Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 16
Текст из файла (страница 16)
25) где г — радиусы векторы внешних сил и элементарных .масс, имеющих скорости )Р', м; тУ'Хг — момент количества движения элементарной массы лз, кгм'/с. Расчетная форма уравнения может быть получена с помощью предельного перехода (М-+О) от рассмотрения движения жидкого объема к контрольному объему. Не повторяя выкладок (4.1), умножив векторно (4.10) на соответствующие радиусы-векторы, получим уравнение моментов количесава движения для контрольного объема в векторной форме д Дхг= — ((ййх"г)аЪ'+ ~ йК„(ФХ7)ФЮ— дГ,) г зацх — 1 йВ'„(ФХ7) ЫЯ, (4. 26) зва устанавливающее, что сумма моментов всех внешних сил, приложенных к жидкости в контрольном объеме относительно произвольной оси, равна частной производной по времени суммарного момента количества движения этой жидкости плюс разность суммарных секундных моментов количеств движения на выходе из контрольного объема и на входе в него относительно той же оси, Уравнение моментом количества движения для конечного .участка 1 — 2 эле- т м е н т а р н'о й с т р у й к и и р н у ся "м танон нашем си течении отно- у и, сительно оси а.
Спроектируем 1 ~ф ' з равнодействующую всех внешних сил, я„!~,~ т действующих на жидкость в контроль- ном объеме 1 — 2 н скорости иа входе э в контрольный объем н на выходе из г него на плоскость ху. Получим эквнвалент плоского течения (рис. 4.7). Разложим скорости на радиальные— д В', н окружные — йу„составляющие. Моменты количества движения от радиальных составляющих равны нулю (г=О) и уравнение (4.26) принимает Рис.
4.8. Схема центробежного компрессора Рис. 4хх Иллюстрация к выводу дифференциального уравнения дви- жения 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ Дифференциальные уравнения, удовлетворяющие любой точке пространства, позволяют определить искомые поля (0.1). Иа рис. 4.9 представлены произвольно выбранный элементарный жидкий объем г/У=с/кс/уг(г постоянной массы с(лч=ог(У=, гг/хг/уг/г и действующие на него напряжения массовых и поверхностных сил. Для примера нанесены только поверхностные напряжения, действующие иа грани, нормальные к оси х.
Первый индекс у тангенциального напряжения обозначает ось координат нормальную к грани, на которую оио действует; второй — ось на которую оно проек- 78 простейшую и наиболее часто употребляемую форму Мз — — Йг =О ()Гззгх — Фгк,гг). (4. 27) В соответствии с (4.27), момент равнодействующей внешних сил относительно произвольной осн равен приращению момента секундного количества движения жидкости б)р,г на участке струйки 1 — 2, относительно той же оси. Задача 4.9. Укажите условия, необходимые и достаточные для увеличении, уменьшении и постоянства момента сехундного количества движения вдоль злементарной струйки отиосительио заданной оси.
Вр а щенке ж нд ко от и л о ии ер ц н н. Если момент внешних сил относительно данной оси равен нулю (М,=О), то момент секундного количества движения сохраняет постоянное значение и жидкость вращается по инерции 'гггкхгт=%еггг=%кг=сопз(' )ра=соггп(/г. (4. 28) Итак, вращение жидкости по инерции подчиняется закону потенциального вихря (см. п. 3.8, рнс. 3,8). Задача 4ЛО. Г/опечатать механическую энергию (могциость), сообгцаемую воздуху рабочим колесом цеатробежного компрессора (рис, 4.8), если дано: расход воздуха Сг=25 кг/с; вход — осевой (Вгг параллельна оси); Вгз 495 и/с; аз=25'. Ответ лГ=8 1Оз кит. Нормальные напряжения вызывают деформацию жидкости не только в направлении их действия, ио н в перпендикулярных, приводя к деформациям сдвига и объемной.
Наглядной моделью такого явления может служить растяжение резинового стержня, уменьшаю!цегося ври этом в диаметре. Исследования показывают, что нормальные напряжения зависят от давления н линейных (а) и объемных (е) скоростей относительных деформаций элемента жидкости (Ц 2 о,= — р+2рв,— — ре= — р+о»; 3 о„= — р+ ре„— — ре= — р+о„; 2 3 (4. 32) 4.6.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА (1845 г.) Подставим в уравнения (4.30) значения тангенцнальных (4.31) и нормальных (4.32) напряжений, примем, что !х постоянно по всей области течения. После преобразований н замены фи=о получим уравнения Навье-Стокса — дий!ференцнальные уравнения неустановнзгцегося пространственного движения сжимаемой вязкой жидкости ди до ди ди ! д дзи дти — +и — +о' — +ю — =-Х вЂ” — — +о~ — + — + р дт дх ду дх й дх дхз дут до + до до до ! др + ('дто+ дзо+ дт дх ду д» й ду ! дхх дут 2 о,= — р+2ре,— — и. е= — р+о„ ! где о, о„, о, — слагаемые проекций нормальных напряжений, которые так же, как и тангенциальные напряжения (4.31), зависят от вязкости н выражаются через скорости линейных и объемных относительных деформаций н !х 2 ди 2 гди до дш т о»=2рл„— — ре=2!х — — — р ~ — + — + ~.
