Chang_t1_1972ru (1014102), страница 17
Текст из файла (страница 17)
,"-91."1 = — (4.1,' — 5Я;) + (81,'1; — 31,1 — 71,"1 ) + 1о14 — 101а14 + 117о1ь .— (101414 31414 91>14) + + (101з1з 5121з — 71з(з), 1в + 1о1в — 121о14+ 131о1ь =- (1214 1ь — Чь 1ь — 111,14) + + (121з14 — 51214 91414) + (Чз 71з14) 4 .1,"'+ 1о14 — 141о14 -', 151<414 —... (1414 14 — 3141в — 13141з) + + (141ь1ь 51214 1 11г1ь) + (1Чз14 71з1 Я"14) 1з'+ 1о1в — 1Чо1'-', 171,"1з =- (1Ч414 — 3141р — 151412) + ' (161з1; — 5121„"— 13141в) -~- + (161;.1; — 71з1'„: — 111",1ь) + 3 (1 — 9141;). где штрихами обозначено дифференцированно по Ч.
Граничныььи условиями являются 1,= — 1,=-0 при 41 == О для всех значений г, 1,', — 2, 4 1з 1з 14 .. -=-0 при Ч-=ос. В результате получим 1'„'(0) =- 1,328242, 14 (0) =- 1,02054. 1 (0) = — 0,06926., 1 (0) =- 0,0560, 1 (0) =.: — 0,0372, 1:; (0) — — 0,0272, 1„" (О) =- — 0,0212, 1," (0) =- 0.0174. 1," (0) = — 0,0147, ГЛАВА И З.12. МЕТОД ГЕРТЛЕРА Задача об отрыве ламинарного пограничного слоя была точно решена Гертлером [15[, который разработал новый общий аналитический метод расчета установившегося двумерного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости с произвольными градиентами давления, Так как его решение дается в виде быстро сходящихся бесконечных степенных рядов, можно получить решение с л1обой степенью точности, удерживая достаточное число членов разложений в степенные ряды, Рассмотрим этот метод подробнее ввиду его высокой точности.
Гертлер ввел в качестве независимых переменных следующие безразмерные величины: х 1 ь1 = пе (х) Г[х ч Г '1 1/2 т[1 = ле (х) у/ .(2ч ) к, (х) г[х ) =- уА' (х) о (20) Принимая и= з (1;(т[) — (Зх')/;(ч)+(Зх*)'1',И)...), ди [ находим, что условие отрыва —. [ = 0 приводит к ду ~ о [е (0) — (8х*) У1 (0) + (8х")' ); (0)... = О. Принимая 1„(0) = О при г ) 9, определяем положение точки отрыва хзе = 0,129.
Если принять [ 1", (0) [ = [)е (0) [ при г ) 9, то хч = 0,119. Поэтому Хоуарт предположил, что точка ламинаркого отрыва располагается в интервале от 0,119 до 0,129, и предложил в качестве окончательного результата величину хз = 0,120. Это значение удовлетворительно согласуется с точным решением Гертлера И5[, который для такого же распределения скорости получил значение хз = 0,126. Согласно расчетам по методу Кармана — Милликена [10), отрыв происходит при хз = 0,102, тогда как метод Польгаузена [й[ дает хз =- 0,156, т. е.
смещение вниз по потоку поло1кения точки отрыва по сравнению с результатом Хоуарта. Метод Хоуарта требует учета восьми или более членов для достаточно точного предсказания отрыва. но это существенно затрудняет вычисления. Поэтому Хоуарт разработал два приближенных метода определения ошибки. когда учитываются первые семь членов. Затем он предложил метод, применимый для расчета пограничного слоя во всяком замедляющемся потоке.
ОтРыв лАминАРн. потокА жидкости ИА двумеРных пОВБРх. 95 Далее решение уравнений пограничного слоя дается в виде бесконечного ряда по $, с коэффициентами, являющимися функциями ч)О Некоторые существенные особенности этого нового ряда заключаются в следующем. Главный член ряда точно удовлетворяет условиям на ввешной границе во всех поперечных сечениях вдоль стенки, следовательно, последующие члены дают поправки лишь для внутренней части пограничного слоя. Преобразование к новым независимым переменным с, и ч), приводит к такой формулировке задачи, что заданные условия каждой частной задачи входят в явном виде только в одну функцию, так называемую определяющую функцию пограничного слоя.
Зта определяющая функция имеет вид ) ил(з) Лх 1(У=2'л" ' и оказывает основное влияние на структуру решения в виде ряда. Функции, являющиеся коэффициентами нового ряда., могут быть представлены в виде линейных комбинаций универсальных функций. Для любого фиксированного значения )) (О) = )), эти функции не зависят от заданных условий. Поэтому для каждого значения р (О) они могут быть затабулироваиы раз и навсегда.
Следовательно, применение новых рядов в каждом конкретном случае связано с нетрудоемкими вычислениями, столь же простыми, как применение любого нестрогого метода типа метода Польгаузена. Ьлагодаря их простоте они предпочтительны при решении различных прикладных задач. Точка отрыва определяется следующим образом. Характеристики течения до начала отрыва точно выражаются с помощью нескольких членов нового ряда с последующей приближенной экстраполяцией или, более точно, с помощью одного или двух шагов разностного метода.
