Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 70
Текст из файла (страница 70)
2. Развитые течении. Решение уравнений (1.2) имеет вид но(Р) = тдо17 / С(Р, М) ЙРм., ро и (2.1) / / С(Р, М) е1Рре1Рзе, — ра,, = ншдаК рог Гон Здесь Р, М вЂ” — точки в поперечном сечении Ео цилиндрического канала с контуром Го, индексы Р, М указывают переменную, по которой производится интегрирование или дифференцирование, а С(Р, М) функция Грина, определяемая из уравнения С(Р, М) = — — 1п (грм) + Ъ'(Р, М), 1 2я (Гл.
378 А. Б. Ватаояин, ЛХ. А. Потанин ЬР = О., $ (Р, М)г = — 1п(грм), 1 где грм расстояние между точками Р и М. Тепловая задача (1.3) с помощью частного решения уравнения (1.3) ком гам Из условия равенства нулю интеграла от дш/дц по контуру Го с использованием свойств функции Грина найдем рсУЯо ' га (2.3) Здесь о11 -- злемент вдоль контура Го. Соотношение (2.3) можно также получить интегрированием уравнения (1.3) по области Ео.
Решение уравнения (2.2.) проводится стандартными методами. 3. Интегральные характеристики. Пусть возмущение поверхности цилиндрической трубы сосредоточено на участке конечной длины Ь, так что можно ввести величину / г,(я, уо) с~я = г',(~о). (3.1) На некотором расстоянии Ьт вниз по потоку от участка Б опять наступает динамическая и тепловая стабилизация течения, так что асимптотически выполняются условия дч' др' др (3.2) р~ = р+~ — сопзс, Р = 1+' — сопз1. Вверх по потоку от участка Ь все возмущения и их производные асимптотически стремятся к нулю т= — оо: ч =О, р =О, 1=0. (З.З) Величина р+' является дополнительным перепадом давления, обусловленным возмущением поверхности трубы.
Величина 1 ' связана с дополнительным тепловым потоком через боковую поверхность трубы на участке Ь, обусловленным изменением ее площади. При достаточно больших числах Рейнольдса Ве = ГГЬ/о в зоне Ь на поверхности трубы развивается пограничный слой толщины д для сводится к определению функции ы = 1о — 1о, удовлетворяющей соотношениям Ью = О, 5.3) Тененне и тае лообыен в деформарованных каналах 379 возмушенного течения (см. (1 4)).
Если толщина 5 становится поряд- ка Л на некоторой длине Ь| ( А, то участок еххб на котором происхо- дит переход к асимптотике (3.2) вследствие "снятия" возмущений по- верхности трубы оказывается порядка Ьь Если же величина д в конце участка Ь оказывается меньше 6, то в первом приближении Ьх Ь. Покажем, что интегральные характеристики течения можно опре- делить, не решая трехмерной системы уравнений (1.5) — (1.8), путем перехода к более простым двумерным уравнениям.
Введем на основании (3.2) и (3.3) следующие функции: ч'(у, х) = ~ч 1х, у, х) Йх, ч' = (и', ч', ю'), ч' = (и', н',ю ), 1пп / 1'(х, у, х) Йх = 1в.'х+1'(у, х), (3.4) 11п1 1 р'(х, у, х)йх =рв'х+р'(у, х). а,ха и обратимся к уравнения (1.6). Продифференцировав первое из них по х, а второе по у, составив разность полученных выражений и про- интегрировав ее по т, в пределах ( — оо, оо), с учетом (3.2) (3.4) найдем (3.5) Проинтегрировав по х в тех же пределах уравнение (1.7) и граничные условия для с' и ир из (1.9), найдем до' део' — + — =О; Га, ч'=О, ю'=О. дд дх (3.6) н' = О, ю' =О.
(3.7) Проинтегрировав по х в пределах ( — со, со) уравнение (1.5) с использованием (3.2) — (3.4) и (3.7) и аналогично проинтегрировав первые два соотношения (1.9), придем к двумерным уравнениям для определения и' и величины рв.'. рЬи' = р~.', (и')г„= а'(р), / и' е)Г = О,.
