Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(5.1) Здесь р .-. давление, а о .-- объем. Из результатов п.4 следует, что р= п0(1+ — пп пц — 1.002роХ(-яп и) с)1ниа, 2 з /2 з Хг 3,) ' (3 6 (5.2) Подставив (5.2) в (5.1), получим (( 1,) ) , '"" (5 3) 9+ 4апгап(2Х+ Х')(1 — 1.002яаз1аод а ойнна) ' Остановимся более подробно на задании вида функции Х(п).
Физический смысл Х(п) весьма прост — он показывает, во сколько раз изменяется число бинарных соударений частиц по сравнению с систе мой, образованной точечными частицами. Для твердых сферических частиц 12 — 11яо~аа 16 — 11о.п 16 — 11г Х(п)— 12 — 16япап 16(1 — о.п) 16(1 — г) ' (5 4) где о„объем, приходящийся на одну частицу при их наиплотнейщей упаковке в пространстве.
Подставив (5.4) в (5.3), получим ((гзе) ) = ( — ) г, 64гг(1 — гг) 64(1 г) 34гг 4- 44гз доо,й ~(32 — 49о + 22гг)г ббн на Таким образом, для В о будем иметь В., = В,(е)5аоз+ В(д„- ю.)(9д — В,), = (Р) '(-,'-"".') ' В неравновесных состояниях при йнна ф 0 величина ((Ьп)) ) мо- жет неограниченно возрастать, если 32г — 49г~ + 22го 20 = роо„ , з с11н зн. 32(1 — г) — 17гг + 22гз Заметим, что это возможно только при (Ига,а'а(1) < О, т.е., например, при резком увеличении скорости несущего потока.. В общем случае Во(е) определяется величинами более высокого порядка малости, чем В, и Во « В. Поэтому в задачах, где 9„— ю„ отличны от нуля, величиной Во(е) можно пренебречь.
В случае стационарного состояния системы можно определить эффективную "температуру" псевдогаза. Пействительно, из (3.4) Уравнения двихсеииа двухиоиионенгиимх систевс 447 7.2) получим тВ (ио) (1 д1иФ) 322 (1 — х) )Ч вЂ” зч) 32(1 — х) — 1722 -Ь 22хз Постоянная .0 должна быть определена на основе экспериментальных данных. Зависимость В от 2 представлена на рисунке. 6.
Полные динамические уравнения движения системы. Результаты, приведенные в пп. 4 и 5, позволяют получить полную систему динамических уравнений движения псевдогаза. Лля этого нужно подставить в (4.1) выражения для Я и Р д через кинематические характеристики движения дд Ц =Л вЂ”; Р и= — Рб д+27се и — 2РоЯ в дх 1 / ди1„дюв 1 1 е,„д = — " + ' — — дс р с)1и ис, 2 )1 дХВ дяо ) д в = — — 73 [(17 — 2и )(с73 — 2св) — — с в)с1 — ")21 . иХ Здесь Л и р обычным для плотных газов образом [1Ц выражаются через и, Х и д. Существенная особенность уравнений переноса для псевдогаза состоит в появлении своеобразного добавочного члена в выражениях для компонент тензора напряжений, обусловленного дальнодействующим взаимодействием частиц и приводящего к анизотропии свойств рассматриваемой системы. действительно, в случае стационарного состояния тензор напряжений не является шаровым 2 з Х 4тро 2 Р„= — пд (1+ —.пт пХ) — В)с1 — зч), 3 ) 3Хо Р11 Р22 — 1 11 Рзз — )о)с1 2тро иХ Лля получения замкнутой системы уравнений, описывающей поведение двухкомпонентной системы, необходимо рассмотреть динамические уравнения движения несущего потока.
Поскольку интерес представляют только средние характеристики несущего потока, то для их определения можно использовать представления о двухкомпонентных сплошных средах, в настоящее время уже хорошо разработанные. Например, для движения взвеси тяжелых частиц в турбулентном потоке, когда объемная концентрация взвеси мала, такой подход осуществлен в [14]. Зля плотнь1х взвесей этот подход использовался также в [2, 3). Подробный общий анализ вопроса о построении 448 В. 17. Мясников таких моделей дан в !15~.
Аналогичные соображения можно применить н в рассматриваемом случае. Введем следующие обозначения: ро и р плотность и давление, а ть гентор напряжений в несущем потоке. Тогда уравнения движения будут иметь внд: ОРОе ч Вроеф з з аф - Вф ар -а„ Рог — ' + ~ Рееб — ' = — — + ~ — ь + РосУ' — РФ(ь71 — ш,). а! ~- В,.
ак, ~- ая, а=-1 1=1 Величиной тц можно пренебречь практически для всех интересных случаев движения. Пействительно,посколькупостроенная модель применима для анализа движений с масштабами, много большими, чем среднее расстояние между частицами, то вязкость несущего потока будет давать только малый вклад в суммарное касательное напряжение, действующее на произвольной площадке в смеси.
Литература 1. Лсаич В.Г., Мясников В.П. Кинетическая модель кипящего слоя ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 3. 2. Миьтау 1.Р. Оп 1Ье шасйешас!сз о1 бо!с!!кас!оп. Рагс 1. Рппь!ашепса! есрьайопз апс! чьаче ргорабасМоп Л 3. Р!ц!с! МесЬ.
