Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Указать положения критических точен А и В в случае, когда поток будет .направлен под углом 30' к осн х. Пример 3. ((иркуляциовное обтекание цилиндре (рис. 3.11). Цнркуляцнояное обтекание бесконечного цилиндра получим наложением полей соответствующего бесциркуляционпаго обтекания цилиндра (!рь ф~) и првсоединеиного вотенциального вихря с циркуляцией Г.
В соответствии с формулами (3.61) и (3.59), получим т = й! + те = Яг„(«+ го/«) соз 6+ Гв/2н; ф =ф!+ фа= 0«„(г — «Я ып 6+ Г 1пг/2п. 'Уравнения зквипотевциальных линий и линий тока получим, положив в (3.63) ~э=сопя( н ф=сопз1. Частные производные потенциала скорости определяют радиальную и окружную составляющие скорости Г/㫠— — дт/д« = )г«(1 — «г"/«21 соз 6; (3. 64) вал = дт/гдв .= — И' (1+ гд/гз) ып 6 + Г/2п«.
Нв поверхности цилиндра «=гм й«,=0 и распределение скорости имеет нид; Ю= йтн —— — 2йг ып 6+Г/2ягс. (3. 65) Задача 3.24. Для условий рис. 3.!1 и циркуляции Г:= — ЗлгеЯ' доказать. что: 1) скорость жидкости на поверхности цилиндра (г=гр) пря различных уг.лах О ниеет следующие значения; В' О 00 130 2!О 220 330 360 В«„— Цг — ЗП« — йг О +йг 0 — йг '2) вектор скорости в точке «=2«ь и 6=30' равен й«=1,3 йу н составляет с осью х угол — ЗО'. Вопрос 3.26.
При каком значении циркуляции скорости Г, критические точки Я и Н совпадут в точках х=й, у= — «ез Ответ. Г= — 4пгч)Р 3,10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ При теоретическом исследовании обтекания тел сложной формы, например, авиационных крыловых профилей, возникают большие трудности в отыскаяии простейших течений с известными потенциалами скорости и функциями тока, которые могли бы спите. зировать эти сложные течения. В этих случаях с успехом пряменяется метод конформных отображений сложных профилей на другой контур, потенциал скорости которо~о известен.
Обычно в качестве известного течения используют цнркуляционное обтекание цилиндра. Метод конформных отображений основывается на теории функций комплексного переменного, поэтому нсе вычисления ведутся,в комплексных переменных. формулировка задачи. Пусть в физической плоскости х комплекс-ного переменного х=х+/у задан произвольный крыловой профиль 1, обтеяаемый плоским потенциальным потоком ядеальной несжимаемой жидкости, скорость которого на бесконечности ЗГ составляет угол О с осью х (рис. 3.12).
Требуется определять поле скоростей во всей области тевеняя, внеюней но отнотнеянв к контуру й Пусть уже решена сложная, ио чисто геометрическая задача коиформиого отображения — найдена однозначная аналитическая функция комв1лексного переменного: С=то(Х) ИЛИ Х= / (Ц, (3. 66) конформно отображающая область внешнюю, относительно исследуемого контура ( на плоскости комплексного переменного х=х+ +(у на область, внешнюю относительно круга (', во вспомогатель- г ~~ ® Рнс. ЗД2. Конфорнное отображение теяеняй ной плоскости комплексного переменного Ь=й+Гц, а также осуществляющая обратное отображение. Для того, чтобы конформное отображение было единственным, функции (3.66), в соответствии с теоремой Римана, выбираются так, чтобы точкам а=со в физической плоскости соответствовали точки Ь= оп во вспомогательной плоскости н чтобы в этих точках производная стхЩ была положительна, т.
