Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 10
Текст из файла (страница 10)
путь вновь, если нх не было, ни исчезнуть, если они имелись. Это следствие теоремы Томсона называется теоремой Лагранжа. В действительности вихревое движение постоянно возникает и рассеивается. Но это всегда связано с нарушением какого-либо из условий теоремы Томсона. Например, водовороты за нормой корабля, вихревое движение в пограничном слое, вихри за крылом самолета возникают и рассеиваются под действием снл трения— сил, ие имеющих потенциала. Вихри за ударными волнами появляются вследствие нарушения непрерывности поля скоростей. Возникновение вихрей у нагретых поверхностей объясняется нарушением баротропности.
Теорема Томсона имеет большое значение для понимания многих закономерностей практически важных течений. Большинсвво течений развивается нз состояния покоя или равномерного и прямолинейного течения, при которых вихри отсутствуют. В первом приближении, если влияние трения не велико, в соответствии с теоремой Томсона, вихри будут отсутствовать н в дальнейшем, несмотря на то, что в большинстве случаев, частицы жидкости, например, обтекая тели, начинают двигаться по криволинейным траекториям. Теорема Гельмгольца о сохранении вихревых л и н и й.
Если принять условие теоремы Томсона, то можно утверждать, что: !) интенсивность вихревой трубки во все время движения остается постоянной, 2) интенсивность .вихревой трубки постоянна вдоль всей ее длины, т. е. циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему трубку, постоянна. Если величина вихря скорости по сечениям вихревой трубки не изменяется, то основьваясь иа теореме Гельмгольца и формуле (3.39), получим Ю, го( Ф,=Я, го1 У,=сопз1; Б а,=Яр;=05сопз1. (3. 41) Следствия теоремы Гельмгольца: 1) чем меньше площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вихревой трубки.
Однако, сечение вихревой трубки, нигде не может быть равным нулю, так как в этом случае интенсивность вихревой трубки была бы равна бесконечности, что физически ие выполнимо; 2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости — онн либо замыкаются на себя, как кольца табачного дыма, либо опираются яа свободную поверхность жидкости нли твердого тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность, Тот хорошо известный факт, что водовороты не всегда доходят до диа, а исчезают в толще жидкости, илн, вихревые шнуры от крыла самолета сохраняются лишь ва конечном расстоянии, а не уходят в бесконечность, объясняется влиянием вязкости, приводящей к диффузии завихреииости через поверхность вихревой трубки и затуханию ее в окружающей среде. 47 3.6.
БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ Единственным условием безвнхревого движения является от- сугствие вращения жидких частиц относительно собственных осей. При этом частицы могут двигаться по любым траекториям и де- формироваться. Математическое выражение этого условия полу- чим, положяв .в уравнениях (3.33) в,=а„=а,=О нлн ди/ду = ди/дх; ди/дх = дтэ/дх; ди/ду=дп/дх. (3.
42) Потенциал скорости. На основании (342) заключаем, что скорость а случае безвихревого течения нмеет потенциал, т. е. функцию. координат ф(х, у, г), частные производные которой по любому направлению п н, следовательно, по координатным осям равны соответствующим проекциям вектора скорости дф/ди=В'„; др/дх=и; др/ду=п; дф/да = и. (3. 43) Потенциал скорости полностью определяет поле скоростей Фа=из+и'+яр=(др/дх)'+(дф/ду)'+(др/дх)' и йгабф=Ж'. Поэтому безвнхревое течение жидкостя называют также по- тенциалн ал ь н и м. Справедливость равенств (3.43) доказывается подстановкой значений и, о и э з (3.42), н результате чего полу- чаются тождества вида дзф/дудх=саф/дхду.
Эквипотенцнальные поверхности н линии. Это поверхности для пространственного и линии для плоского движе- ний жидкости, для которых потенциал скорости Умеет постоянное значение ф=С, Й~=О. Умножая равенства (343) соответственно на их, ду н Ыз, складывая н прнравннвая дф пулю, лолучнм урав- нения эквнпотенцнальных поверхностей в,пространсзне х, у, х и линий в плоскостн х. у: Фр = (д р/дх) Фх+ (дф/ду) ду+ (дф/дх) Фх = = идя+ оду+ п да =0; (3. 44) др =(др/дх) Ых+ (др/ду) ду = иЫх+ оду =- О.
Сопоставляя (3.44) н (3.9) заключаем, что эквипотенцнальные ли- няя и линии тока артогональны, Уравнение Лапласа для потенциала скорости прн пространственном н плоском течении несжимаемой жндкостн цолучнм, подставляя значения и, и, ю по (3 43) в уравнение нераз- рывности (3,19): чар = дар/дх'+д'р/ду'+ д'р/дл' = 0; (3. 45) 7'ф=д'ф/д '+Ю /дуз=О.
Определенне поля скоростей для потенциального течения несжи- маемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа (3.45). Граничным условием при обтекании твердых тел является условие непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей ско- рости па поверхности тела Б' =(дф/дл)м=О 3.7. БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Использование этой модели позволяет аналитически получить искомое поле скоростей (р= йг(х, у) для многих практически важных и сложных видов течения жидкости. Достаточно сказать, что именно эта модель была нопользована Н. Е.