то (3.8) а'(~р) = / а(х, аа)дх = — ~ — "~ т,',(~р)з1пео — ) — "1 т„',соево. ле г, Введя, согласно (3.6), функцию тока Ф и подставив ее в (3.5), получим для Ф бигармоническею уравнение с равными нулю Ф и дФ/до на Го. Тождественно равное нулю решение этого уравнения является единственным )3), и поэтому (Гл. 380 А.
Б. Ватаокин, ЛХ. А. Потанин Решение уравнения (3.8) имеет вид и'(Р) = — Р— + ) С(Р, М) о1Рм — / о'(М') — сПм, (3.9) днм аом гоп ро = — рт / ~ о'(М) Йрр гПм. (3.10) рог ром С помощью (2.1) формула (3.10) преобразуется к виду нм гон Таким образом, дополнительный перепад давления рз ' равен интег- ралу по контуру от произведения "интегрального" возмущения по- верхности г„',(р) на контурную функцию, определяемую геометрией невозмущенной поверхности. Перейдем к тепловой задаче. Проинтегрировав (1.8) по и в преде- лах ( — оо, х), где и — ~ оо, и использовав (3.2) — (3.4), найдем осЫ' = — йи' + 1з.'ио.
(3.11) Входящие в (3.11) функции ие(д, з) и и'(ро з) определяются выраже- ниями (2.1) и (3.9) соответственно. Граничное условие для решения уравнения (3.11) находится с по- мощью интегрирования в пределах ( — оо, я), где т — ~ оо, соотноше- ния (1.17) и на основании (3.1) — (3.4) представляется в виде — Л ~ — ') ='у Оно+А'(~р), д1' г (3.12) г. где А' и 7' определяются формулами (1.13) и (1.16) с заменой г'„, на г'. Проинтегрировав (3.11) по площади Ре и учтя соотношения (1.2) и (3.8) и граничное условие (3.12), найдем ~з- я 1Ь Чае+А )ио. оо (3.13) Интегрирование уравнения (3.11) с граничным условием (3.12) производится так же, как в и.
2. Важной интегральной характеристикой тепловых полей является осредненная по длине канала разность 6Т между среднемассовой температурой жидкости Т = Т (и) и средней по периметру температурой стенки Т л = Т,л(х) (Гл. 382 А. Б. Ватажин,. ЛХ.
А. Потанин Аналогично, применив уравнение энергии в интегральной форме для того же объема жидкости, найдем выражение для суммарного теплового потока: Я = 9о+ <У, Г1 = — рсП$о1»', 1>о = ооХ, (3.20) где до определяется формулой (2.3). С другой стороны, величина Ц, при использованном граничном условии д„= д„о на Х, с точностью до членов второго порядка малости определяется формулой ,.х» О= 1 ~,но.(,Н1+,)д,дх=Юо+К (3.21) 1,)' = 19 оа(р) у' Йр = 1а„о у' Й.
а га Здесь а(аа) вычисляется по (1.15). Сопоставив (3.20), (3.21) и (3.13), найдем, что интеграл от А' по контуру Го должен равняться нулю. Введем коэффициент сопротивления канала С» и интегральное число Стантона 81 следующим образом (4): (3.22) ьрП» ' Ерсудт ' где Е площадь боковой поверхности канала.
Используя формулы (3.19), (3.22) и (3.18) и считая, что в начале и конце участка длины Х вырабатываются асимптотические условия, наидем 81 = 81о 1+ — — — /7 <Й вЂ” Ю о а Ь ХП,/ (3.23) 2Бара 8 ДаДП»Х) ро»Па рос(» а — »а ю) Все входящие в (3.23) величины определяются из сформулированных выше двумерных задач. 4. Обобгцеиия теории.
