Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В результате возникают следующие безразмерные параметры: Мо, Пе = РМХ~ро, В = аоВз17~(РоРо), Здесь Мо число Маха в начальном сочении, Пе число Рейнольдса, Я вЂ” параметр МГД-взаимодействия. При проведении расчетов фиксировались: Рг = ОЛ2 и Рг, = 0.9. Торможение газа в круглой трубе осесимметричным магнитным полем сопровождается значительными необратимыми потерями (джоулева диссипация, пограничные слои, системы газодинамических скачков). Для оценки потерь во многих случаях сопоставлякотся параметры во входном и в выходном сечениях канала. В данной работе найденному в расчетах неоднородному потоку в выходном сечении канала ставится в соответствие однородный поток с такими же, как у неоднородного течения, значениями расхода, потоков полного теплосодержания и продольного импульса,и параметры такого однородного потока сопоставляются со входными параметрами.
Поэтому воличину потерь полного давления будем характеризовать отношением п' = р,*ср", где р,* давление торможения в выходном сечении указанного эквивалентного однородного течения. Оценку необратимых потерь в МГД-канале можно также провести с помощью анализа изменения энтропии.
Уравнение для энтропии в (другая форма уравнения энергии) в стационарном случае имеет вид 1( . Ви, 01 риз= — ~ — с11ис1ь+та — *+ — ) . Т *Вя ) (1.10) Второй член в круглых скобках представляет собой вязкую диссипацию, а третий - джоулеву диссипацию. Оба этих члена --положительны.
Положив с1ь = — Л и'Т, где Л вЂ”. коэффициент теплопроводности, и проинтегрировав (1.10) по замкнутой области 11 с ое.4) Торможение сверхзвукового поьпоно магниьпнмм полем 391 поверхностью 1,', получим ~ре„вь1Х = — Ць + Г, ~(ць). 'Л(~Т) Оьь, ) ' 11У ь= 1Х, Г= / ~ +гь *+ — ) — >О. Для канала с неперфорированными стенками из (1.11) найдем С ~(ве) (во)) = — Яь + Г, (в) = — / рив ь1Е. (1.12) 1 Г с/ 2. Общее замечание о гиперзвуковом МГД-течении в каналах.
Одной из целей любого способа торможения гиперзвукового потока является, по возможности, достаточно высокое увеличение статического давления при минимальных потерях полного давления. Лля того чтобы получить количественное представление об этих противоречивых требованиях, рассмотрим простейшее одномерное течение изотропно проводящего газа при отсутствии трения и тепловых потоков в канале постоянного сечения и при наличии ортогональных заданных электрического и магнитного полей В = (О, О, В(х)), Е = (О, Е(х), 0), В > О, Е > О. При больших числах Маха (М э оо) соответствующая асимптотическая система уравнений имеет вид -(у — 1)З(1 — К) ь,у — 1 и Т' — = Уу-1)Л Т М' — (у Цл р М Т*' (у — 1)Л, — = — 2БК( Т "Л, 1— = — Л, 2 ' р' (2.1) в с„ 1 — К), Л=уМ2Я(К вЂ” Цг>0 Я= ~ ~ К= ри ' ььВ Здесь штрих обозначает дифференцирование по продольной координате и, со .-- удельная теплоемкость при постоянном объеме, а К и Я-- локальные параметры электрической нагрузки и МГЛ-взаимодействия.
Здесь Г площадь поперечного сечения канала, С вЂ” массовый расход газа. Согласно (1.12), изменение осредненной по массовому расходу энтропии содержит составляющую ( — ььУь), которая может быть положительной или отрицательной, и нообратимую положительную составляющую Г. Когда вычислеви» проводятся ва основе уравнений Эйлера, то Яьь = О. Левая часть соотношения (1.12) и третий член в выражении для Г находятся из расчета.
Это позволяет также найти сумму первого и второго членов в Г, которая в данных условиях представляет собой необратимые потери в ударных волнах. 392 А. Б. Ватожин, О. В. Гуськов, В. В. Копченое, В. А. Лихтер [Гл. Проинтегрировав (2,1), найдем ! 1дз-П Т р е — =-=-=-[7-1) —., Т р с„.
], о,] [2. 2) Из [2.2) следует важный результат: при больших числах Маха от- носительное уменьшение полного давления (потери) намного больше относительного увеличения статического давления, т.е. газодинами- ческие потери растут быстрее, чем статическое давление. 3. Численный алгоритм. Приведенная выше система уравнений решалась численно с использованием программы РХАЯ2П. Эта программа основывается на процедуре установления по времени для получения стационарного решения и на модифицированной версии [6] схемы С.К. Годунова [7], предложенной ранее для невязких и вязких ламинарных течений газа, обобщенной в последующем [8] на случай сложных турбулентных режимов течения.
Представим краткое описание модифицированного метода. В расчете используются сетки, построенные в физической плоскости. Для каждой ячейки записывается система интегральных законов сохранения (из которой следует приведенная выше система исходных уравнений в дивергентной форме). Используется полностью неявная схема. Это означает, что для аппроксимации конвективных потоков и вязких напряжений на гранях ячейки используются параметры с нового временного слоя.
Затем система законов сохранения для каждой ячейки записывается через приращения по времени основных переменных. В данной версии программы в качестве таких переменных используются плотность, компоненты скорости, давление и турбулентная вязкость. Для построения неявной схемы при использовании задачи Римана о распаде произвольного разрыва предполагается, что система разрывов, реалнзовавшаяся после распада на новом временном слое,идентична системе разрывов на старом временном слое.
