Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, дополнительный перепад давления получается непосредственным двукратным интегрированием по х и ~р возмущения поверхности г~„(х, ~р). Заметим, что условиями сохранения площади боковой поверхности (Е' = О) и объема (Г = О) деформируемой цилиндрической трубы являются (с точностью до членов второго порядка малости) соотно- Глава 5А К ПРОБЛЕМЕ ТОРМОяКЕНИЯ ПРОВОДЯЩЕГО СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА В КАНАЛАХ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ *) А. Б. Ватажин, О. В. Гуськов, В.
О'. Копченое, В, А. Лижтер Исследованы вопросы торможения сверхзвукового злектропроводящего потока магнитным полем. Рассмотрено течение проводящего газа в круглой трубе при наличии осесимметричного магнитного поля, создаваемого единичным токовым витком или соленоилом конечной длины. Анализ проведен на основе уравнений Эйлера (невязкий газ), а также полной системы уравнений Навьо — Стокса ( ламинарное течение вязкого газа и турбулентное течение, описываомое с помощью однопараметричоской модели турбулентности).
ЧисленнОе моделирование проведено с привлечением неявной релаксационной конечно-разностной схемы, янляющейся модификадией метода С. К. Годунова. Определены потери полного давления при различных значениях параметра магнито-газодинамического (МГН) взаимодействия, начального числа Маха и разной геометрии магнитного поля и показано, что нообратимые потери при МГ)1-торможении сверхзвукового потока достигают значительной величины. Задача о торможении сверхзвукового и гиперзвукового потоков магнитным полем в каналах газодинамических и энергетических установок вновь стала актуальной для магнитной газодинамики. Помимо общего теоретического интереса зто во многом связано с разработкой новых схем воздушно-космических самолетов.
Существенно, что авторы многих таких проектов а рпоп' считают МГД-способ торможения перспективным, что, по нашему мнению, далеко не столь очевидно. Для сопоставления МГД-способа управления потоком с известными газодинамическими методами необходимы более подробные сведения о структуре МГД-течения, данные о необратимых потерях в таких *) Изв. РАН. МЖГ. 1998. )з(з 5. С.
189-181. 5.4) Тормоомение еверховунового потопа магнитным полем 387 потоках, расчеты течений с большими начальными числами Маха (Мо = 5 — 10), использование современных расчетных моделей для ламинарного и турбулентного течений на основе полной системы уравнение Навье- Стокса. Первые результаты по проблеме МГД-торможения потока в каналах были получены еще в 50-60-е годы и некоторые из них обобщены в монографии [1]. Сложные сверхзвуковые течения в каналах МГД- устройств рассмотрены, например, в работах )2 "4). Однако в них анализ проводился либо в крайне упрощенной постановке, либо исследование ограничивалось не очень большими числами Маха (Мо = 2 — 3).
Анализу новых вопросов рассматриваемой проблемы посвящена данная статья. Уже предварительные исследования течений в каналах при более высоких числах Маха продемонстрировали чрезвычайно сложный характер торможения потока. Даже в простейших вариантах возникают специфические зоны отжатия потока от стенок канала, каверны, отрыв ламинарного и турбулентного пограничных слоев, распространение отрывных зон вверх по потоку от магнитного поля и т.д. Поэтому для оценки перспективности МГД-способа торможения сверхзвукового потока в каналах авторы, для получения результатов в 'чистом виде", на первом этапе не стали использовать усложненные МГД-модели, а рассмотрели практически интересные примеры с ясной физической постановкой.
1. Постановка задачи. В данной статье изучается осесимметричное течение изотропно проводящей среды в круглой трубе при наличии осеснмметричного магнитного поля без учета индуцированных магнитных полей. Дополнительный учет эффектов анизотропии проводимости и индуцированных магнитных полей с помощью предложенных в данной статье алгоритмов, вообще говоря, не вызовет затруднений. При сделанных упрощениях уравнения электродинамики в стационарном случае приобретакгт вид 1 = ег( — ~гр+ и х В), Жг1 = 0:, (1.
1) гоС В = О, г)го В = О. (1. 2) Здесь и, 3, В - векторы газодинамической скорости, плотности электрического тока, внешнего магнитного поля, ее и ео электропровод- ность среды и электрический потенциал. При записи первого соотношения в (1.2) предположено, что в области газодинамического течения отсутствуют токи, создающие внешнее магнитное поле. Выражения для объемной плотности МГД-силы Г и для электрической мощности о, подводимой к единице объема, имоют вил Г = 3 х В, д = 1Е.
Для определения газодинамических и тепловых полей используется полная система уравнений Навье — Стокса в осесимметричном вариан- 388 А. В. Вагаажин, О. В. Гренков, В. И. Копченое, В. А. Лияигер (Гл. те, которую можно записать в следующей дивергентной форме; д11 дГ дС К вЂ” + — + — + — = 1~, де дх ду у (1.3) < ро рио — т„, ро + р — тии 2 р6* — ит„, — от„„+ дни Е= ~ ~ ~ ~ ~ ~ и у ~ ~ ! ри Ргг~ + Р— т, рис — ти„ ри6' — ит,, — от,„+ ук„ 6' = 6 + (из + о~)/2, е' = е + (и + о~)!2, (1.5) и д6 и д6.