Развитый выше метод определения интегральных характеристик течения можно использовать для анализа возмущенного течения в цилиндрической трубе, возникающего вследствие действия объемных сил и наличия вдува и отсоса жидкости малой интенсивности. Пусть на участке Ь цилиндрической трубы на поток действует объемная сила Г'(х, у, »), либо имеющая только одну составляющую Д, либо три составляющие, но при выполнении условия — — — =О, 1 (р,»)= ~ 1(х,р,.»)8х.
д» дд 5.3) Течение и теалввдмен в дефврмнрвваннв)х каналах 383 Считая, что имеются только силовые возмущения, и используя теорию п. 3, найдем и' = О, ю' = О, р Ьи' =ре +У,о (и')г, = О, /и'(1р' = О. (4.1) Ро Решение задачи 14.1) имеет вид и'(Р) = — т ' / ДС1Р, М) гргм— д ~ ром — [а(Р, н)ОР ( [са(Р, м)ОО* ОР,~, РОМ Гом РОР рг —— , 1 [ 1,,1Р) С(г, М)(зг е(Гр. ром ООР Величина т определяется формулой 12.1). Сила сопротивления Л да- ется выражением Л* = ( — ре*Х вЂ” р-е')Бе + ~1;,, г1Р = Ро =-О„х: — ~ -'[))ОР-О' [ [Да(РР)ОР ОР~ (оо) РЬ голе РОР Если Д = сопев, то В.'„. = О.
При неоднородном поле Д(у, е) с по- мощью (4.2) можно целенаправленно изменять силу сопротивления канала. Пусть на участке Ь цилиндрической трубы осуществляется вдув 1отсос) жидкости по закону Ге: и = и„,(х,()о), и = и„,(х,(р), и = и ,(х,()о), (4.3) 'Гогда нормальная скорость вдува жидкости и„' определится формулой и,', = — )ю~,Ь(()о) — и~,Х((а)], (4.4) [и„(О1=91х), [ 9(,х)е(я=С. )'О Здесь д'(х) и С' — расход вдуваемой жидкости на единицу длины канала и ее полный расход. Асимптотическое возмущение течение при х — ~ со обусловлено наличием дополнительного расхода С' и описывается уравнениями ЗО' = Зол' — — (и.Г'(у, Е), О, О) о (4.5) дх ' дх = Сецзоо = рО3и ', (и< ')Го ОО О, /и Е'(1Р = С'. Ро (Гл.
384 А. Б. Ватажин, ЛХ. А. Потанин Так как вдув жидкости при х — г оо отсутствует, то для асимптотического течения выполняются обычные условия прилипания. Решение уравнений (4.5) дается формулами, аналогичными (2.1) и (2.2). Уравнения и граничные условия для "проинтегрированных" поперечных скоростей о' и и' имеют вид дгза' дЛт' да' дид Го: и' =о'.(р), ю = иг'(уг). Решение этой двумерной системы уравнений относительно о' и ю' представляет собой принципиально разрешимую двумерную задачу.
Проинтегрируем уравнение (1.5) по х в пределах ( — оо,х), где х -э оо. Учтя (4.5), найдем 1ип / и'(х., у, г) дх = и (у, г) -Ь хи.ь'(у, г), иоиь' + и' — + и' — = — — Рз '+ н(Ьи' + хафиз.') = (4.6) ду дя р = нг.'1и'+ В (В = сопз1). Граничные условия для решения уравнения из (4.6), которые находятся с помощью (4.3) — (4.5) и первого соотношения (4.6), имеют вид (и')га — †/ и'„,а1х, (4.7) Из уравнений (4.6) и (4.7) определяются функцн и'(у, з) и постоян- ная В.
5. Приложения. Рассмотрим динамическое поле в канале, поверхность которого слабо отклоняется от поверхности цилиндрической трубы круглого сечения (г„= Ь+ г' (х, ~р), Ь = сопзФ). Использовав (2.1)., (3.9) и (3.10), найдем г 2о г г ВПР ~ 16ор ио= — (Ь вЂ” г ), Роя = — ~ Рз- = — /г.4'Р. Ьг ' ' Ьг Ьз / н а Здесь г' (уг) определяется формулой (3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
