Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Обе компоненты среды предполагаются несжимаемыми, и поэтому давление в дисперсионной среде определяется с точностью до произвольной постоянной. Если считать исходное состояние не напряженным и учесть, что внешняя нагрузка не изменяется после включения поля, то получим Ф(1) = О. В результате для определения р будем иметь р = Син —.
ди (2.1) дя Исключив р и введя потенциал р соотношением Е = — ду/дх, из 7.Ц Пластические дисисрсиыс систеееь~ а элексирических валях 431 и =1(1) — А, ди,сдх = О, р = 0 при х =1(1) — 0; (2.3) р! =це) ео 'р 1х=це) — о' Вдесь 1(с) - " расстояние между нижней пластиной и линией разрыва. На верхней пластине Р(~, с) = уо. Выбор граничных условий для ~р не ограничивает общности по- становки задачи, поскольку значение потенциала электрического по- ля определяется с точностью до произвольной постоянной.
В области, занятой чистой дисперсионной средой, система (2.1) и (2.2) дает р = О, ея(р — рз) = — 4с(1)(х — 1(с)), где уз --- значение потенциала при х = 1(1). Отсюда следует, что Ф(с) — сх 1(1) — Ь Обозначим через Л порядок величины смещений в структурном каркасе. Отношение сил, действующих на скелет со стороны элек- трического поля, к упругим силам, возникающим в скелете при его деформации, имеет порядок единицы уь 1 (хзаа! Л ' С Рассмотрим случай малых деформаций структурного каркаса, предположив, что 7 « 1. Введем безразмерные переменные х=улу, 1= ( ) т, (1 — та)С где то -.- начальное значение относительного объема, занятого дис- персными частицами. Будем искать решение системы (2.1) и (2.2) в виде разложений и = 7ИЛ,бз т) +..., р = уСр1О(гу, т) +..., (2.4) т, = т~ ~ + Ут~ ~(гУ, т) + ..., аа = Р~ ~ + "РРРР~ ~(П, т) + ....
Подставив (2.4) в (2.1) и (2.2), с точностью до членов порядка у по- лучим (о) дтл д сг (о) т =ело: = — то Ч7 = чаобз дт дпдт' О, дУУ даут дУУ р' ' = то —, то(1 — то) —, = — +1. дц' дца д. Граничные условия для функции У(т, ду примут виц 17(т, 0) = О, ' = О. (2.6) до Палее, при т = 0 имеем т = то., и, следовательно, т~ц(0, гу) = О. Проинтегрировав второе уравнение в (2.5), найдем пс~ ~ = — тод17удту. В. 11, Мяоникоо (Гл. 432 Первое условие в (2.3) позволяет теперь определить смещение поверхности раздела Уравнение для Г --- обычное уравнение теплопроводности. Решение его при граничных условиях (2.6) и начальном условии 17(0, ту) = 0 представляется следующим образом [7] 2 от (2 -> 1)т При т — ~ со имеем Г = (Оз — 2ту)т(2а~), а~ = тпо(1 — тпо).
(2.8) Зная 1У, можно определить все характеристики движения. Например, 1 — тут т — т т = тпо (1+ у — ) при т — т оо. (2.9) ат Аналогично для поля давлений найдем рттт = пто(ту — 1)ттаз. Используя (2.7), можно вычислить скорость движения дисперсионной среды. Действительно, из второго соотношения (1.1) следует 4утпоС ч 2 ( (2тт+ 1)о з з 1 .
/2п -~-1 т~з схр акт зш 7Гту) . ту о(тпо) 2п + 1 ~ 4 2 а=1 (2.10) Можно показать, что ез ) О, и при т т оо имеем ез — т О. Из (2.8) следует, что 1(1) при 1 — т оо стремится к некоторому предельному значению 1 = Л(1 — ут2). (2.11) Соотношения (2.10) и (2.11) можно использовать при обработке измерений. Например, формулу (2.10) можно использовать при обработке измерений скорости движения пузырьков газа, движущихся вместе с дисперсионной средой.
При помощи формулы (2.9) можно по известной методике рассчитать распределение цветов в поле зрения поляризационного микроскопа. 3. Переходный процесс при изменении знака зарядов электродов. При изменении знака заряда электродов меняется знак произведения кото, так что в уравнении для определения 11(т, ту) изменится знак свободного члена дтУУ дут тпо(1 — тпо) = — — 1. (3.1) дттт дт Соотношения для определения т1т1, ррт и уто остаются прежними. 7.Ц Пластические дисиерскьте састпеаьг е электрических полях 433 Начальное условие для функции 11(т., т1) будет задаваться соотношением (2.8). Граничное условие на верхней пластине останется без изменений до того момента, когда смещение 17(т, 1) станет равным нули>. Наоборот, при х = О граничное условно изменится, так как структурный каркас будет теперь отжат от электрода.