Точность определения точки отрыва с помощью новых рядов обусловлена преимуществами степенных рядов. Новый ряд Гертлера сходится значительно быстрее, чем ряд Блазиуса, и является более общим, так что с применением ряда Гертлера решено большое число практических задач, для которых до сих пор не были получены точные решения уравнений пограничного слоя. На практике большинство задач отрыва потока с положительным градиентом давления на плоской пластине можно достаточно точно решить с помощью членов до пятого порядка вплоть до начала отрыва с последующим применением короткой экстраполяции. Сходимость нового ряда выгоднее всего использовать для случаев с монотонным ускорением или замедлением внешнего потока, гллвх и 96 уравнение количества движения ди, ди ди деи и — -, '- о — = и, (х) — '+ т — .
д ду ' д дуз ' С введением функции тока ф, определяемой следующим образом: и = —, д.= — — и ф(х, 0)=0, дф дф ду' дх удовлетворяется уравноние неразрывности, а уравнение количе- ства движения принимает вид де[е дед де[ деед дие дееУ ду ди еуу ди ееуе е д ' дуз (21) Граничные условия суть и (х, д) .= г (х, у) = 0 при у = О, (О (х (ха). и (х, у):=. и, (х, у) прн у -и со Передняя критическая точка расположена при х == 0 и у =- О. где разветвляется набегающий поток, х =.
ха — наиболее удаленная по течению исследуемая точка, а х = ха и у = 0 в общем случае будут соответствовать точке отрыва ламинарного пограничное о слоя. С использованием функции тока е[е граничные условия при- Однако при решении задачи об обтекании цилиндра (когда можно испольаовать ряд Блазиуса) новый ряд Гертлера не обладает лучшей сходимостью в поперечных сечениях за точкой минимума давления по сравнению с рядом Блазиуса. Тем не менее первый член нового ряда дает хорошее приближение на значительно большем удалении от передней критической точки, чем первый член ряда Блазиуса. С помощью нового ряда можно найти решения ке только для таких установившихся ламннарных течений несжимаемой жидкости. как течение вдоль плоской пластины с произвольным градиентом давления или обтекание цилиндра, но и для течений сжимаемой среды [36[, для пограничного слоя с произвольно распределенным непрерывным отсосом с поверхности стенки [37[, для установившихся ламинарных течений несжимаемой жидкости около тел вращения [38[ и для расчетов теплового пограничного слоя [30).
Ниже даются некоторые подробности вывода нового ряда и его примененвя для решения задачи об отрыве ламинарного потока, Уравнения двумерного установившегося ламинарного пограничного слоя в частных производных имеют следующий внд: уравнение неразрывности ди де — + — =О, дх ду ОтРыВ ПАыннАРн. пОтокА жидкости нА двумеуных поВБРх.
97 нимают вид 7а(х. 0) =О, 71(х, у) =- — "(х, у) =.-0 при у=Π— (х, у)-е.и,(х), (0(х(ха) при у — ~ оо. дф ду Чтобы решение было единственным, в начальном поперечном сечении х .=- 0 должен быть задан профиль скорости и (х, у).
В процессе решения уравнений в частных производных применяются следующие независимые и зависимые переменные в безразмерном виде: Ч= 74е(Х) У 9 = — ~ и,(х) дх=$м 7 Г с еу (9, 71) = — 7(7 (х, у), и Д, 7() =- — — -- — — ' да7 и (х, у) х ' ' ' дп ие(х) дз7 и.,(х) и(е, у)+(дие(х)7дх).у.и(х, у) д; и) (х) Преобразование (22) является однозначным, если ие(х)иО и и,(х) =-0 при х=-О. Если обратить уравнение (23), то получим '„')=-'ей Ю. ",.',(.У'=-ьсй 7))-Рй) Ч и(Ъ.Ч).
(22) (20) где ( ь ) х ( д и ( х ) | и1 (х) В этих новых переменных уравнение (21) н граничные условия принимают вид — - — —.,— = = )( Й) ~ 1 — —.— ) + =; д19 де(У дед дпУ -, 7 д'-'((7 7 дз1(1 д77 дь д79 д"- дпе дпз дзз (24) е(7(й, 77) = — (Е, 70 ==0 при 77=0, х - д$ дд (О ($ <$)а). (25) ='(9, Ч) -«-1 при 7(-+.
оо, да; дп Окончательно выбираются следующие неаависимые н зависимые переменные: У вз 7 0507 (26) гллвл и и Рао г(1)=-,."( '"), ГДо 0)=0, (0<Ь <~з). (27) (2х ) и (х) (х) Ыз о Кроме того, полагая р Д,) = 2$~ ф), имеем ф(х, у)--тФ'2Ь~ йо г)1), „(х) =-д — ($, ги), —. (',) = —,—, ~р'й ч1)+2%1,,~ К, гк)+ФИ~) — ~) и ие (х) ~/2Ь д$1 Хг)~ — Я гв)1 ° С помощью уравнений (24) — (27) уравнение (21) сводится к виду дох доР дод др дед дд доЕ Г 5„0) = — (5о О) = О, (0~( Е, < Ь), ! пп — Д,, ги) = 1. (20) ч1~- При рассмотрении уравнений (28) н (29) замечаем, что данные, соответствугощие любой частной задаче, входят только в функцию р й~) р Я,) = 2$, —, )п ( — '( ) ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