Жуковским при создании теории подъемной силы крыла, Функция така. Это функция координат ф(х, у), частные производные которой имеют следующий вид дф'дх= — еч дф/ду=и, (3. 46) Отсюда следует, что йгг=иг+ог= (дгр/ду) г+ (дф/дх) г н функция тока, также как потенциал скорости, определяет поле скоростей рассматриваемых течений н удовлетворяет уравнению неразрывности несгкимаемой жидкости (3.19). Уравнение линии тока гр=сопз(, дую=О. Умножая равенства (3.46) на Ых и ду, складывая и приравнивая сумму нулю, получим уравнение Щду) Ыу+(дКдх) ух= гт(~= иду — пух=0, (3, 47) которое,в соответствии с (3.9) представляет собой уравнение семейства линий тока, ортогональных эквинотенцнальным линиям (Рнс, 3.6).
Физический смысл разности двух значений функций тока (грг — ф1). Объемный расход жидкости е(1;! через произвольную площадку 4В высотой ЛЯ=1 и, расположенную между двумя линиями тока ф н гр+бф (см. рис. 3.6), есть сумма двух расходов: дЯ=иду+ ( — пах).
В соответствии с (3.47) э. ск)=др и 0= 1 А=12 71 (3. 48) Итак, разность грг — Ф есть объемный расход жидкости через площадку высотой ЬЛ 1 м, расположенную между линиями тока гр1 и фг. Уравнение Лапласа для функции тока. Для принятой модели течения функция тока является гармонической функцией. Используя определение функции тока (3.46) и условие потенциальности течения (3.42), получим уравнение Лапласа для функции тока дгЕУдхг ! двУдуг 0 (3.
49' Интеграл этого уравнения представляет семейство линий тока гр(х, у) =С Конкретное значение постоянной интегрирования соответствует определенной линни така. Граничным условием является совпадение одной нз линий тока с непроницаемой для жидкости поверхностью обтекаемого твердого тела (при внешней задаче) или с поверхностью канала (при внутренней задаче).
Эта линия тока ф,(х, у) =С„, называется нулевой. С в я з ь м е ж д у п о т ем ц и а л о м с к о р о с т и «р(х, у) н ф у н к ц и е й то к а ф(х, у). Сопоставляя формулы (3.43) и (3 46), получим д«р/дх=д(«/ду=и, др/ду= — д(«/дх=о, (3. 50) т. е. «р и «р с точностью до произвольной постоянной однозначна связаны, между собой и полностью определяют поле скоростей. Итак, непосредственное определение поля скоростей заключается в решении уравнения Лапласа (3.46) или (3.49) для определе» ння «р(х, у) или «р(х, у), удовлетво- т ряющнх граничкым условиям дант« ° ',м,л ной задачи*.
Однако в большинстве случаев это является невыполнимой задачей. Поэтому используется — косвенный способ решения задач. «па ч, л'«гз ! « ', и Выбирается произвольный потенци. +. у, ал скорости «р(х у), который удов- летворяет уравнение Лапласа, и 4 ! ', ' ' строится картина линий тока.
Если некоторые из линий тока совпадают с твердыми поверхностями канала (при решения внутренних задач) или обтекаемого тела (при решении Рис. З.б Линни ока («р С) я а ) бр а зквипотенциальные дющи «у=с) (зуикция удовлетворяет граничным условиям задачи и является ее решением, В этом случае поле скоростей определяется по формулам (3.43). Если же не будут найдены линии тока, совпадающие с твердыми поверхностями, то выбранная «р(х, у) не является решением задачи.
Простое угадывание решений достаточно сложных задач не выполнимо. В этом случае используются метод наложения полей и метод конформных отображений. 3.3. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ИЛИ СУПЕ(зПОЗИЦИИ ПОЛЕИ ТЕЧЕНИИ В силу линейности уравнения Лапласа его решение для сложного сечения может быть получено наложением ряда простейших полей, для которых известны потенциалы скоростей «р«, «рз,... или функции тока фп «рз ...
Потенциал скорости «р и функция тока фсинтезируемого или ~результирующего поля определяются алгебраическим, а вектор скорости — геометрическим суммированием исходных значений: „+~, ) „., (=)« ~.~,+„.; )р =У,+Уз+... (3.51) Задача 320. Используя уравнения Лапласа для результирующего и исходных потоков, докажите справедливость (3 5! ) . з Следует иметь в виду, что функция тока «р существует в любом неразрывком течении, а потенциал скорости ф — только в безвикревом, Примеры простейших течений.
Рассмотрим некоторые простейшие течения принятой модели 1см. и. 3.7). Поля скоростей авданы, Задача состоит в определении потенциалов скорости и функций тока с тем, чтобы в дальнейшем испольэовать эти течения для синтезирования более сложных. 1, Плоскопараллельиый ноток. Пусть вектор скорости )Р'=сонэ( и линии тока составляют с осью х угол сс. Тогда и= Рис. 3.7. Источннк и сток =)$' соэ сс=~сопэ1 и п= йу э)п и=сонат, Иитеприруя уравнения (3.44) и (3.47), получим выражения для потенциала скорости и функции тока ф=их+пу, о=иу — их. (3. 52) При <р=С и ф=С выражения (3.52) превращаются соответственно в уравнения эквнпотенциальиых линий и линий тока у=С/и — (и/и) х; у=(я/и) х+С/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
