Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 65
Текст из файла (страница 65)
ое.Ц Оплаоленке пластинок обтекаемой еоерхзоукооым потоком 353 2. Оценим порядок величины входящих в систему (1.7) . (1.11) без- размерных параметров. Любая безразмерная характеристика процес- са должна пРедставлЯть фУнкцию паРаметРов Не, тз, Рты Ргз, Т „зг, Я и К, причем число Рейнольдса В.е не входит в систему (1.7)-(1.1Ц, а связывает размерные и безразмерныс величины по формулам (1.1). При плавлении твердых тел параметр К оказывается очень большим. Например, в случае обтекания стальной стенки с температурой плав- ления 1380'С при То = 1627' С и ро = 1 атм параметр К = 56.1 10 . Остальные параметры, входящие в систему (1.7) — (1.11), представля- ют, по сравнению с К, .величины порядка единицы. Очевидно, что при К вЂ” э оо жидкая фаза вообще не будет увлекать- ся газовым потоком.
В этом случае коэффициент трения се и тепловой поток дк к поверхности, опредсляемые как "=(-') 7(-." г) ° =( =.) находятся из решения задачи об обтекании пластины, имеющей тем- пературу Та., потоком газа с параметрами П, То, Ро. Для су и ок получим ' =0332 П 2 1 а ро /' на х' (2.1) '* = 0.332 Рг, ~ (1 — Т„+ ' ] . РобееееТо ~ ~, 2еа1То При больших, но конечных К коэффициент трения и тепловой по- ток уже не будут выражаться формулами (2.1), однако порядок из величины останется без изменений. Так как в рассматриваемой задаче ' = ыз(0), " ' = ~Т,'(0)кз(0), 2 ' Ро115 то величины ыз(0), уТз(0)ыз(0), Тз(0) и функция еоз(и), имеющая на отрезке [О, и*] порядок ела(0), оказываются порядка единицы. Из пер- вого соотношения (1.11) следует, что ал~(0) = 0(Ц. Обратимся к первому уравнению в (1.8).
Пля получения его пер- вого интегрального решения заменим величину шз(и) на постоянную шз(0). Проинтегрировав полученное соотношение., найдем Ка а ша(и) — ша(0) + = О. Т' — Тк = 0(К '). (2.2) Так как согласно второму соотношению из (1.10), еоз(и*) = О, то иеаКа = 4оо~(0)ооа(0), и, следовательно, и' = 0(К ~).
(Последующие итерации не изменяют эту оценку). Из анализа второго уравнения в (1.8) (которое при заданной функции шз(и) интегрируется в квадратурах) следует, что разность температур Т' — Т, также оказывается порядка К Соберем вместе полученные оценки шз(и) = 0(1) при 0 < и < и", и* = 0(К ~), (Гл.
А. Б. Ватаяиии 354 3. Обратимся к решению систем (1.7) и (1.8). Используя оценки (2.1) в условия (1.9) — (1.10), можно показать, что оз, (и) = и„' (7)аз(иои), (3.1) где 32.,(и) функция, удовлетворяюшая первому уравнению (1.7) и условиям: 32 (0) = 1, 32'(0) = 137: ио(7) нуль функции 32 (и). Разложив 322 (и) и ее пРоизводнУю в РЯд ТейлоРа в отРезке (О, и*], полУчим 323 = ио + (ио М 7)и ио и + .. -3/2 — 3/2 1 312 -1/2 1 3/2 2 1 3/2 3 (3.2) 322 = ио аь" 7 — ио и + — (гь7)ио и + 4 6 Так как ио(у) = 0(1), то из условия 32',(и') = 0 следует, что ск7 = 0(К 2) (3.3) Решение уравнения движения в области 2 будем искать в виде ряда по степеням и — и* с условиями 322(и*) = С, С = 0(1), 322(и') = О.
