Chang_t1_1972ru (1014102), страница 14
Текст из файла (страница 14)
пОтОкА жидкОсти ИА двумкрнъгх пОВБРх 77 Лойцянский вычислил величину 'у' рр ( Ын еит ~ ие используя точное решение Хоуарта и уравнение (10) для профиля, заданного в виде и, =- оа — сгх = с, (1 — Ха).. где с, и с, — постоянные, а Х* = (01~со) х. Эти результаты приведены на фиг. 6. Значения та~ 1~РР1й .Уй ~ ! вычисленные методом Хоуарта., с использованием первого и второго интегралов уравнения (10). совпадают, эа искшочением окрестности точки отрыва. Таким образом, метод определения отрыва 1,2 ав Св о,в !— ~~ф о,в о,в о о -В -4 О 4 В о 0,4 о,в 02 Агав х* Ф в г.
Гх Параыетры лаашнарнсгс пограннчэ~гп слоя в эвнпспысгти ст 7 (7). Ф и г. Г>. Ианршксн1ш тренин в яаашнарноы пегрвннчныы слое (7). 1 — первый интеграл уравнения 1101; а — перва|а и второй интегралы уравнения (101. ламинаряого потока. предложенный Лойцянским, оставаясь срав- нительно простым. дает достаточно точные результаты. Лойцян- ский указывает, что этот метод применим также для ламинарного пограничного слоя на телах вращения. 2.3. МЕТОД КАРМАНА — МИЛЛИКЕНА Рассмотрим теперь метод расчета отрыва ламинарного потока Кармана — Милликена [10).
В методе используются два приближенных Решения уравнений пограничного слоя: одно из них более точное на внешней границе пограничного слон, а другое— ГЛАВА 11 на поверхности движущегося тела. Эти двз решения сопрягаются между собой в точке перегиба профиля скорости внутри пограничного слоя. Окончательное решение выражается в виде рядов универсальных функций, являющихся достаточно общими и вклк1- чающих широкий класс распределений скоростей потенциального течения за пределами пограничного слоя. Это окончательное решение используется затем в расчетах положения точки отрыва ла»1инарного потока.
Прежде чем приступить к подробному рассмотренито метода Кармана — Милликена, определвм следующие безразмерные переменные и параметры: а) Кеь =- (и „Л!Г), где и „вЂ” скорость невозмущенного потока, Ь вЂ” характерный размер; б) с* = Я7и „Л), где З* — безразмерный потенциал скорости.
вь1раженный через потенциал скорости с в невязкой области тече- ниЯ за ВРеДелами погРаничного слон '1; в) ф* — - (1Р7и „Ь) Д7Кеь72), где 2)1* — безразмерная функция тока, 2)7 — функция тока в области потенциального течения за пределами пограничного слоя; г) из = (и,'и „), где и* — безразмерная скорость потока, и— составляющая скорости в пограничном слое в направлении течения; д) /* = (7'и») =.= (и,'. — из)72и» . где 7* — «потери энергии». в безразмерном виде, и„ вЂ” скорость потока на внешней границе пограничного слоя. Потери энергии характеризуются уменьшением энергии жидкой частицл1 единичной массы, движущейся вдоль некоторой линии тока.
Эти потери измеряются путем сравнения их с энергией частицы вне пограничного слоя. Основное уравнение теории Кармана — Милликена для ламинарного пограничного слоя имеет вид 272 1 и азу и 2 172 — — — — — где — =(1 — (277и»с)) ' . (11) 27« 4 ис Э2(2 ' и Это уравнение выведено с использованием преобразования Мизеса. В работе (10) оно получено из основного уравнения количества движения в направлеяии линии тока путем замены переменных и некоторых допущений.
В уравнении (11) звездочки у величин 7. 1, и и 1(; для удобства опущены. Решение этого уравнония состоит ич двух частей — внешнего и внутреннего. Вне1пнее решение получается в предположении, что скорости во внешней части пограничного слоя почти равны съоростям во вне1пнем потоке, т. е.
(и1и,) =- 1. Следовательно, уравнение (11) приш«мает вид (12) Согласно уравнению (12), потери энергии / зависят как от безразмерной функции тока 1Р, так и от безразмерного потенциала и В работе (7) й обозначается через ср. отгыв ллминлгп потова жидкости нл двтмггных повкгх, те скорости з. Прежде чем приступить к решению уравнения (12), произведем дополнительные вычисления, связанные с этим решением.
Пам предстоит въ«яснить зависимость квадрата безразмерной скорости (и*)' от безразмерного потенциала скорости с* вдоль обтекаемой поверхности тела. Потенциал скорости вне пограничного елок может быть записан в следующем виде: Ь=. ] и„,(г) с]з, е где з — расстояние вдоль поверхности тела, измеряемое от перед- ней критической точки. Следовательно, (13) ь 1 г ' ь 1 "" (') ']з о о где Л вЂ” характерный размер. Согчасно уравнению (13), потенциал скорости Р определяется путем интегрирования и,* по з вдоль поверхности. Так как и, и $ (звездочки опущены) являются известными функциями расстояния вдоль поверхности, то нетрудно определить зависимость и", от Е Следующим шагом является выражение и~ через степенной ряд по Е Вычисления степенных рядов упрощаются, если кривую зависимости и'„от $ расчленить на две части: и,'= ,'«~~ ЬД' для $~(Ьп «=О и,'= ~~ рД' для 5>Ьп «а где с« — произвольно выбранное значение Ь.
