Chang_t1_1972ru (1014102), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Постоянная скорость и,о введена для удобства приведения это- го уравнения к безразмерному виду. Она может быть принята за единицу измерения скорости либо может использоваться в каче- стве характерной скорости. При заданном распределении внешней скорости р Я,) — однозначная функция х х 2 (Ыи„,Ях) ) их (х) Их о (30) или 2$, (х) (дхь~ (х]/дхо) -1 ((д5 (х)!дх))2 Зта функция называется определяющей функцией пограничного слоя, так как она играет важную роль в расчете. Если две задачи подобны по Рейкольдсу, то определяющая функция р(ь1) бУдет одинакова в обоих случаях.
Как видно нз уравнений (30), )) ($1) определяется не только величиной с(и,(г(х. ко также величиной и, (х) Их, определяемой предысторией потока. о ОТРЫВ ЛАМИНАРН ПОТОКА ЖИДКОСТИ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХ. 99 Ниже приводятся два примера численного расчета ламинарно- го течения с помощью нового ряда. Известное распределение ско- рости потенциального течения выражается в виде и, (х) =- 2.', ио хо. Для случая ро =- О (острая передняя кромка) й =- О, 1, 2, 3,..., для случая ро = 1 (скругленная передняя кромка) й = = 1, 2, 3,..., а если форма тела симметрична относительно направления течения, то й = — 1, 3, 5.
Для удобства можно ввести безразмерные величины х = х/Ь, у = у Ве'/о/Л, и (х, у) =- и (х, у)/ио, где Х вЂ” характерная длина, ио — постоянная характерная ско- рость Р(х, у) = и(х, у)Веыз/л„ф(х, у) ='ф (х, у)/УВе' з, — -о — о их(Х) х их(Х)/ИО= ~',.иОХ И ио= иОЕ, /ЕО Наконец, д (х) = д (х) Л/Ве'/о =- и, (х)/)Г2Е~, где д(х) =-и„(х)/~2у ~ и,(х) о(х~ о Кроме того, обозначая х $= ') и,(х) дх=~~ВО ' о и т1 = ц =-уд(х) Х,/Ве'/з =-уих(х)/) 25~, имеем х р Д,) = р (9) = (2 =" ) л (х) г/х ) ~ и, '(х).
о В общей теории определяющая функция может быть разложена в степенной ряд вида р(9) =У„~о9, а для ее приложений требуется установить связь между ро и заданными значениями ию Далее, функция тока представляется с помощью степенного ряда ГЛАВА ГГ тогда профиль скорости в пограничном слое выражается в виде ' '- = и (х, у) !и и (х) =. = = =- У' Рз (4)) ьз ' ии(3) ' ' ' дд ии 3=.О Окончательное решение для отрыва ламинарного потока с использование нового ряда Гертлера приводится для двух случаев: )зо = — 0 и ро -- 4. 2.12.1.
Случай ро == 0 Этот случай соответствует обтеканию заостренного тела. и в теории пограничного слоя он соответствует течению около плоской пластины при произвольных градиентах давления. Распределение скорости потенциального течения задается в виде и, (х) ==. ~", изх" при /г ==- О, 1, 2, .... Как указывалось выпи, 3 пограничный слой может быть точно рассчитан от передней кромки до точки непосредственно перед началом отрыва с помощью универсал ьной фунж(ии. Так как ф (х, у) = — )з 2» 2' ,Рз (т)) 3' ю=о и и (.и у) — — — — — ! д45 -1 —, -1, = и(х, у)/и,(х) =-= == =- ~~~'з Рз (Ч) зи ии(з) ' и дд и=-о зозффициенты — функции Ри (з)) мозут быть представлены в виде линейных комбинаций универсальных функций 1. Штрих соот- ветствует дифференцированию по 1): Р1 — Р!/1, Р2 ))1111 ! дйзз: Рз = К1!!! " 16!да.Л2 '- Яиз/3.
Рз = ф!!!1 + 1Ж!12 — ', ~ф./!3 + К~22 + ()4/4, ()11111!! М21!412 !'1('3/113 д14 3/!22 + ()1! 3/14 + ()313/23 + иа5/5- Универсальные функции Р„, /„1„. /2,... зависят только от геометрического параметра (з„характеризу!ощего угол перед- ней кромки. Таблица численных значений (40), которая здесь не пРпвоДитсЯ., соДеРЯзит ДевЯтнаДЦать УнивеРсальных фУнкЦки: Ро, /„..., 1-„а также их первые, вторые и третьи производные по 3).
