Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 75
Текст из файла (страница 75)
21-2б. <Гл. 404 В. А. Левон вид: и + в'г(ф) 2пгр () В новых переменных начальные условия имеют вид (У(х) (х ( 1), ((=о, л= ~ при т=О, (О (х >1) 0 = гг) 1(х)х' г сЕс = Ф(х) при т = 0; о или х=ог(0) и т=О при с(=0. Решение задачи о разлете с такими начальными условиями дается формулами г х = — + ег(0), 20 при и=11 т = ~ / ехр —,с(с( при гг=2,: в,/ в' (4) о (( 1,/о(в) 4- (('( о(в) — (( 2 /о(в) я(в) — (( 1 0(0) = при гг = 3. 20 зр(в) интервале (О, во) 1 В.
=. ~~( )ха-' ( . ((г х = зг(0) ехр —, 20 3(0(В) — ((г) ' Здесь 0 меняется в о Задав 0 из этого интервала, найдем скорость сферической поверхности, заряд внутри которой равен О. Скорость движения границы = — + г'г(г(г) п1ги гг = 1; Лог т = г'з(!(г) ехр ., с = ' ~ ехр (1и+ 04(г1г) при р = 2; т=,", 1= [ + — 1п (+Е~Я) при гг=3 2г(гр 1 ( и 1 а-'си! аг — иг' Рс(й) а — иг 2а а — и~ (а' = 2 Ффвз®). Пусть, например, в начальный момент однокомпонентная плазма занимает сферу (цилиндр., плоский слой) радиуса го, скорости частиц равны нулю и задано распределение объемного заряда р, т.е.
( Рву(т(то) (т ( то), и=О, р=~ при 1= О. (о (т > то) Изучим разлет частиц. Введем безразмерные величины г' = тох Ф = — сов Р = РоП В =, и = то зУ4сРоц Й7. 4яро ы н гг4нроп 3 405 Неусгааноеггоеаиеся деижения заряженного газа — 3/2 дг де де т / иг 1 — — — — 1— ди ди' ди гтР (е сг ) (5) Лля этой системы также можно получить общее решение. Введем безразмерные величины г и=ссг, т=тох, 1В= — то В, 1= — т.
В с Проинтегрировав уравнения (5) при начальных условиях 1 Ро (г' < г'о), и=О, Р= ~ ' при 1=0 10 (т > то) или в безразмерном виде П = О, В = а'х', т = О, а' = исг для и = 1 и 2 получим ренгение в форме; т= — (1 — П ) г, х= — + — [(1 — Г ) г — 1~ при й 2 — мг о ,,гВ (1 — 1тггмг 1 т= — ехр при и=2. а В Из этих формул видно, что предельной скоростью разлета будет ско- ростьсветасГ -о 1 при х — > сю и т о оо. При Ог « 1 эти выражения переходят в выражения (4). Чтобы найти скорость распространений границы К~, выразим скорость через заряд и координату и положим величину заряда равной полному заряду,.
т.е. В = а'. Палее найдем Ге — — (1 — (1+ а(х — 1)) ~~ при и = 1, Це —— аЛвх(1+ аз1пх) ггг пРи и = 2. получим, полажив В = Во. В случаях и = 1 и 2 скорость границы растет неограниченно. При и = 3 скорость возрастает, стремясь к конечному пределу, равному ~,~20~~3. При и = 3 закон распространения фронта разлетающихся частиц имеет вид Для возможности использования полученных формул максимальная скорость частиц должна быть много меньше скорости света.
Это накладывает ограничение на начальный размер области, занятой частицами, и начальную плотность Ро. Чтобы избавиться от ограничения на скорости частиц, надо учесть релятивистские эффекты. Уравнения (2) с учетом релятивистских эффектов имеют виц (с — скорость света) (Гл. 406 В. А. Левин !п г Пг)1/2 2 0.5 (7) Решив систему (5) при и = 3, получим 0 1 Ф одггз (1 172)-Ыг ' Юг = 1+ о02~3 Отсюда скорость найдется в виде 2 ~ (1+ 02(з) 0~ — 2)'!2 Предельное значение скорости всегда меньше единицы У. [1 (1+ 0273) — 21 г!2 Скорость фронта равна 2 ~ (1 + з) з) — 2)г/2 Фн"" 1 Ф ов На рис.