Теперь можно вычислить потери энергии в л«сбой точке пограничного слоя в виде функции от Ь и ф. Потери знергии У (с, «р) (где индекс ю обозначает внешнее решение) определяются в виде ]11] Е (Б, Р)=(РзЬо-(-уйૠ— у Идз)+ +Б(Ь! (Ь«ЬТ)тР«ЬТ ь27зЬ«(Д ] зз)) -,'-с~ (Ьз(Ьз — Ц) — 'Д«Ьз), (14) где 7~ =- Ь« — рп 7,:=- Ь, — ~м Это уравнение соответствует уравнению (19) Кармана — - Ь1илликена (10!.
Если Ь ( ~,, то Ь", =- дг =-- р; =- О, где 1 = О, 1, 2. Ь«(с) = Ао(с)+ Ь«(с). глава и 6,6) =Ь6)+2д Я)+//е6) причем д (5) (1 Р($)) р'=: 2 2 где Р Д) = 1 е-З'ор — интеграл вероятностей. являющийся затабупированной функцией, д,(в) = — $е-' -г Р— $'(1 — Р(с)), )я дз($)= —, Ре г' а-:с4(1 — Р(5)). з ~~'я з ),'я з Дальнейшие подробности имеются в работе (11). Если ~ рассматривать как параметр, то можно вычислить 7„, в функции зависимой переменной ~р. Допустимо пренебречь степе- нями ф ббльшими трех, так как переменная ф в общем случае мала в точке перегиба. Эта точка перегиба, являющаяся конечным результатом расче- тов для внешнего решения, зависит от пограничного слоя, и необ- ходимо определить некоторые величины, чтобы выявить граничные условия дая внутреннего решения.
Точка перегиба находится из условия д'7/дф' = О путем решения уравнения относительно ф. Полученное значение фг имеет индекс /, соответствующий точке сопряжения внутреннего и внешнего решений. Внутреннее решение получаотся из рассмотрения уравнения (11) вблизи поверхности тела. Так как внутреннее решение должно быть справедливым в малой области вблизи поверхности, уравне- ние (11) можно заменить другим дифференциальным уравнением. обладающим теми же своиствами.
По существу зто процесс диффе- ренпирования, проиллюстрированный в работе (11]. После пре- образования переменных диффереяцнальное уравнение, заме- няющее уравнение (11), принимает вид (1 5) где А Я) =- — 47;)~7,. Е, .=7„— 2 = и/2. 7 =я',/2, У„' = = дг,/д~, ~, =7.„' — г,. Решение уравнения (15) в функции переменной Е; Д ==- ф/Кз ') имеет вид гн= — ~' " (~ ~7е) ' (В )' йз ь2(~./~.) '' ..(" /~ь ) — ' (рб) '1' 1 — 'Вз )71~+ нз ОтРыв НАминАРЯ. потокА жидкости нА двумвРных пОВеРх, я где В определяется из следующего уравнения: дг, (~~') (17) и вычисляется для различных отношений ( ~„! Ь;) в интервале зна- чений 0 — 1, а именно: 0,1, 0,3.
0,5, 0,7, и 1,0. С помощью этих данных профиль скорости в пограничном слое вблизи поверхности тела определяется из следующих соотношений (11): гг= гг»(~ Я0)»' У Вех = 701 05» — 2Я 0» где Ф 2-)/2 2оьх ~ 20 ) ~ )/1-, 'Вг )/1+из ) (18) В соотношении (18) распределение скорости в пограничном слое выражено через переменную $. Теперь для каждого отношения ~гг'Ь, можно построить кривую распределения скорости в зависимости от $. Критерием ламинарного отрыва является нулевой градиент скорости на поверхности тела.
т. е. (ди!ду)0 = О. Из различных распределений скорости по $ выбирается одно с нулевым значением градиента скорости на поверхности и обозначается соответствующим значением $, которое используется затем для определения положения точки отрыва ламинарного потока.
Этой операцией завершается анализ и решение дифференциальных уравнений, которые используются для определения положения точки отрыва ламинарного потока. Многочисленные промежуточные расчеты слишком громоздки, чтобы их приводить полностью. Достаточно упомянуть основные этапы, чтобы охарактеризовать последовательность вычислений и наметить план действия для тех, кто пожелал бы выполнить такие расчеты самостоятельно. 1) Определить распределение скорости потенциального течения около тела аналитическим нли приближенным методами (если тело имеет обтекаемую форму). 2) Построить кривую и', в зависимости от В. 3) Расчленить кривую и„'($) на две части в некоторой произвольной точке. Описать кривые приближенных зависимостей и» ($) с помощью следующих соотношений: и» =а»+ Ьгз»+сгз» и и» =аз+ Ь0$+сзч, 0 — 0507 Г:1АВА 11 82 где коэффициенты а, Ь и т. д. определяются обычными методами аппроксимации кривых.
4) Выбрать некоторые вероятные положения точки отрыва ламинарного потока. Для каждого положения рассчитать соответствующие значения Е 5) Для каждого $ определить потери энергии 7 = / Я, ф), где $ теперь считается параметром, а ф — независимой переменной. 6) Рассчитать величину ф; в точке перегиба путем двукратного дифференцирования Я„= 1 Д, ф) по ф и приравнивания результатов нулю. 7) Вычислить член В для каждого с, Величина В нужна для построения профиля скорости в пограничном слое. 8) Для каждого значения ь;/1,А1 из набора 0,1, 0,3, 0,5, 0,7 и 1,0 рассчитать ~;, используя соотношение Ь„.; == 24 — Я,.;, где Л 1 — значение Л„в точке сопряжения. 9) Для каждого значения $ определить 1-..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