Чье = Чьи = (1.6) Рг до' и Рг ду д ( до~1 р(егиг -1- и) ди~ + — ~р(сгив + и) — + — + сзРивгг+ ду ~ ду~ у ду др др з С~ евиг~ + евиеи + сзиг (и + о — ) свриг —, р ду ду) г аэ Р (1Л) Здесь 11 вектор консервативных переменных, Р и С векторы потоков, включающих вязкие и тепловьге члены, величины Р, С и К являются функциями \У. В соотношениях (1.3)-.(1.6) т и у --- осевая и радиальная координаты, величины р, р, е и 6 плотность, давление, внутренняя энергия и энтальпия газа, и и о продольная и поперечная скорости, дь, и дь„- — осевая и радиальная составляя>щие вектора потока тепла, Рг .-- число Прандтля. Компоненты тензора гидродинамических напряжений т для ламинарного течения связываются с компонентами тензора скоростей деформации обычными линейными соотношениями с коэффициентом пропорциональности, равным динамической вязкости р.
В случае турбулентного течения после осреднения полных уравноний Навье Стокса и использования гипотезы Буссинеска система уравнений приобретает такой же вид, как (1.3)--(1.6), но в выражениях для тензора гидродинамических напряжений величина р заменяется на р, = р+ рие, а вместо величины р/Рг в (1.6) используется величина (фРг+ рив/ Ргг), где Ргг турбулентное число Прандтля. Для определения величины ив используется однопараметрическая модель турбулентности (5) дри, дрииг дрииг риив д ( ди~ ) д4 дх ду у ди! до) „р сгие+ и — + 5.4) Торможение еверхгвуковоео потока магнитным полем 389 сгдлС о, '+11.2тн-г12.8и с 130гч)г + улуг нг — 11 2 то Ч-64 не о =2Я -';2( — ) е( — ) ( — ) -';2 — — —,'-2Я сг — — 0.2, сз = 0.7, сг = О.о, св — — 3, сг —— 2, св = 50.
й= — '-, р=РНт. 7 Р т 1 Р Здесь у -- - отношение удельных теплоемкостей, Н -- газовая постоя ннал. Отличие уравнения (1.3) от аналогичного уравнения для нопроводящей среды состоит в присутствии вектора Ц, который включает МГЛ объемную силу Г и приток г1 электрической мощности к единице объема. При осесимметричном течении электропроводного газа в осесимметричном магнитном поле по круглой трубе с непроводящими стенками при отсутствии азимутальной скорости из соотношений (1.1) следует, что Е = О, т.е. о = О.
Источннковый член 1' при этом записывается в виде уг = — пВо(иВв — иВ,), Д„= аВх(иВ., — иВ,). (1.8) Для проведения численных расчетов необходимы эффективные выражения для внешнего осесимметричного магнитного поля. Это поле можно "восстановить" по распределению его продольной составляющей на оси канала и представить в виде рядов [1) гь % гяэ1 Ве — Вл ~ сегег Ве Ве ~ еггяегг я=о я.=о 2гг~егъг1Ь л 1)~ гя — г г 2ггу)г: В,(х,0) х В.
' Н' г= Д Н Здесь В, и Н характерные значения магнитного поля и радиуса внешних токовых обмоток, создающих это поле. Областью сходимости рядов (1.9) является 0 < т < г, = у„!Н ) )е/Н, где 1 -. радиус трубы, а у, — радиус ближайгпего к трубе токового витка. Функция г1г(С) представляет собой распределение безразмерного продольного магнитного поля на оси трубы. В данной работе рассматриваются две конфигурации магнитного поля: поле от единичного токового витка, расположенного в сече- В (1.7) а скорость звука, 1 - минимальное расстояние от рассматриваемой точки до стенки, и = 1г/р.
Газолинамический блок замыкается соотношениями для совершенного газа с постоянными тепло- емкостями 390 А. Б. Ваньвжин, О. В. Гуськов, В. И. Конивнвв, В. А. Лияньер (Гл. нин х = О, и поле соленоида конечной длины Ь с началом также в сечении ж = О. Для этих полей функция фф соответственно имеет вид Сверхзвуковой поток на входе в трубу предполагается однородным. Стенки трубы непроницаемы для газа. Тепловые граничные условия, а также длина расчетной области, в которой происходит МГД- взаимодействие н рост пограничных слоев, будут указаны при анализе конкретных течений. Общая система уравнений приводится к безразмерной форме. Координаты отнесены к радиусу трубы 1е, скорость и плотность к скорости Ъсо и плотности ро потока во входном сечении, давление, энергия и энтальпия, температура, динамическая вязкость, турбулентная вязкость не, интенсивность магнитного поля, электропроводность отнесены к величинам РоЦ, 1со~, Ц/Л, Ро, Ро/Ро, В„и его, соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