Тогда юз = с — — К~г, ~и*~+ — К и'~г. ги — — К 6, ~и + о(К г). (3.4) 6 4 12 Уравнения энергии в областях 1 и 2 можно проинтегрировать. Учтя, что Т2(0) = Т „Т2(и') = Тз(и*) = Т' и Тг(1) = 1, получим Т, = 1 — (1 — Т'+ (т Рг)зу(и',Ргз)]у(и, Ргг)(~(и*,Ргг) + + (т Рг)332(и, Ргз), 1 l 1 у(и,ргз) = /32 " ~ /32 "' Ии )Ыи, 2'(и,ргз) = /32 " г)и, о Тз = Тя+ (Т* — Т + (т Рг)2Ф(и*,Ргз)]Р(и, Ргз)уг'(и*,Ргз)— (гл 1 г)2Ф(и 1 г2)1 Ф3,1')=/ " '(/ "ы)ь, И,1')=) " 'ь. о о о Таким образом, для решения задачи необходимо определить четыре величины; и', Т' — Т.
„С и 137. Лля их нахождения имеем четыре еще неиспользованных условия (1.9) — (1.11) ! ! 322 = ыз, ыг — — О, МТз = Тз при и = 'и*, (3.5) - К / = хТ2(0)оз(0). о 5.Ц Оплаоление пластины, обгпекаемон соерхэоукооьем потоком 355 иа = те + тх 1Я 'У -1-..., 'те = ио(0), тх —— 56ло!5(18 У пРи 18 У = О, для ео1 (и*) и ее производной получим ыг(и ) = то — — гп пггагК + о(К ), -3/2 3 -5/2 -2 -2 2 ео'(и*) = гг~„~ (аг — — п~~с25 К э+ о(К 2) = О. тогда из равенства ыг(и') = ыг(и*) найдем, что ~~=т ~, ~~ =О.
(3.7) Подставив (3.4) в выражения для производных Т'(0) и Т'(и*) и преобразовав их с помощью (3.6) и (3.7), вместо последнего соотноше- ния (3.5) получим — с + — (сгсг — — с 4 )К + 2 1 " 5 — 2 — 1 4 1 2 15 10 + о(К ~) = Уе124ес ~ + 11К ~ [5124ос ~ + — (т Рг)гс24о— 2 — — е1гс, — 51,~~с, -сг — — (Ргг — 1)512с,] +о(К ), (358) 1 2 2 2 5 21 — 1 а производную Т'(и*) представим в виде Тг(и*) = Ас, + К [51гс~ — — (т Рг)гсг — 51,сг сг+ 2 + — (Ргг — 1)е)г~ье сг] + о(К '). (3.9) Местный коэффициент трения су и секундное количество оплав- ленной массы ЛХ(х) с единицы площади поверхности, отстоящей от начала пластины на расстоянии х, выраженные через коэффициенты разложения (3.6), примут вид — се ~/Йеа = со — — К 4о с, +о(К ), 1 1 2 2 з 2 6 М(х)уейе, 1 2 2 .
24 2(1/ 1 с 2 5) ра55 4 (21 15 ' е сг + К о [-(сгсг — .е сз + + — ~е с~] + о(К '). (3.10) На основании (2.2) и (3.3) величины и*, Т* — Т,, С и 18 у можно представить в виде и' =сгК +с2К +О(К ), Т* — Т„, = 51;К ~ + 512К э+о(К 2), (3.6) ь=ае+ьгК +52К +О(К )~ гь'У а2К +О(К ). Лля определения коэффициентов разложения необходимо выразить через них величины, входящие в (3.5). Учтя, что ио(1я 7) представляется как 356 А. Б. Баталова )3 = 1 — Т, + (тг Рг)гуго, 1 г" 1 о о о ого(и) = ио (0)ог;=о~по(0)и] (3.11) Наконец, разрешив алгебраические уравнения, следующие из усло- вий (3.5) и выражоний (Зрй) — (3.11), для коэффициента трения и коли- чества оплавленной массы М(т) получим — сУ /Нег = 5о — — К 'а~~'~о~ +о(К '), а = 4ХЯо "(~о", Мгс) ъ~Йе* 1 1 К вЂ” 1 — 3 ~г — 1/г 1 г" Ро арго гК вЂ” г) (3.12) Использовав работы Польгаузена [2], можно показать.