1965. Ъ'. 21. Рс 3. 3. Бугвич Ю.А. Двухжидкостная гидродинамика взвешенного слоя Л Изв. АН СССР. М~КГ. 1966. 1ь!ь 4. 4. 1еапг 1.П. Оупапь!са! 1Ьеогу о18азез. 4-еь1. СашЬг!с!ке Пшч. Ргезз, 1924. Р. 24. 5. Скороход В.А. Случайные процессы с независимыми приращениями. Мл Наука, 1964. 6. Лсеич В.Г., Мясников В.П. Кинетическая теория псевдоожиженного состояния Л Химическая промышленность. 1966. Нз 6.
7. Гупало КАП, О некоторых закономерностях псевпоожиженного слоя и стесненного падения Л Инж.-физ. ж. 1962. Уйг 1. 8. Власов А.А. Статистические функции распределения. Мл Наука, 1966. 9. Монин А.С., Яглан А.М. Статистическая гидродинамика. Ч. 1. Мл Наука, 1964. 10. Забрадский С. С.
Гидродинамика и теплообмен в псевдоожижешьом слое. Мл Госзнергоиздат., 1963. 11. Чгпаен С., Коулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. Мл ИЛ, 1960. 12. Зажиеруьельд А. 'Термодинамика и статистическая физика. Мл ИЛ, 1955. 13. Леонтович А.М. Статистическая физика.
Мл Гостехиздат, 1944. 14. Баргиблаьпш Г. И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке Л ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 3. 15. Сгесп А.Е.ь Кадуь!ь' Р.М. А с!упаппса! 1Ьеогу оЕ шбегассшб сопбппаа Л 1ььсегп. 3. Епбпб, 8с!. 1965. Ъ', 3. Уй 2. Глава 7.3 ЭВОЛЮЦИЯ САМОГРАВИТИРУЮЩИХ СГУСТКОВ ГАЗОПЫЛЕВОЙ ТУМАННОСТИ, УЧАСТВУЮЩИХ В АККУМУЛЯЦИИ ПЛАНЕТНЫХ ТЕЛ") В. П. Мясников, В. И. Титпаренко В результате применения метода двухмасштабных разложений к системе гидродинамических и термодннамических уравнений, описывающих поведение самогравитирующих газопылсвых сгустков, построена математическая модель процессов эволюции сгустков, которая сводится к решению граничной задачи для уравнений Лена -Эмдена, задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения 1-го порядка относительно энтропии, учитывающего источники энергии за счет распада радиоактивных примесей, и уравнений переноса излучения в диффузионном приближении. Численные расчеты, проведенные для сгустков в широхом диапазоне их масс и значений характерной плотности, позволили выбрать для каждого сгустка вероятные начальные распределения плотности, температуры и давления.
Проведено численное моделирование и исследованы основные этапы процесса эволюции газового сгустка (с отношением удельных теплоемкостей 7 = 1.бо7), имеющего массу, эквивалентную массе Земли, характерную плотность 0.4е/ем~ и теплоемкость при постоянном давлении 1.5 ° 10" эре/(г К), при наличии в его веществе примесей изотопов короткодвижущего А! с массовой концентрацией св 10 . Проведена оценка эа — 3 времени эволюции сгустка до начала конденсации. Исследование эволюции самогравитирующих газопылевых сгустков, участвующих в процессе аккумуляции планетных тел, представляет большой интерес, так как эволюционные процессы лежат в основе объяснения особенностей строения Солнечной системы, моделью возникновения которой являются распад протоцланетного диска газопылевой туманности и динамический процесс аккумуляции планетных тол по схеме капельных моделей Энеева -Козлова ~1 — 3').
*) Астрономический вестник. 1989. Т. 23. Мг 1. С. 14 26. )Гл. 450 В. П. Мяенннов, В. Л. Тнтааренко Мэ Т = р ехр у — 1 серо 1, ер мв (1.2) где ра, ра и ва — характерные значения плотности, давления и энтропии соответственно. Пусть Н вектор плотности потока излучения. Тогда ~6) р1ея = — е11чН.
Предположив, что поле излучения самогравитируквщего сгустка слабо анизотропно, учтем перенос излучения в диффузионном приближении ~6]. Поскольку условие стационарности излучения (г1о «с1о, Во -- характерный масштаб изменения интенсивности 1. Предположим, что гравитационное поле центрального светила не оказывает существенного влияния на поведение газового сгустка. Средняя длина свободного пробега частиц в сгустке много меньше его характерного размера (число Кнудсена Кп « 1), и для описания про- дессов в сгустке применимы все постулаты и методы механики сплош- ной среды.
Вещество газопылевого сгустка, являющегося двухфазной смесью, в которой объемная концентрация конденсированной фазы очень мала по сравнению с газовой, можно аппроксимировать моделью совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей у = ср/св, меньшем величины у~ для чистого газа ~4) (1 < у < уы ср и с,— удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объ- еме соответственно, ср, со, у и сй "- постоянные).
Исследуем эволюцию такого самогравитируюгцего сгустка без вращения, пренебрегая соответствующими вязкостными членами. Проанализируем описывающую эволюцию такого сгустка систему гидродинамических и термодинамических уравнений, состоящую из уравнений движения (векторного), неразрывности, энергии, состоя- ния и Пуассона для гравитационного потенциала е1ч др р — = — 'ч'р — рч~р, — -~- е11ч рч = О, е1е де р — — — = Ж. + Ж, 1 = 1 (в, р), еЬ 4р 41 ей (1.1) Ьув = 4ябр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
