Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 81
Текст из файла (страница 81)
чо се о р При тех же, что в 1', значениях д,. Во и 7 будем иметь 1) 10зс)о. Приведенные примеры показывают., что с помощью электрических полей можно сильно изменять характер механического поведения дисперсионных систем. Литература 1. Пейнеео Ю.Ф., Виноародоо Г.В. Влияние сильных электрических полей на структуру неводных пластичных дисперсных систем О' Докл. АН СССР.
1962. Т. 143. Х' 4. В. П. Мяснкквв 2. Лейнееа Ю.Ф., Винвсрадвв Г.В. О поведении в электрическом поле и устойчивости неводных пластичных дисперсных систем Л Нокл. АН СССР. 1963. Т. 152. № 4. 3. Левин В.Г. Физико-химическая гидродинамиха. Мл Физматгиз, 1959. 4. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве Л Изв. АН СССР. Сер. геогр, и геофиз. 1944. Т. 8. № 4.
5. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Мл Физматгиз, 1959. 6. Баренблатт Г.И., Черный Г.Г. О моментных соотношениях на поверхностях разрыва в диссипативных средах Л НММ. 1963. Т. 27. Вып. 5. 7. Тихонов А.Л., Самарский А.А. Уравнения математическойфизики. Мл Гостехиздат, 1951. Глава 7.2 О ЛИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ЛВИЖЕНИЯ ЛВУХКОМНОНЕНТНЫХ СИСТЕМ *) В. П.
Мнсзгиков В работе сделана попытка построить модель двухкомпонентной системы, Оеновываясь на предположении, что движение совокупноСти твердых частиц в потоке жидкости илн газа можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями. Полученное на основе этого предположения кинетическое уравнение для функции распределения твердых частиц имеет тот же вид, что и предложенное ранее в (Ц. Построоно решение кинетического уравнения, которое позволяет получить систему гидродинамических уравнений "псевдогаза' — совокупности твердых частиц. Отличие полученных уравнений от ранее предложенных в работах [2, 3~ состоит в наличии добавочных членов, связанных с относительным движением компонент и обусловливающих анизотропию поля нормальных напряжоний в псевдогазе. 1.
Вывод кинетического уравнения. Рассмотрим движение совокупности болыпого числа частиц в потоке жидкости или газа. Изменение скорости движения каждой из частиц происходит под действием трех типов сил: внешних массовых сил, силы взаимодействия между частицей и несущим потоком, а также в результате взаимных столкновений. Каждая движущаяся частица вызывает возмущения в движении несущего потока, меняя при этом условия взаимодействия других частиц с этим потоком. Поэтому условия движения отдельной частицы будут зависеть, вообще говоря, от движения всех других частиц. В результате сложения большого числа различных случайных влияний взаимодействие частицы с потоком будет приводить к относительно плавному и медленному изменению ее скорости.
Непосредственные столкновения частиц между собой также будут изменять ско- *) ПМТФ. 19б7. 7зз 2. С. 58 -б7. [Гл. В. П. Мясников 438 рость движения частиц, однако такое взаимодействие частиц является, в отличие от предыдущего, существенно короткодействующим. Если вязкость несущего потока невелика, то столкновения частиц между собой можно считать статистически независимыми от взаимного влияния частиц друг на друга через посредство несущего потока.
Обозначим через 1ц, х) радиус-вектор точки, изображающей состояние системы Х частиц в фазовом пространстве 1ц, х) = 1п1 1, п®, .... п1з1; х1 ~, х~ ~, ..., х~- ~). Здесь п~б —. вектор скорости 1-той частицы, х~'~ — радиус-вектор ее центра масс относительно некоторой неподвижной декартовой системы координат. Сделаем следующие предположения. 1. Вектор скорости п[1) изображающей точки системы в ее фазовом пространстве скоростей можно рассматривать как случайный процесс с независимыми приращениями. 2.
Столкновения частиц между собой моделируются столкновениями абсолютно упругих шаров. 3. Одновременными соударениями трех и большого числа частиц можно пренебречь. Последнее предположение является, вообще говоря, следствием первого, и, видимо, можно предположить, что оно справедливо для любых короткодействующих взаимодействий и пригодно при любом числе частиц, вплоть до их почти плотной упаковки [4].
Случайный процесс с независимыми приращениями можно представить в виде суммы двух случайных процессов: непрерывного диффузионного процесса и случайного процесса, построенного по скачкам исходного. Для определения плотности условной вероятности перехода системы из заданного состояния в любое другов Ф[1,х,п) будем иметь [5] к з л з з + ~ ~~[4(1, х, Ао(е)ц) — Ф(1, х, п)]~рп де, 1<~<з<х( 1 [1.1) з <,(< =[ ц~, ., ц'~, р~~ з ц~~> — ~'з, ц >, п=1 з цб ~ цб~ — е з г ~иб~ — и~б) пб+ ~ п~ а=1 Здесь Аб(е) .- . оператор перехода системы из одного состояния в другое при столкновении г-й и у-й частиц, е -- единичный вектор, задаю- 7.2) Уравнения движения двдхномнонентных систем 439 щий направление линии центров 1-й и 1-й частиц. Функция (ое (х, и) плотность вероятности столкновения этих частиц, так что вероятность этого столкновения за время е(1 равна 1р,.