(4,33) 3 дх 3 1дх ду дх ! ЗадаЧа 431. НЗПВШНтс ВЫражЕНИя О„Н а," Н ВмражЕННя О,", О„, Оч дня несжимаемой к для идеальной жидкостей. .Перепишем уравнения движения в напряжениях (4.30) с учетом (4.31) и (4.32) в Н/мз. =,Х- +( ~' +да +=1. ди ор ( дс» да»х дт»» ~ (4. 34) дт дх ~. дх ду дх т' Задача 4яй. Запишите, днфферевцнальные уравнення двнжения в напрявсеннях в нроекцнях на осп у н х н опишите физический смысл нх. Установите, сколько неизвестных напряжений содержат трн уравпення тяпа (4.34). Фо! ! д Iди до дэ! + — + — т — — + — + — ' дхт/ 3 ду,дх ду дх / — +и — +~ — +та — =Š— — — +т~ — + дт дв дм да~ 1 др /д~а~ й дх ду дх а дх '1дхз (4. 35) Используя символы полной производной (3.6), оператора Лапласа (3.45) и дивергенцни (3.27), получим уравнения Навье-Сток.
са в более компактной форме да ! др 1 д — =Х вЂ” — — +чаи+ — т — б(ч В'! сЧ а дх 3 дх (4. 36) да 1 др 1 д — =)' — — — + тат+ — т — б1т Ж'; л! а ду 3 ду ~йю 1 др 1 д — = Л вЂ” — — +тМа+ — т — б(ч Ф', д! од ° 3 дх Умножая уравнения (4.36) соответственло на7, 1, А и складывая, получим вместо трех одно уравнение Навье-Стокса в вектор. ной форме: дУ 1 — =У вЂ” — агаб р+тЬФ+ — т йгаб (б1чФ'). (4. 37) ~й о 3 На основании (4.37) заключаем, что вектор полного ускорения жидкой частицы равен векторной сумме ускорений, вызванных отдельными силами так, как будто бы каждая нз этих сил действует яа частицу в отдельности.
На основании уравнений (4.35) и (4.37) можно сделать аналогичное заключение о проекциях ускорений иа оси х, у, ю Если (4.37) умножить иа плотность о, то придем к выводу, что сила инерции частицы равна векторной сумме всех сил, действующих на пее. Уравнения (4.35) ... (4.37) лежат в основе современной механики сжимаемой вязкой жидкости. Одним из основных граничных ус» ловнй, применяемых при их интегрировании, является равенство нулю скорости жидкости на поверхности обтекаемых твердых тел (см.
и. 1.5). Интегрирование уравнений Навье-Стокса для общего случая движения сжимаемой вязкой жидкости встречает непреодолимые математические трудности. Поэтому большинство гидродинамических задач решается приближенно и тогда в уравнениях НавьеСтокса пренебрегают членами, влияние которых не велико по сраннению с остальными. Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости получим, положив в уравнениях (4.35) ...
(4.37) последний член, выражающий скорость относительной объемной деформации, разным нулю е б)ч 1г =0: ди 1 др / дти дти дти 1 — =Х- — — +»( — + — + — ); д/ й дх (,дхт дут даа ) да 1 др ( дза дта дта 1 — =)' — — — + ~ — + — + — )1 д/ й ду (, дхз дуз дхт ) дш 1 др (дзш сиш дзш 1 — =~ — — — +» — + — +— д/ й дх ) дхз дух длх ) (4. 38) Ур а в,н ен ия Э йл е р а * — движения идеальной сжимаемой жидкости получим, положив в уравнении (4.36)»=0. ии 1 др да 1 др дш 1 др. — =Х вЂ” — —; — =У вЂ” — —; — =2" — — — '.
(4.39) Е дх д/ й ду д/ Е д Уравнение Громекн-Л ем ба (188! г). Выразим в уравяениях (4.39) в явном виде проекции ускорений поступательного и вращательного движений частицы. Для этого добавим к с(и/ей, /(а(1/( И /(П/(/(( С ПОЛОжИтЕЛЬНЫМ И ОтрнцатЕЛЬНЫМ ЗНаКаМИ СЛЕдув. щие выражения соответственно да дш ди дш да ди ю — +и/ —; и — +те — , 'о — +и — .
дх дх ду ду дх дл Производя перегруппировку членов, получим выражение для /(и/'Ж: ди ди ди да дш /ди дш 1 /ди да 1 — = — +и — +о — +ет — +еп) — — — +а — — —, д/ д/ дх дх дх ~дх дх ) (,ду дх ) ди да дш 1 д д /йгз 1 здесь и — +е — + те — = — — (из+яр+и/т) = — ( ); дх дх дх 2 дх дх12) ( — — — )- '~ ди дш ~ / ди да — — — ~=2и„; ~ — — — ) = — 2м,.
дл дх ) " ( ду дх . Преобразуя аналогично /(а(/Й н о/у/Ж и подставляя нх значения в (4.39), получим уравнения Громеки-Лемба )' — — —.= — + — ( — )+ 2 (иш, — и/ы,); 1 др да д /%"/ ! й ду д/ ду(, 2 ) х. — — — = — + — ~ — )+2(т/м„— иы„). 1 др дш д /)ге 1 дх д/ дл~ 2 (4. 40) ' Леонард Эйлер в своем трактате «05щне принципы двнження жидкостей» (1755 г.) впервые вывел асназнуш систему дифференциальных уравнений движенил кдеалышй жидкости, наложив втнм начала аналитической механике сплошной среды с широкими задачами и строгими методами их решения. Точные решения этих уравнений получены лишь для немногих простейших течений.
задача 433. получите дифференциальные уравнения равновесия жидкости (2.1) нз уравнений Келье-Стокса (4.35), 4./. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВИЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Суммы первого и второго членов правой части уравнений (4.40) представляют проекции ускорения поступательного движения частицы, а третьи члены — в~ращательного. Умножая уравнения (4.40) на с!х, 1(у, Нг соответственно н складывая„получим (Х,гх ) У(р ( Хдз) ! ( др 1! р !) дЯ тх) а 1 дх ду дх 14х Ыр Их =~ — дх+ — ор+ — с(я)+И~ — )+2 „,„о 1 д! д! дг ) ~ 2 ) к у а (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