1 приведена зависимость предельной скорости фронта от о~. Рассмотрим теперь колебания электронной плазмы в предположении, что ионы остаются неподвижными. В работах [2, 3) реша- б лась задача о нелинейных колебаниях 1.0 — — — — — — — — — электронной плазмы в случае плоских волн (и = 1) в предположении, что ионная решетка безгранична. Ниже исследуются нелинейные колебания электронной плазмы в цилиндрическом и аз сферическом случаях в той же поста- О новко, а также в случае, когда ионы не заполнякгт все пространство.
Пвижение электронной плазмы в однородной безграничной ионной решетке описывается уравнениями (р, плотность ионов) (6) Пусть в начальный момент скорости электронов равны нулю и задано начальное распределение их плотности. Примем для простоты 1 Ро (г' < го): р„= 5 при 2=0. 1 О (г ) го) В безразмерных переменных (3) уравнения (6) станут дх дт дт их' ' г р, — =У вЂ”, д дУ дУ ' дбе 0 —,922" ' Рв ' а начальные условия примут вид: т = О, и = дгг" при У = О. В случае и = 2, проинтегрировав уравнения (7) с учетом этих условий, 4О7 Нерензановнвеаиеез движення заряженного газа получим выражение для скорости И = 1п2 — — (з — 1) 2 ег 2 2 Н а И= —, год ' Подстановка з = (1 — 12) 1 сводит интеграл к эллиптическому интегралу третьего рода. В работах )2, 3) показано, что при и = 1 частоты линейных и нелинейных колебаний совпадают.
В случаях р = 2 и 3 частота нелинейных колебаний зависит от амплитуды )4). Пусть теперь ионы занимают сферы радиуса гз, нх плотность постоянна и равна ре, В начальный момент скорость электронов равна и для периода колебаний Т = 2 (8) 'Ъ вЂ” ВН вЂ” Ц12 Здесь з = 1 и з = зз — корни уравнения Ъ' = О. Положение равновесия для заряда 8 определяется выражением з' = 1ф. В случае Д = 1 имеет место покой. Это следует из того, что при Д = 1 уравнение е' = О имеет один корень з = 1.
В случае р < 1 уравнение И = О имеот два разных корня з1 = 1 и з = зз, причем 22 > з'. Происходят колебания. Устремляя Д к нулю, получим разлет цилиндрического столба заряженных частиц. В случае Д > 1 уравнение Г = О также имеет два корня 21 —— 1 и 22 < з'. Период колебаний находится по формуле (8).
Интеграл в этой формуле не выражается через элементарные функции. Перейдем к случаю и = 3 Зля скорости аналогично предь1дущему найдем выражение ~У Зеебз+8 — Д 192+8-ЬД Н я 9122 ' 81дз ' Положение равновесия з' = )д 212. Корни уравнения Иг = О будут ~Я2+ 8 — р' 21 — 1 з2 2~8 При Н = 1 имеем положение равновесия,при этом 21 —— 22 — — з' = 1. При Д < 1 имеем з1 < 2' < зз, при Д > 1 будет 21 > г' > зг. В этих случаях плазма совершает колебания. В случае Н < 1 плазма из начального положения расширяется, останавливается в точке 22, а затем сжимается до первоначального положения, после чего все повторяется сначала.
