Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(3. 53) Если поток параллелен оси х, то В"=и, о=О, и иа (3,52) соответственно получим ф=Ф'х; $=%'у; х=с/)$"; у=с,/Ф'. (3. 54) Задача 3.21. Определить уравнения линий тока н величины векторон скорости исходных потоков № ! и № 2 и результирующего № 3, если заданы потенпиалы скорости ф~=4х+ту н фз= — 2х — 4у, Изобразить течении в плоскости хоу. Ответ. Линии тока 1) у 0,$х+с/4; 2) у 2х — с/2; 3) у= — х+с/2; Скорости 1) н1 = 4; о1 2; В'~ж 4,$; 2) нз = — 2; оз — 4 В'з 4 $; 3) и =- 2; сч = — 2' Итз 2 8.
2. Плоский точечный источник к сток. Пусть ось г представляет совокупность бесчисленного множества точечных источников. В плоскости хоу эта совокупность проектируется в виде плоского точечного источника, расположенного в начале координат (рис. 3,7). Жидкость растекается иэ этого источника вдоль линий тока †прям лучей ф=сопэ1 — во все стороны плоскости.
Эквипотенциальные линни представляют'окружности с центром в начале координат. Мои4яостью источника наэываежя секундный расход жидкости, прнходя1цийся,на один метр оси г — Я, и'/(м.с). Скорость жидкости в любой точке окружности радиуса г равна ра- $1 днальной (%'=Ж'») и определяется во уравнению расхода (3.22) н (3.48), а ее компоненты — иэ простых геометрических соотношений Ф = Ф; =- 1',1/(2нг) = Н)/(гс/9) = Фф/(гт/9); и = Ф' соэ 9=. (ф2п) [х/(хи+у')]; о= Ю э(п 6 = (3. 5б) =Ю )(у/( '+у')) где гс(Π— элемент дуги между двумя линиями тока, расход жидко' сти между которыми Ы()=дФ.
Используя уравнение (3.55), определим для источника и стока потенциал скорости и функцию тока с точностью ло постоянной ЩЙ'=Ф',=Ф', у=((1/2п) 1пг=Я/2гс)1п)/х'+у', (3 58) т/у=(с1/2п) Ы6; (» = Д/2ц) 6 = Я/2я) атс18 (у/х). Течение в сток направлено обратно — от 'периферии в начало координат. Мощность стока принимается отрицательной Я<0), На основании фор- 3» мулы (3.55) заключаем, что о скорость обратно пропорциональна радиусу н в начале координат обращается в с-,~ г ~ Яэ бесконечность.
В реальных те» ~ т в, течениях бесконечно болье с шие скорости недостижимы, ! и»ае Поэтому источник и сток называются гидродинамис» с; 1 Ни ческнми особенностями, че° ' и»„.» К ни реэ которые можно провес- ти бесчисленное множество Рис. 3.6. Потенциальный вихрь линий тока. Потенциальный а и х р ь. Течение индуцируется вихревой нитью, совпадающей с осью г. На плоскость ху эта нить проектируется в начало координат как точечный вихрь. Линиями тока ~9=С являются концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 3.8); эквипотенцнальными линиями ф С вЂ” лучи, исходящие иэ начала координат. Запишем выражение циркуляции скорости для окружностей — линий тока: Г = 2яг(9»„= 2ттгс(»р/о»/= 2пгсгу/(глэ) = сонэ1, (3.
57) где 1Г„ †окружн скорость частицы .иа окружности радиуса г. Радиальная составляющая скорости %'»=О. В соответствии с теоремой Стокса циркуляция скорости по линиям тока любых радиусов будет одинакова, так как все они охватывают лишь один точечный виврь, тогда Ф„= ГДпг=сопит/г= Ф„г,/г, (3. 58) т. е. окружная скорость частиц обратно пропорциональна расстоянию от точечного вихря, при г-»О (Р'„-ьоо.