что приб- лиженно 1 гд 1 г„— газ Ь= — С" Р; 2 ' 0 332 Константа со вычислена в решении Ьлазнуса (3] и равна 0.332. Ре- зультаты (3.12) можно переписать окончательно в следующей форме гзг ' = 0.332 — 0.0962 — + о(К '), 2 К * = 0.25а+ 0.433К 'аз~~ [0.332Рг,~ (1 — Х)— Ро гг б ! ггг г з 1 328 1г — г!з ср)То 1 Т Рг, сР Б ~, 2срг То (3.13) Формулы (3.13) дают возможность вычислить коэффициент трения и секундный унос расплавленной массы с учетом членов порядка Х ~. В том же приближении решение задачи позволяет определить профили скорости и температуры в областях 1 и 2, а также скорость течения на линии разрыва. Не представляет больших трудностей определить члены и более высокого порядка малости в (3.13).
Наконец, заметив, что М(х) = д1р/Ь, из (3.13) можно получить выражение для теплового потока к поверхности, а затем, устремив Ь -+ оо, Исггользовав выражение (3.1) для функции юмп) и представления (3.2) и (3.6), для производной функции Тг(и) на линии разрыва можно получить Т'( )-Д ' ~ +К + +К вЂ” г ~ ~ — з(го — 1)у — г — з(го — Пузу — 1 1 ( г Р ) ]+ (К вЂ” г) 5.Ц Оплаоленис пластины, обспекасмой соерхзоукооым потоком 357 найти решение (2.1) классической задачи о теплопередаче в пограничном слое. Приведенное решение показывает, что влияние слоя текущей жидкости создает эффекты, пропорциональные К ~., причем коэффициент трения отклоняется от решения Блазиуса в меньшую сторону. Пля тяжелых расплавов поправочные члены в (3.13) невелики.
Однако в задачах, когда параметр К является не столь большой величиной, коэффипиент трения и тепловой поток к поверхности будут существенно зависеть от течения жидкой пленки. (4.2) 4. Предположим, что часть теплового потока, подводимого к фрон- ту плавления, отводится в тело. Пусть пластина, на нижней по- верхности которой поддерживается постоянная во времени температу- ра Ть)х), имеет конечную толщину ~6(х)~, где у = 6(х) . уравнение нижней поверхности пластины, а х, как и выше, отнесено к длине пластины 1. В рассматриваемой постановке задачи уравнение теплопроводнос- ти в твердом теле, если пренебречь нестационарностью и продольным градиентом температуры, сведется к условию 6т — = да, дТ (4.1) ду где 6г(Т) коэффициент теплопроводности тела, а )1а тепловой поток, отводимый внутрь тела с фронта плавления.
Пронтегриро- вав (4.1) по у от 6 до О, найдем, что а' уо =,„', ~йт~т)дт. г, Лля автомодельности задачи необходимо, чтобы )7а = сопзФх Это возможно, например, в случае Та = сопз1, 6(х) = — йох~) ~, 6о > О. В общем случае, когда Ть = Ть(х) и 6(х) = — 6о(х), можно приближенно принять, что секундное количество оплавленной массы с участка пластины длины 1 равно разности подводимого и отводимо- го тепловых потоков на этом участке, деленной на скрытую теплоту фазового превращения. Тогда первое условие (1.11) заменится интег- ральным условием а)з(0) = ХТз),0)оз'),0) — Ам А, = )') ~с )т)сс)к или, в случае Тй = сопзс, 6(х) = — йох) )з, точным условием т, )сс))0) = ХТз(0))оз(0) — Аг, Аз = ~ 6т(Т) с1Т. ))4.3) росс6ор ах Остальные уравнения и соотношения (1.7) — (1.11) остаются без из- менений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