В случае 13 > 1 происходит сжатие до остановки в положении, отличающемся от равновесия, затем плазма расширяется до первоначального положения. Период колебаний находится по формуле е Т = — (з — 1) 1 122 — з) 1 (зз+ 1+з) 1 з 1 122. д <Гл. 408 В.А. Левин нулю и р о <т < те), 0 1т»'о). Лля простоты примем, что т> > те. Лвижение электронов описывается уравнениями и начальными условиями при х < хе = т>/те 01> У дтт' 01> 0 дз 0 в У 0 а при х > хе уравнениями дх дт дт лх' 011 01>' 01>' 0 — дзх т= те * — — хо, П=Уе.
(9) х = 0<3 з — <д з — 1) совдт~<, х„, = Во(2>>д~ — 1), Г = В(1/Д вЂ” 1) зшдт, 0 < О < Ве. (10) Здесь Оо -- полный заряд электронов. Если х,„в < хо, то электроны колеблются внутри ионного слоя. Если х„,„, > хе,то часть электро- нов вылетает за его пределы. Лвижение электронов за пределами слоя описывается системой (9).
Ее решение имеет вид У вЂ” Ув — оо т — тв+ О дз, х — хо+ 2<0 (11) Формулы (11) описывают поведение вылетевших частиц. Момент вылета те и скорость с>'в находятся из уравнений (10). Может оказаться, что суммарный заряд электронов больше суммарного заряда ионов,т.е. Ое > 0~хе. В этом случае слой электронов с зарядом, большим >3~хе, улетает и оставшийся слой в целом становится нейтральным.
Лля значений О, удовлетворяк>щих неравенствам частицы вылетая>т из слоя ионов, останавливаются и возвращаются назад, т.е. колеблются. Частицы с зарядом 0 < 0 < О* не выходят из границ ионного слоя и колеблются внутри по формулам (10). Необходимо заметить, что при 0 > дзхе и 0 < В найденные решения пригодны в любой момент времени.
При 1>~хе > 0 > В' найденное решение пригодно только до остановки соответствующих частиц ввиду того, что периоды колебаний разных частиц различаются и с течением времени происходит их перемешивание. Если дз > 1, то колебания электронов происходят внутри ионной сферы и никакого граничного эффекта нет. Пусть 1>з < 1 (первоначальная плотность электронов больше плотности ионов). При и = 1 решение системы (7) с соответствующими начальными условиями имеет вид 409 Неретаановнвнгнеея Оваження заряженноео газа Перейдем к случаю и = 3. Решение системы (7) имеет вид Пг 0 ( 01/г) (т01/3 Ъ~Т ~ 8 и Г 20 т= вг/3 ъ/Ог + 8+ 0 гуз згтдг+ 8 — д Оо 20 (12) у г з — 3 0 > юг хз УР + 8 — ~З) = 0 При 0 < О < О* электроны не выходят за пределы сферы и колеблются целиком внутри нее по формулам (12).
Решив систему (9), найдем (О' г,дгхз - равновесный заряд) (7 = (7, + -(О - 0 ) ( — — -) . г 3 хо х При х о оо величина Уг стремится к конечному пределу, который будет неотрицателен, если 0 > д, где д есть решение уравнения О' — ЗхоУо !2 = д. Решив это уравнение, найдем д Оа (312) г )1(1+ Д~,г2) — 3, г Частицы с зарядом О > д навсегда покидают ионную сферу. При д > О > О* частицы вылетают за границы сферы, тормозятся, затем останавливаются и возвращаются назад. Их скорость обращается в нуль в точке с координатой зт 17' — о [ 2(О О)] Пля времени получим выражения при 0 > д 4(О О )) у Уо 1 1„(а+Уиа — уо)( О 3 — 12а'(аг — Пг) 2аг(аг — Ног) 4аг "(а+ Уо)(а — 1г)) аг = — (Π— 0') + (то ((7 — о а при т -о оо); 3 при О = д т = то+ -(О' — 0)((7 — (7о ) (П -+ а при т о оо); 3 прид>0>0* т = то+ — г(0 — О') [ г г —,, + — агс18 а' -~- 1Лг'о ~ впз Если хо > х,„„, то электроны колеблются внутри ионной сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