Таким образом, на первом этапе для уравнения (3.1) имеем краевую задачу (7(О ) т1 — 2и дП(т, 0) дН(тт 1) О (3 2) 2аг ' дт1 дч Соответствующее решение можно записать в виде 'гт(т, т1) = )(т, т1) = т+ ~ —,ехр( — а и к т) созиг р 2 1 ггг агтг' тр тг=г Функция Н(т, 1) обратится в нуль при некотором значении т = то, определяемом из уравнения 2 ч-и ( — 1)п то = — —,, 'т, ехр( — а и к то). и=.' При т ) то смещение структурного каркаса при т1 = 1 будет при всех т равно нулю, и для второго этапа переходного пропесса получим краевую задачу для уравнения (3.1) со следующими начальными и граничными условиями Н(то, д) = Я(то, т1), Н(т, 1) = О, ' = О. (З.З) ди Решение задачи (3.1), (3.3) не вызывает затруднений и для краткости не приводится. При т э со получим с7,с = (1 — т1 )т(2а ).
Найденное распределение смещений идентично полученному ранее выражению (2.8). Лействительно, перейдя к противоположно направленной системе координат д = 1 — ~, с7 — -)т,найдем 17 = ((~ — 2с)тт(2а~). Решение краевых задач (3.1)., (3.2) и (3.1), (3.3) позволяет проследить за изменением т при переходном процессе. Например, на первом этапе 2г ч 1 г г г ти = тио 1+ —, г — ехр( — о, и к т) вшикт1 тгаг и п=г Можно показать, что распределение т поперек за.гора имеет горбообразный характер. 4.
Влияние электрического поля на механические характеристики движения. Лля иллюстрации возможностей воздействия электрического поля на характер механического движения дисперсных систем рассмотрим два простейших примера. В. П. Мясникоо 434 1'. Проанализируем задачу об определении сопротивления вращению с постоянной заданной угловой скоростью одного из цилиндров ротационного вискозиметра при наличии электрического поля. Поскольку применяемые на практике приборы имеют обычно малую по сравнению с радиусами цилиндров величину зазора, то для оценочного расчета можно принять, .что движение происходит в плоском зазоре. Ограничимся случаем установившегося движения, т. е. будем считать, что после включения электрического поля успел сформироваться слой чистой дисперсионной среды около одного из электродов. Если средняя скорость течения вдоль зазора велика по сравнению с относительными скоростями движения компонент, как в продольном,так и в поперечном направлении,то,проведя соответствующие оценки, можно показать, что продольным относительным движением компонент можно пренебречь, а уравнения для определения поперечного движения будут совпадать с исходными уравнениями и.
2 в стационарном случае. Система уравнений, описывающая теченио в продольном направлении,имеет вид р —,=0 (1 <х<Ц., — ~ц( — ) — ~ =0 (0<х<Х ), (41) где р -- вязкость дисперсионной среды, а О(до/дх) .--. вязкость диспсрсионной системы. Граничные условия запишутся следующим образом; о=оо=о~й при х=Ь, о=О при х=О, 14.2) '1, .= 1,е. где оо линейная скорость движения верхней пластины, оо соответствующая угловая скорость вращения цилиндра, а Л его радиус.
При малых скоростях сдвига можно считать, что ц1г1о(г1х) = г1о = = сопзФ. Тогда из 14.1) и (4.2) получим 2рцо о~а т= эчо -Е 2И Если электрическое поле отсутствует, то соответствующее значение напряжения сдвига на пластинах то = г1оыВ!1. Составив отношение т(то и перейдя к размерным величинам, будем иметь т 2лб то Ло~иро~ -~-2рС Чтобы оценить порядок этого отношения, положим р 10 Пз, по 10 Пз и у 10 "'. Тогда т 10 это, т.е.
сопротивление вращению при наличии разности потенциалов между цилиндрами рота- 7.Ц Пластические дисперсныс системы о электрических полях 435 ционного вискозиметра падает на два порядка, что качественно соответствует результатам измерений [Ц. 2'. Рассмотрим установившееся движение дисперсной системы в кольцевом зазоре, образованном круглой цилиндрической трубой радиуса Л и тонким цилиндрическим стержнем, расположенным вдоль осевой линии трубы в случае, когда радиус стержня а << Л.
Пусть между стержнем и трубой поддерживается постоянная разность потенциалов так, чтобы на внутренней поверхности трубы образовался тонкий слой чистой дисперсионной срЕды с толщиной уЛ. Коли стержень на оси трубы тонкий, то его влиянием на характер движения и величину сопротивления прокачиванию можно пренебречь. Тонкий слой около стенок трубы, состоящий из чистой дисперсионной среды, будет играть роль своеобразной смазки. Пля труб большего диаметра его влиянием на величину расхода через сечение трубы можно пренебречь и считать, что вся масса дпсперсионной системы, движущейся по трубе, находится вне этого слоя. Влияние такого слоя будет сказываться в том, что на поверхности трубы не будет прилипания частиц дисперсной компоненты.
Пействительно, из уравнений движения при условии конечности напряжений на оси трубы следует /ди 1 ди ~.~р, ~.~р 2 2 и[ — ) — =т= — — г, и= (1с — т ), [,дг) дг 2Ь ' 4ЬР где и . — скорость движения дисперсионной среды в слое, и — скорость движения среды вне указанного слоя дисперсионной среды в направлении оси трубы, Ь вЂ” — длина трубы и хор — перепад давлений между ее концами. Пренебрегая толщиной слоя дисперсионной среды, получим граничное условие для определения поля скоростей течения среды и(Гс) = — ™ ~В ( — ) — ] Теперь можно вычислить величину изменения расхода при заданном градиенте давления. Ограничившись, как и в 1', малыми скоростями сдвига, что имеет место при малых перепадах давления, получим — = 1+ 27 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