В случае интенсивных разрывов на старом временном слое производится итерационное уточнение решения. В оригинальной схеме С.К. Годунова [7] для задачи Римана в качестве начальных параметров берутся величины из центров ячеек. Для того, чтобы обеспечить повышенный порядок точности для стационарных решений, кусочно-постоянное распрелеленне параметров внутри ячейки на старом слое заменяется на кусочно-линейное. В этом случае для получения начальных данных для задачи Римана определяются параметры в центре грани со стороны каждой из двух соприкасанзщнхся ячеек.
Этн параметры находятся с помощью принципа минимальных производных [9] (или минимальных приращений) модифицированного в [10] на произвольные нерегулярные сетки. Принцип минимальных производных (нли минимальных приращений) обеспечивает выполнение условия монотонности [11] для схемы повышенного порядка. Что касается приращений функций по времени,. то в качестве начальных данных для задачи Римана относительно этих 5.4) Тормоомание ооорхооуноооео потони магнитным полом 393 приращений выбираются величины из центров ячеек. Это допустимо без потери точности стационарного решения. Вязкие напряжения на старом временном слое аппроксимируются с помощью обобщения центральных разностей на произвольные сетки. Вклад вязких членов в конечно-разностный оператор на новом временном слое опенивается приближенно, поскольку вклад некоторых точек опускается, с тем чтобы сохранить блочную пятидиагональную структуру матрицы коэффициентов разностной системы линейных алгебраических уравнений для приращений по времени упомянутых выше переменных.
Аналогичные принципы используются при аппроксимации уравнения для турбулентной вязкости. При этом величины, необходимые для определения конвективных потоков через грань ячейки, получаются из решения задачи Римана в соответствии со взаимным расположением контактного разрыва и границы ячейки. Диффузионные члены аппроксимируются по аналогии с вязкими напряжениями для газодинамических уравнений.
В результате неявной аппроксимации, в соответствии с изложенными выше принципами, получается линейная система алгебраических уравнений для приращений по времени основных параметров. Матрица коэффициентов этой системы имеет блочную пятидиагональную структуру. Эта система решается итерационным методом. В данной программе используется поточечный метод Гаусса Зейделя. На каждом временном шаге выполняются несколько полных проходов,. каждый из которых включает проход в прямом и обратном направлениях. Число полных проходов на каждом шаге по времени выбирается в зависимости от уровня сходимости. Как правило, их число в рассмотренных в данной статье примерах не превышало 3.
Представленный метод дает второй порядок точности для стационарных задач на регулярных равномерных сетках в случае гладких решений и сохраняет аппроксимацию ва произвольных неравномерных сетках. Для повышения качества разрешения отдельных деталей течения, в частности скачков уплотнения, контактных разрывов и сдвиговых слоев, в программе предусмотрена возможность адаптации сетки. Адаптированная сетка строится в соответствии с так называемой "пружинной" аналогией (см... например, ~12)). При этом узлы сетки как бы соединяются посредством пружинок, жесткость которых является функцией градиентов одного из параметров течения или некоторой их комбинации.
В нескольких примерах, рассмотренных в данной работе, для лучшего разрешения скачков уплотнения применяется адаптация сетки по давлению. 4. Торможение сверхзвукового потока в круглой трубе в поле токового витка. Рассмотрим теченио проводящего газа в магнитном поле единичного токового витка, расположенного в сечении х = О. Были выбраны и проанализированы четыре различных класса течений: 1 -- невязкос течение, П -- течение с относительно тон- 394 А. В. Вотажин, О. В. Гуеоноо, В. И.
Копченое, В. А. Лиягпер [Гл. 0 5 10 Х 15 Рис. 1. Магнитные силовые линии в канале: а токовый виток, б соленоид ким ламинарным пограничным слоем при Пе = 2 10о, П1 течение с толстым ламинарным пограничным слоем при Пе = 2 10, 1Ъ' течение с турбулентным пограничным слоем при Пе = 2 - 10о. Расчеты выполнены при 7 = 5/3, Н(У = 2 и Мо = 5. Значения варьируемых безразмерных параметров и результаты расчетов представлены в табл.
1. Таблица 1 т,~т р !ро р !ро Вариант 2.39 2.95 2.62 0.296 0.75 2.68 2.73 3.00 0.255 1.50 2.74 0.247 3.00 2.68 3.07 3.47 3.02 2.50 0.219 5.00 2 10о 1.58 3.80 0.509 0.25 1 65 2 10о 0.388 1.93 3.37 2.06 2 10о 1.79 3.54 1.89 0.429 1.50 2 . 104 1.84 3.41 0.390 0.75 1.99 2 104 2.26 2.98 2.52 0.297 1.50 2 10о 1.29 1.33 10 0.665 2.40 2.90 2.67 0.284 0.75 2 10 2.78 2.62 3.17 0.234 3.00 2 10 Перед анализом результатов расчетов сделаем несколько общих замечаний. Магнитные силовые линии в канале показаны на рис.
1. МГД-взаимодействие существенно зависит от ориентации магнитной 5.4) Торможение сверхзвукового потово магнитным полем 395 силы. Лля малых значений параметра МГЛ-взаимодействия силу Г в первом приближении можно оценить как е = 0.,(о) (г = — аЪоВ~,,(о -- аЪгоВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