е. (с(х/оС)-=т- >О. (3. 67) В этом случае, каждой точке г=х+(у крылового профиля ( в плоскости х будет соответствовать одна определенная точка Ь=5+1т) окружности (е во вспомогательной плоскости и наоборот, При конформиом отображении контуры изменяются так, что их бесконечно малые элементы остаются геометрически подобными и углы между касательными в точке пересечения двух кривых не изменяются и в данном случае равны л, Исключение составляет особая точка В, для которой конформность отображения нарушается и острый угол отображается в угол равный и (точка В').
Метод конформных отображений попользуется для решении гндродинамическнх задач потому, что вместе с контуром тела, при использовании той же самой функции (3.66), отображается н поле скоростей течения около него на поле скоростей циркуляцноииого обтекания цилиндра во вспомогательной плоскости ь и наоборот. Применение функций компл ексв1ого пер ем еин ого при конформном отображении течений. Формулы (3.50) в теории функций комплексного переменного называются условиямн Коши — Римана, которые необходимы и достаточны, чтобы выражения ~р+1ф и ~р»+1ф» являлись аналитическими фучгкцнямн т()г н у» (Ь) комплексных переменных г=х+1у и ~.=$+1Ч, т.
е. Х( )=Х(л+М=т+Ф Х'(1)=Х'(1+1т))=т'+1Ф». (3.68) где ~р, ф — потенциал скорости я функция тока течения около профиля в плоокостн з, соответственно; ф», ф» — известные потенциал скорости и функция тока циркуляцтюнного обтекания цилиндра (3.63), соответственно; х(л) — комплексный потенциал течения около профиля в физической плоскости г. Комплексный потенциал цнркуляцнонного обтекания кругового цилиндра во вспомогательной плоскости Х»(Ц получим, подставив в (3.68) значения Ч~» н ф» из (3.63) н производя преобразования: х»К)=У'„с+)р™„— "+ — "1 с, (3.
60) где ӄ— сопряженная скорость на бесконечности в плоскости ь; Г» †циркуляц скорости вокруг контура 1»: Комплексный потенциал течения около, исследуемого профиля Х(а) неизвестен и задача сводится к его отысканию с последую. шнм определением ф н Ф. Соотношение между комплексными потенциалами течений при конформном отображении установим, используя отображающую функцию (3.66): х(л)=к[у Я=к»(Ц=~р+1р=т»+1Ф». (3.70) Символ комплексного потенциала Х сам по себе не подразумевает какой-либо определенной функции, а лишь указывает, что он относится к определенному течению, рассматриваемому в данной комплексной плоскости. Равенство ф ф» в соответственных точках течений з и ь показывает, что на обоих контурах ф и Ф' имеют одно и то же постоянное значение, т.
е. контуры 1 н 1» являются нулевыми линиямн тока. Соотношение между скоростя ми непозмущенн ы х и о т о к о в при лонформном отображении найдем, продифференцнроззв (3.70) по 1, учтя (3.67), и что сопряженная скорость на бесконечности равна производной от комплексяого потенциала но комплексной переменной: Ю'„= [ФК»(()/ФЯ„= [фХ(л)/сф„= [с17 (з)/а~а ° Щф„= У„т„, (3. 71) Прп отображении направление комплексных н сопряженных скоростей невозмушенных потоков не изменяется (т >О), а пх величины изменяются в т раз. Циркуляция скорости вокруг контуров 1:и 1» при конформном отображении сохраняет неизменное значение.
Действительно, ис. пользуя (3.71), (3.66), (3.67) и (3.70) и учтя, что циркуляция равна действительной части (д. ч.) ~УЫИЛ и д. ч. ~У»Ы1, получим г с Г=д. ч. (~) — аз=д. ч. $~ — — 6К= 'ах( ) 'ах( ) У" = 9" .с р г ах (О э =-д. ч. (у — Ы(,=Г . У Итак, при конформном отображении сохраняются неизменными направление невозмупгенного потока и циркуляция скорости и в т (~ЙЩ) раз изменяется абсолютная величина скорости. Порядок определения комплексного потенциалаа обтекания заданного профиля: 1) заданный профиль конформно отображается на вспомогательную плоскость ь: а) определяется радиус окружности го и расположение окружности на плоскости Ь.
