Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Г. Лоаиимскиа. Механика жидкости и газа. 1'г,. Наука, !97З, 736с. рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине ребер, в секунду, т. е. скоростей линейно1х деформаций и„, и„, и, вдоль соответствующих осей координат: а =АА'(т/а=да/дх; ау=дтт/ду; а, =дм/дх. (3. 25) Объемная деформация состоит в изменении объема ай'=ахХ Хс1Уйх параллелепипеда на величинУ 6$'=61'„+6)тв+6У, за счет удаления нли сближения противоположных граней. Учтем, что АА'= (ди/дх)Нхат и подсчитаем составляющую объемной деформации за счет изменения длины ребра йх по очевидной формуле, а для ребер с(у н йх — но аналогии 3)г „= А А'с/ус/ = (ди/дх) с/) гс/1; 61 в=(до/ду) а~ д/ 6~ г=(дп1/дх) д) ат Скорость относительной объемной деформации е представляет изменение объема частицы, отнесенное к ее первоначальному объему и времени деформации: е = И/(с(нтг1) = да/дх+до/ду+ дтт/де = 61ч Ф'= а „+в„+ а,.
(3. 27) Для несжимаемой жидкости е=бЫ'=О. Задача 3.15. В точке х, у„а потока р=сопв1, дн/да=0; дгг1дг= — В2с '. Определите оо/ду и опишите деФормвпнв частицы. Задача 3.16. В точке х, у, а е,=02; ее=04; е,=02. Определите свойства жидкости н величину объемной леформацин. Скорость относительной деформации сдвига и угол поворота частицы (рнс. 3.4, б). Движение точки А параллельно оси у со скоростью о+(ды/дх)дх можно представить как движение вместе с полюсом 0 со скоростью о и относительно полюса со скоростью (де/дх) их. В результате относительного движения ребро ОА за время дг повернется на бесконечно малый угол 4ФА (ямкд = АА'/дх = (дп/дх)свахе/1/йх=(до/дх)сК гъналогично ребро ОС йовернется на угол ирс — — ССв/Фх=(ди(ду)ат. Общая относительная деформация сдвига частицы или деформация скашизания прямого угла А0С в А" 0" С' происходит в одинаковой степени под действием тангенциального напряжения т„„и т„и равна ара+сФс=(до/дх+ди/ду)йт'.
Обозначив скорость суммарной относительной деформации сдвига, вызванной с„„, через 6 в=(доке+ +дул)/дг, а вызванной т„,— чеРез 6вг=Щ +с/Рл)/йю, пРиходим к закл1очению, что они равйы 6„„=6„„. Рассуждая аиалогич.ю найдем скорости относительных деформаций сдвига в плоскостях хх и ух: 6„а=О„„=дп/~дх+ди/ду; 6„,=6,„= =да~/дх+ди/дх; 6,=6гв =да/ду+да/дх. (3.
28) Итак, получены девять скоростей относительных деформаций (3.25) и (3.28), из которых шесть тангенциальных попарно равны (3. 29) Вращение частицы около собственной оси. Определим угол с(Т, поворота частицы в плоскости хоу около собствеи. ной оси, проходящей через точку О параллельно оси ц Совместим (см. рнс. 3.4,б) параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и запишем очевидное равенство Фс+г/Т.=4 — г/Т„ (3,30) отсюда ЫТ, =0,5(арл — ЫЯ=О 5(де/дх-ди/ду) ах.
(3. 31) По аналогии для вращения около осей, параллельных осям х н у, получим ду, =0,5 (дхе/ду-де/дх) г//; г/Те=0,5 (ди/дх-дте/дх) д1. (3, 32) 3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Вихревым называется движение, сопровождаемое .вращением частиц жидкости около собственных осей. Проекции угловой скорости вращения частицы на оси и, у, г найдем как го ду„/йг; гое =с(уи/г(1 и го, ггу,/сй в соответствии с (3.31) и (3.32) е,= 0,5 (дп/дх — ди/ду); =0,5 (ди/да — дев/дх); ы, = 0,5 (дсе/ду — до/дх). (3.
33) Интенсивность вихревого движения частиц жидкости характеризует вектор угловой скорости =;Р+чгч-;,; =ЕЦ+~~~'„(з.м> а также ротор вектора скорости или вихрь скорости .сч Гдге до 1. Г дн д го()ге= р х Ф =1 — — — 11+1 — — — 1/+ 1 ду дх' ~ 1 дл дх ~ +( до ди) (3. 35) Вектор угловой скорости и ротор вектора скорости направляют перпендикулярно плоскости вращения частицы, т. е. вдоль оси вращения так, чтобы со стороны острия вращение частицы было бы направлено против часовой стрелки. Движение, в котором отсутствует вращение частиц жидкости около собственных осей, называется беввихревьгм или иотенгдиальиыхг. Задача 8.17.
Испольауи рнс. 1.5, опрехелите величины к направление угловых скоростей вращения частиц жидкости н величины вихря скорости в сеченкях х~ и хх прк 0=01 ОД0; 1Дб. Укажите на рнс. !.5 области вихревого н бсзвххревого теченкй. Ответ: ы. 0,5го1к= — (1,5 10', 5,0 ° 10'1 0; 7,5 10о1 3,13 1Ое; О). Вихревая линия, вихревой шнур и вихревая т р у б к а. Эти понятия .используются для геометрической характеристики поля векторов угловых скоростей вращения частиц жидкости и установления связи между этими частицами.