Производные по 1) дань! с !лестью десятичными знаками для значе- ний 3) .=- О, 0,2... 6, однако из этих величин при расчете отрыва используется только 1"5 (0). Если функция и, (х) задана в замкнутом видо, то опредоляющая функция )) (З) вычисляется в замкнутом виде через величину и, (х). отРыВ ллминАРК. пОтОкА жидкости КА дВумеРных поВВРх, Вщ Функция и должна быть представлена как функция $, а затем разложена в ряд по степеням $. Если эта методика неприменима, то величины р» вычисляются по следующей схеме: р1= 2иы рз=4( — ~+«з) ро — —. 2 (4и," — 7п1из+ Зио), Ро — — — ( — 48 и»+ 118ий, — 66 и,из — 28и, '+ 24 по), ро == — (192и", — 605и',и, + 375 и,'ко + 320и,и', — 192и,и,— — 150и,и, + 60ио).
После этих предварительных расчетов можно определить распределение скорости в пограничном слое, так как и (х, д) ~ р »=о и производная Р„' задана через р и /. Точка отрыва ламипарного потока может быть определена из условия ди ~ т (х) =(А — ~ —.:О, ду ь=з а т„(л) о -== =ио(л) д(л) ,~~ Р»(0) Е Рио дд ад=о »=О Таьии образом, зная Р» (О), можно рассчитать положение точки отрыва.
Для случая ~)о=-О значения Р» вычислены в работе (40): Ро(0):= 0 469600 Р; (О) =- 1,032361фо Р (0) = — 0,714746()о, + 0,9081193(з, Р, (0) =-1 103512()1 — 1~191046Щ+ 0 829995ро Р (0) .= — 2,313327р', + 2,775762р;рз — 1,047926~$фз— — 0,505493роо+ 0,774210ро Ро" (0) = 5,600941/)', — 7,803477Щ+ 2,45068броро+2,355199Щ— — 0,949480()ф,— 0,899401фф,-„'-0,731424)». глава ы 1еа 9.79.9.
С Р б бз = 1 Этот случай соответствует обтеканию тела со скругленной передней кромкой, симметричного относительно направления набегающего потока. Благодаря этой симметрии распределение скорости вне кограничяого слоя выражается нечетной функцией по л и может быть представлено в виде и,(х)=,Я цза+злз"+з при Ь=О, 1, 2, 3. з о В работе [40) даны следующие значения «Тзз ра = Зиз, 40— р = — 13й+ — иа, «)з —— 54иа — 96изиа + 42из, ю 188 з 1184-з 878— р,= — 221и,'+ 8 и,'иа — 312и,и,— е и.,'+ — и„ «)а = 898й; — — и,'йа+1790йзйз+1520изи,' — 928изиз— 888- — 720и,из+ — ин, 3 Как и в случае «)з=О, для вычисления т(л)=0 н положения точки отрыва необходимы значения Рз(О).
Эти значения приведены в работе [40): К; (0) = 1,232587, Р; (0) = 0,493840«)» ~; (О) = — 0,077205Д+ 0,464540р„ Р (0) = 0.022415[)юа — 0 136636фз[)з+ Оэ442383фз Р; (0) = — 0 008272«)" + 0 058722«)фз — О 124239фф„— 0~061283«)г + 0 424639гаа' Ра(0) =0,003560[)з 0,029057Щ+0,052941[)фа+0,051995«),[)зз— — 0 114928«)з«)ч — 0 112469«)з«)з+ Ое409895Ь. Решенно для ламинарного отрыва с применением нового ряда Гбртлера сравнимо теперь с решением Хоуарта.