Для этого используются геометрическое описание профиля в плоскости х=х+(у и,функция (3.66); б) определяется масштаб конформиого отображения скорости в соответствии с (3.66) и (3.7!) (б' /(Р' = — (аз/Щ) =гн и учитывается (3.72). Все эти данные подставляются в (3.69) .и находится явный вид комплексного потенциала цнркуляционного обтекания круга (3. 72) Хэ(()=т Ф' ~+и 1Р' 4(+(Г/2п1)/1п~' (3.73) 2) определяется искомый комплексный потенциал течения около профиля 1 в физической плоскости г.
Для этого учитывает"я, что )((з) )(*(ь), и в (3.73) подставляется функция ь=Р(х): )((х)=т Ф' Р'(з)+т„(Р г~с/Р'(з)+(Г/2п1)!пР(х), (3.74) Определение ~р и ф сводится к выделению действительной и мнимой частей (3.74). Как видны, гидродииамическая задача отыскания комплексного потенциала обтекания заданного профиля заданным потоком не представляет труда, если известны отображающая функция (3.66) н циркуляция скорости Г.
Функция я=0,5 (Ь+го'/Ь), отображающая круг на профиль крыла, была найдена Н. Е. Жуковским в 1910 г. и названа его именем. Применяя эту функцию Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин получили серию теоретических крыловых профилей. Профили, отличающиеся от теоретических, при отображении дают искаженный круг и метод колформиого отображения применим лишь для приближенного исследования их обтекания. Циркуляция Г для круга может иметь произвольное значение н поэтому должна быть задана такой, лакая действительно возникает при обтекании профиля 1. При безотрывиом обтекании авиационных профилей, имеющих заднюю острую иромку, циркуляция может иметь только одно определенное значение, обусловленное формой профиля и его расположением относительно заданного неиозмущенного потока. Определение циркуляции скорости около профиля будет рассмотрено в и.
18.1. Глава 4 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРО ГАЗОДИНАМИКИ Получим н рассмотрим уравнения движения, энергии и второго закона термодинамики для общего случая неустаиовнвшегося пространственного движения сжимаемой вязкой жидкости. 4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Уравнение движения жидкости н моментов,количества движения были получены в 1755 г. академиком Российской Академии Наук Эйлером (1707 — 1783 гг.). Зтн уравнения лежат в основе возникшей тогда новой науки — гидродннамнки со строгими математическими методами решения ее задач. Интегральное уравнение движения для жидкого о бъем а получим как обобщение второго закона Ньютона о движении материальной точки а' (т1гР)/Ф = 7те, (4. 1) где гп — масса материальной точки, кг; (е' — скорость движения материальной точки, м/с; глйт — количество движения материальной точки, кгм~с; 7т' — равнодействующая сил, действующих на материальную точку, Н.
Задача 4Л. Дайте формулироику изорого закона Ньютона и проанализируй- те его физический сммсл. е Выберем в потоке контрольяе трете ер ный объем У, заполненный в мо- мент времени У жидким объемом -~-тйза„, Ф атм,аг (рис. 4.1) так, что контрольная поверхность (сплошная линия) н граница жидкого объема илн жидкая поверхность (пунктирная ''„„„.а линия) в момент времени и сов/'..= ' - " падают. Внутри объема У могут „,'Рнйуж",",М „НаХОДИТЪСЯ ТВЕРДЫЕ ТЕЛЗ вЂ” НЕ- еерреееее Мелеет ееаата ПолвижнЫе ихи подзижные (лО. и юэ'еет и пасти турбомашин), производяр„4е нои,ролышй и „„й щие обмен теплом н механнчесобъемы кой энергией между жидкостью и внешней средой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