Эти понятия аналогичны понятиям «лииия тока», «элементарная струйка» н «трубка тока». Поэтому иллюстрацией к их определению может служить рис. 3.1, если иа нем вектор У мысленно заменить вектором угловой скорости о, Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой и данный момент времени вектора угловых скоростей касательны, т.
е. это в общем случае пространственная криволинейная ось вращения всех частиц жидкости, находящихся на ней в данный момент. Аналогично уравнению линии тока получим уравнение вихревой линии ~а~гй) = О; г1х)~од =г1~~та =-г1а~~» ° б Я.35) гз ь~, Вихревой гпнур представляет собой объемный пучок вихревых линий, проведенных через все точки вы- ф~ бр анной площадки. В Вихревой трубкой называется поверхность вихревого шнура. Прп бесконечно малом контуре вихревая трубка называется элементарной, рис зд, циркуляции оио- Иитенсивность или напри- рости жение них рев о го шнур а. Интенсивность вращении твердого тела определяется величиной угловой скорости а, которая постоянна для всех его точек. В потоках жидкости, в вихревых шнурах конечных размеров частицы жидкости могут вращаться с разлнчнымн по величине и направлению угловыми скоростями.
Поэтому интенсивность Г(мыс) вихревого шнура оценивается потокам вектора вихря скорости нлн удвоенным потоком вектора угловой скорости череа площадку данного поперечного сечения его 1см. (3.35)): Г= ~ а го1 УЫЮ =2 ~ йМЯ. 13. 37) Существенным недостатком рассмотренной оценки интенсивности вихревого шнура является невозможность экспериментального из. мерения векторов в и го1 3' современными .приборами. циркуляцией скорости Г~ по за м кнутом у конту. ру 1 в векторном поле скоростей 1рис.
35) называется интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора скорости У на соответствующий вектор элемента контура Л: Гг — -ф Фп'1=ф%'соз и11=ф(пол+Му+ачуа), (3,38) у '1 здесь а — угол между вектором скорости н касательной к контуру в данной точке, Для определения знака циркуляции выбирают положительное направление обхода .контура, например, против часовой стрелки. Циркуляция скорости по замкнутому контуру 1 1см. рис. 3.5) равна сумме циркуляций по произвольным контурам А, зз, гз, ... размещенным внутри контура (, т.
е. Г1- — Ге +Г~ +Г~ +Ге, Это объясняется тем, что при подсчете циркуляций для отдельных контуров, общие участки проходятся два раза с противоположными знаками, качс это показано стрелками ла рис. 3.5. Циркуляция скорости дает возможность оценить интенсивность вихревого шнура с ьтомощью легко измеряемого на практике вектора скорости. Теорем а Стокса утверждает, что интенсивность вихревого мьиура равна циркуляции скорости но замкнутому, контуру, опоясывающему вихревую трубку один раз цо ее поверхности так, что его можно стянуть в точку не выходя за пределы жидкости Г=~(Р' Ы(=~лго(Фд5=2~ лЫЯ.
(3.39) с Следствия теоремы Стокса. 1. Если контур охватывает несколько вихревых трубок или областей, то циркуляция скорости яо этому контуру равна алгебраической сумме циркуляции ао контурам, охватывающим каждую вихревую область отдельно. 2. Если внутри рассматриваемой области течение безвнхревое, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру з этой области равна нулю. Однано, если циркуляц1тя по некоторому замкнутому контуру равна нулю, зто еще ле значит, что течение безвихревое1 интенсивности вихревых трубок величины алгебраические, поэтому они могут дать в сумме ноль и при вихревом движении. Задача 3.18.
Докажите, что вращение жидкости по закону нг сопз1 во всей области, исключая ось вращения, яаляетсн потенциальным движением (для зтото достаточно доказать, что циркуляция скорости по произвольному злемеи. тарному контуру высотой Лг, лежащему между радиусами, равна пулю). Задача Зла. Решите задачу 3.17, определяя цнркулкцию скорости по злементарным контурам в соответствующих точках. Теорема Томсона нли з а кои сохранения циркул я ц и и с к о р о ст и утверждает, что если: 1) силы, действующие в жидкости имеют потенциал; 2) идеальная жидкость баротропиа ', 3) поле скоростей непрерывно, то циркуляция скорости ло любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения жидкости ет Г/си=о т.
е. ири выполнении условий теоремы, вихри не могут ни возннк- ' Баротропными называются жидкости, в которых плотность есть функция только одного давления р Ф(р), например, прн течении несжимаемой жидкости Ф(р) =сопз1, прн нзотермкческом течении Ф(р)=Ср, при течении, сопровождаемом цолнтропическим процессом Ф-Сро', где я-показатель полнтропы. Йлв баротронной жидкости характерно, что термодннамяческий процесс во всей области течения одинаков. Бвроклнииыми называются жидкости, в которых плотность не является функцией только давления. Например, ири местном нагревании жядкости р Ф(Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