В реальных условиях бесконечно большие скорости недостижимы, поэтому точечный вихрь, так же как источник и сток, является гидродинамической особенностью. Докажем, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, не охватывающему точечный вихрь, например, по элементарному контуру 1, 2, 8, 4, ранна нулю т( Гт я и а — ((Тгв+ ту(Тгв) (г+ 4г) т(9 — 'тьонгс(9= = т(ва(( тттиг) = с(вт( (сопи!) = О. Контур 1, 2, д, 4 выбран произвольно, поэтому иа основании первого следствия теоремы Стокса заключаем, что вся область течения, за исключением точечного вихря, потенциальна.
В этой области всв жидкие частицы двнжутся поступательно по криволинейным траекториям, деформируются, но ие вращаются около собственных осей. Если мысленно п~ровести на поверхности элемента линию, например 1 — 3, то по время движения эта линия будет параллельна своему начальному положению, как стрелка компаса, вращаемого.
по окружности. Определим потенциал скорости и функцию тока с точностьюдо постоянной, интегрируя уравнения (3.57),н (3.48): р= — 6= — агс(8 —; Ф= — !пг= — (п)/ха+ус. (3. 59) Г Г у Г Г 2н 2н л 2н 2н В этих формулах циркуляция скорости Г характеризует интенсивность точечного вихря.
В реальных случаях потенциального вращения жидкости вместо точечного витаря имеет место ядро вихря с конечным радиусом га. В ядре вихря жидкость вращается по закону вращения твердо. го тела то 9(т„уг сопи( и максимальная скорость имеет конечное значение К,=ыга (пунктир на рис, 3.8). 3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИЗ ПРОСТЕЙШИХ Д.чя того, чтобы синтезировать циркуляцнониое обтекание тела- любого контура заданным плоским потоком, следует так подобрать распределение особенностей (источников, стоков, вихрей) внутри этого контура, чтобы оин деформировали заданный поток так же, как исследуемое тело.
Прн этом необходимо выполнить следующие. условия: алгебраическая сумма расходов источников н стоков должна равняться нулю; одна из линий тока (нулевая) должна совпадать с .контуром тела; общая напряженность присоединенных вихрей должна равняться циркуляции скорости по любому контуру, охватывающему тело.
Пример П Диполь. На рас. Зв даны линни тока течеаии, полученного наложением источника Л н стока В одинаковой ионтиости я. Вследствие смещении источника и стока от начала координат, их потенциалы скорое~и и фущгцни тока в соответствии с формуламв (3.56) примут вид ев»в Я/2л) !п )' (х + в)г+ Уг; Ф„= (г!/2л) агс!и (У/(х+ в))! у,= — (!.')/2л) !о р (х е)г Л у".; Ф, — — (1;)/2л) агсгц[у/(х — в)). Для результирующего течения ф=ерв+фс и ф=ф„+фс. Если нсточинк и сток сближать, сохранен постоянной мощность, то при их совпадении (е»0) течение прекратится — сток поглотит источник. Рис.
3.9. Взаимодействующие источнык Л, сток В н ди- поль Диполем (см, рис, 3,9) называется течение, возникающее прн одновременном стягивании источника и стока в начало координат (е †»О) и увеличении их мощности Я-мю), но так, что момент диполя М=!пп 2(). е сохраняет постов-»О Я яыное зиачеыие: ~ »ТГ»ыг»»' — 1»'(* — ) -.-»' Пщ е-»О 2е М »С) ° 0 с ф»-» агс!ы — агс1п— У У х+е х — в М Фхвв 1ещ(фв+ Фс) .= —. ° - О с 2л,о 2е 0-» Рассматривая в этик уравнениях 2а как приращение аргумеыта, а числитель— как приращение соответствующих фуннцый, получям М д Мд/ уэ уевв = — (1и тг ха+ Уг); Фе„в =- — — !асс!и — /! . 2л дх 2 д Выполняя дыфференцировавие, получим потенциал скорости и функцию тона ре.