е(ее)й Величины иа (1) и Ва'в характеризуют непрерывную составляющую рассматриваемого (1) процесса с независимыми приращениями. Введем следующие частичные функции распределения: 1((, н( ), х( )) = / 1я(1, х, ц) е(ц( )... г)ц( ) е(х( )...е(х( М вЂ” 1 (1.2) д(1; х( ), и( )) :х( ), и( )) — / 'т(1, х, и) е(ц( )...
е(ц( ) 1(х( )... е(х( 1 н-2 Интегрирование в (1.2) ведется по всем допустимым значениям переменных. Применив к (1.1) процедуру, указанную в (1.2), найдем + Од(() х( ),и. ); х( ) + ен; ц( ))К. е(едп, )— — /у(1; х(1), ц('); х(1) + ен; н(~))Кдее(ц(~), (1.3) (1) (2) где К сечение столкновения,а величины и( ,и( ',ц1 и ц2 связаны друг с другом оператором А12(е) з з (1) (1) + ~~"» ( (2) (1)) (2) (2) ~ ~ ( (2) (1)) а=1 а=-1 Примем далее, что справедлива гипотеза "молекулярного хаоса" у(1; х( ), и( ); х( ), и( )) = 7"(х( ), и( ), 1)('(х( ), и( ), 1). (1.4) В принятой модели столкновений эта гипотеза справедлива и для плотных взвесей [4].
С учетом (1.4) из (1.3) получим уравнения для определения функции 1 + ~~' иа — ~~' На.( + ~~' оа() + а=1 а=1 ,2=1 + ех~~~~д'('~1 — )(,),)1] й е(е е(ц1. (1.5) Здесь во втором члене правой части приняты стандартные для кинетической теории газов обозначения. Уравнение (1.5) совпадает с уравнением, .предложенным ранее в [1]. В. 17. Мясников 440 2. Характеристики непрерывной составляюгцей процесса.
Уравнение движения частицы можно представить в виде (2.1) — = — (С -> Г + К). Здесь С вЂ” внешняя массовая сила (например, сила тяжести), Е сила взаимодействия частицы с несущим потоком и К сила взаимодействия между частицами прн столкновениях. В принятой модели столкновений К(г) можно представить в виде суммы д-образных слагаемых. Если учесть, что характерное время свободного пробега частицы между двумя последовательными соударениями много меньше, чем характерное время изменения 011), то для определения характеристик диффузионного оператора в (1.5) достаточно рассмотреть укороченное уравнение (2.Ц 4ц/~й = 1С+ г')/т. Ограничимся в дальнейшем случае, когда плотность твердых частиц значительно превышает плотность несущего потока, что позволяет пренебречь присоединенными массами частиц.
Тогда для силы, действующей на частицу по стороны несущего потока, будем иметь г'/т = Ф(е, ~в — ц~)(в — ц). Здесь в скорость несущего потока, ц скорость частицы, .а е средний относительный объем, занимаемый несущим потоком в достаточно большой окрестности частицы. Величина е связана с числом частид п в этом объеме соотно|дением е = 1 — поо, где оо -- объем частицы. Как показывают оценки, проведенные в ~б), основную роль в передаче энергии от неоднородностей в движении газа к частицам играют только достаточно крупные неоднородности.
Необходимость учета зависимости Р от е подтверждается полуэмпирическим анализом, проведенным в ~7], и приводит к хорошо согласующимися с экспериментальными данными результатам. Представим в и ц в виде зу = ~и1 дц, ~у~ г~ц = О, 1пп — /ы(~) дс = 0 о Здесь С1 средняя скорость движения несущего потока в окрестности частицы при средней пористости взвеси в этой окрестности, равной ж Предположим далее, что ~ы~ и (ч~ малы по сравнению с ~г1 — ту~, и представим Е в виде — = Ф(е, ~г1 — зу~) (ц — ту) + Ф(е, ~г1 — зу() (ы — у) + Г + ' Ье(ц — зч). (2.2) де 7.2) Уравнения движения двухномноненьннмх сисьаем 441 При записи (2.2) опущены члены порядка !ьо — ч!зь (,Ье)з и т.п., где Ье флюктуация пористости взвеси в окрестности рассматриваемой частицы.
Правую часть уравнения (2.2) можно представить в виде двух сла- гаемых (2.4) Отсюда а„= Ф(еь 0)иа, Ваз = Во(е)дав. При наличии относительного движения компонент из условия со- хранения среднего расхода несущего потока получим Ч ч = чь + !', аь = аьь — — (с! — и), (Ч вЂ” иь( ' е причем соь имеет уже равномерное распределение по направлониям, и !чь( !ьоь) « )Ц. Стохастические уравнения для Г и чь запишутся следующим об- разом; др /1 д!и Ф1 — = — Ф(с, (Ч вЂ” и ~)(' — Ф (- — ) )Ч вЂ” и ~ Ьс, д! ' е де (2 ) дчь — = Ф(е, !Ч вЂ” зч!)(аьг — чз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
