+Ф,.
(3. 24р Рис. ЗЛ. деформации элемента жидкости Наличие или отсутствие деформапионного и вращательного движения жидких частиц определяет качественно отличные модели движения жидкости, На рис. 3.4 совмещены в полюсе О две лроекцнн на плоскость ху элементарного жидкого параллелепипеда с ребрами дх, ду, Из в начальный момент движения г и в момент 7+д7 после перемещения в оростраистне, деформаций и вращения.
Для наглядности на рис 3.4,а представлен результат лишь линейной деформации удлинения ребер, а иа рис. 3.4,6 — только деформации сдвига ребер н вращение элемента. Пусть проекции скорости полюса О в начальный момент времени и н о. Проекции скоростей точек А и С в общем случае будут ил=а+(ди7дх) гГх, од =о+(до/дх) сгх, ис=и-(-(ди(ду) ду н ос=тг+(дцгду)аЪ. Скорости.относительной лип ей н ой дефо~р м а ц ни. Точка А движется относительно полюса О вдоль оси х со ско. ростью (ди~дх)Их. Зто вызывает линейную деформацию удлинения или укорочения ребра ОА, равную АА'= (ди~дх)сЫг, Аналогичное рассмотрение линейных деформаций вдоль осей у и г позволяет ~ Докааательстэо теоремы Коши — Гельмгольиа, Стокса, этороа теоремы Гельмгольца и теоремы Томсона можионаати и унебиика' по аэродинамике; см„ например, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