Для той же задачи с распределением скоростк и, = Ьа — Ьзя, рассмотренной Хоуартом, Рбртлер использовал свой новый ряд. (зтрыв ламинарн. потока жидкОсти нА дВрмврных пОВВРх. 1сз 'Гак как приближение пятого порядка по $ приводит к удовлетворительным реаультатам расчета напряжения трения на стенке н профиля скорости до хн = 0,1125, он с помощью ревностного рзетода определвл положение точки отрыва ламинарного потока при х' = 0,126. Сравнивая до полученный по методу Гбртлера результат (х" = 0,126) с результатом Хоуарта (хн = =0,120), видим, что они хорошо согласуются.
Новый хо ряд сходится значительно быстрее, чем ряд Хоуарта при возрастающих значеаз виях хн до хн = 0,15. з, На фиг. 14 показаны рв- и . зультаты расчетов местного о дар цю ои поверхностного трения при нч обтекании плоской пластины ф и г. 14. Меетнмв ззачезкз поверхвосткого трезкя зрк обтеканкк власти- помоп1ью методов Хоуарта и вп во Хоуарту!15). Гбртлера. 3 — новая счрнн расчетов а нрнзннненнчн Для иллюстрации опредейн ннчоно ноннхнч; Н вЂ” чарна рнничнн Д ' ннрнх ления точки отрыва можно аа: йч — рчнуннчнчн рнччччнн нн ннччхр использоватьеледующийпроХарнрчн н эннврвноннннча; Ш вЂ” ренгхнчаччн с рзнчрнннннн ча нннннннрйчнчнннчзч нчччхнн. стой пример при р р = О.
Предположим, что распределение скорости внешнего замедляющегося потока задано в виде и,(х) =и„Е/(Ь+х) илн в безраамерном виде й(х) = 1/(1 + х). хорда () ($) = — 2$1/Ке при Ке = и„ЫР сводится к р (Ц = — 2$. Следовательно, рч = — 2 и ()А = 0 при й = О, 2, 3, 4, При единственном не равном нулю члене (ф, ,-ь 0) члены нового ряда сильно упрощаютея и необходимы лишь значения универсальных фУнкций )гн, /и /и, /ш, /мм1 /пм,.
Если вычислить Эгк шесть членов, то станет возможным произвести расчеты от передней кромки х = 0 до точки в окрестности х = 0,150, а затем путем зкстраполяции определить точку отрыва (х = 0 160) с возрюжной ошибкой 1р4. Для ламинарного пограничного слоя со вдувом или отсосом через пористую стенку необходимо дополнить таблицы работы 140). Закончим данную главу обсуждением некоторых вопросов. глАвл зг 1о; 3. ОБСУЖДЕНИЕ Для расчета положения точки отрыва часто используется интегральное уравнение количества движения Кармана.
С помощью этого уравнения удается получить приближенное решение гораздо проще и быстрое, чем с помощью точных методов, аналогичных методу Гертлера, поскольку после интегрирования по толщине пограничного слоя уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравкению. Известно, что применение уравнения количества движения Кармана дает лучшие результаты для ускоряющегося течения, чем для замедляющегося, и точка отрыва, определенная по уравнеяшо количества движения Кармана, обычно оказывается низке по потоку, чем по результатам точного решения. Х При отрыве потока Л = 2з ', где ь =- ~ и, (х) Их, как Ийа и,,) А отметил Мексин [41!,— весьма важная величина.
Функции Л и $ связаны с определяющей функцией р (21)., введенной Гертлером. поскольку Л = ие р ЯД и $~ — — (1/ч) с. Мексин изучил и критически рассмотрел условие отрыва пограничного слоя, описываемого уравнением Фолкнера — Скан (31) /'" + /г" = Л (1 — /)'"', где / = ф (х, у) [/ Ке/Ьи, (х) у (х), д (х) — беаразмерный масштабный множитель, связанный с частной производной по = — у 1/Ве/Ь д (и), Ь вЂ” характерная длина, Л вЂ” постоянная, подлежащая определению.
При Л = 0 зто уравнение сводится к уравненизо Блазиуса, описывающему течение около плоской пластины; при Л = — 1 оно соответствует течению около критической точки двумерного тела, а при Л =- — 2пг/(пг ='; 1) — течению с распределением скорости и, (х) =- сх'" в окрестности кромки клина. Исходя из распределения скорости потенциального невязкого течения около кругового цилиндра и,/и =- 2 з[п ~р, Хименц [42) вычислил Лз — 1, но в реальном потоке Лз =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