зультирующего течения — диполя М х М созе 2л хг+ Уг 2л г М у М 5!па 2л хг+ Уг 2л г где 0 — угол между радиусом-вектором точки и осью х. Семейство линий тока Ф=С, хе+У'=Су представляют окружности с цеыгрпни нв оси у, проходящие через начало координат; эивипотенциалыыме ляпин Ф=С, хе+уз Сх — окружнасти с центрами па оси х, проходящие через начало координат.
Вследствие равенства мощности источника н стока результнрующяй ноток жндкостн через замкнутый контур, охватывающий диполь, равен нулю. Это свойство обеснечнвает широкое прнмененне дяполя для сннтезяразаняя еще более сложных теченнй жнлвостн около твердых тел. Задача 3,22.
Докажите, что мх, н фх„(3.60) удовлетворяют уравненаю Лапласа. Прнмер 2. Поперечное обтекание бесконечно длинного кругового цялнцкра, радиус которого ге. Рассмотрим зто течение как плоское и покажем, что она Рпс. 3.10. Поперечное обтеканне ци- Рнс. 3.11. Цпркулнцнонпое обтеканпа лнндра идеальной жндкостью цилиндра может быть представлена кзк результат наложения плосконаралаельного потока (Мря ~рц ф~) И дпнапя И=2КГ»»ОГО 6Ч1 фь Онрсдапвы ПатсяцяаЛ СКараетп <р П функцию тока ф спнтезяруемого течения с нспальзаваняем формул (3.54), (300) н значения М: (3.
61/ Формула (3.62) описывает распределение скоростей по поверхности цнлпнлрж В точках Л н 3 прн В=п и В=О скорость равна нулю. Точха А называется передней критической точкой. В втой тачке поток раздваяваетса, Точка В, в которой потоки вновь соединяются, называется задней критическая точкой, Задача 3.23. Для случая обтекания бесконечного цилиндра (см. рис. ЗЛО) требуется: 2 = 'Р1 + Рз = (Р~ (х + гДх/(х~ + У )1 .. Ф; (г + гсз/г) сов 6, ф= фг+ фа= Зг1 (у- готу/(хт+ уз)~ = (~1 (г — гзт/г) з1п 6. Выделим из семеаства линнй тока 1) С нулевую ф 0: у(1 — г»»/(к'+у»))=0. Нулевая лнння тока представляет совокупность акружностя радиуса ге, воспроизводящей нантур обтекаемого цилиндра, и прямой у=О, совпадающей с осью л (рис.
ЗЛО). т. е. удовлетворяет граннчным условням задачи. Радиальную Иг, п окружную 6Г„ скорости найдем па определенюа %'г др/дг = Зг1 (1 — гот/гз) соз 6; ЗГи = др/д/ = (др/гдр) = — Жг (1 + ге/гз) з(п 6; $',>О, еслн направлена в сторону узелнчеиня г, я МР О, если соответствупг положительному направленню вращения (протнв часовой стрелки). На бесюимчнам удаленнн ат цилиндра (г-н-са) как вдоль осн х(В=О н В=м), так н вдоль 3 оси у(В=п/2 н 6 —.- — и/н прн любам В ямеет места пласконараллельнае те. 2 ченне невазмущенного патака со скоростью (У =Оуь Поэтому ескорасть нв бесконечности от тела %' » н кскорость незозмущеонаго патака %» язляютса синонимами.
Нз стенке цилиндра при г гс,' )Р = — 0 в 1(г= 1уи — 2(Р1 з|п 6. (3. 026 1. Доказать, что прн г щ и углах В=90 и 220' окружная скорость йг = тй)рь пРи 6=30' ЗГ„= — й«, к РвднальнаЯ й«,=0. 2. Обьяснить причину увеличения скорости при В=90 н 270'. 3. Доказать, что уравяение линии тока, проходящей через точки х=0, у= 2«, имеет вид у — «Ру/(хе+уз) =Згь/2, а расход жидкости между этой лйиыей тока н нулевой линией тока (г=З)У~«ь/2. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
