Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 82
Текст из файла (страница 82)
д! т ьВ = — а* + Аа (о = 1,2,3), а* = Ф(еь ььЧ зчьь)(ь1а ьоа) + Ф(с ььЧ зчьь)ььаь А = Ф(еь ~Ч вЂ” и~)аь + ' Ье(ьу„— ю ). Среднее по времени значение Аа будет равно нуля>. Таким образом, для ч получим уравнение — = — — — — а*+ А. дч С (2.3) д! нь д! В случае стационарного состояния Ю)т+ Ф(е, )Ч вЂ” зч!)(Ч вЂ” иь) = с!че7М, и для определения ч будем иметь стохастическое уравнение — = Ф(е, !Ч вЂ” и!)(иь — ч) + дч дФ(е, !Ч вЂ” ъч!) д! де Ье(Ч вЂ” зч). Величины аь и ь'.ге не являются независимыми.
Кроме того, поскольку Ьс прямо связано с флюктуациями числа частиц в рассмат- риваемом объеме., то характер пульсаций Ье определяется статисти- ческими свойствами системы частиц и, следовательно, сье является некоторым функционалом от 1. Таким образом, а* и Вал также функционально зависят от 1, и уравнение (1.5) является ана- логом кинетических уравнений теории самосогласованных полей (8].
Уравнение (2.4) показывает, что в общем случае имеет место резко выраженная анизотропия статистических характеристик ч(г). В слу- чае изотропного состояния С = с! = зч = 0 и Ач'7ь41 = — Ф(;, 0)ч+ Ф(е, 0)ы, ч = и. (Гл. В. 17, Мясников В результате для а* и В и будем иметь а' = — — — Ф(в, ~с1 — и()(д — и ) + Ф(в, (с1 — и ~)(п — зч ), С В з = Ве(е)6 в+В(д — ш )(дд — ше). Лля определения зависимости В от параметров системы можно воспользоваться известными соотношениями теории стационарных случайных процессов (9) д1 Ф 2 В = Ф'(е., ~ц — зч~) ( — — ) ((Ье)')Т, (2.6) где Т характерный временный масштаб существования флюктуации сзе.
Заметим, что флюктуация Ье приводит к изменению движения частиц до тех пор, пока силы вязкости, действующие на поверхности каждой частицы, не приведут к стационарному соотношению между ~с1 — чч~ и е+ Ьж В результате Т= Ф(с, ~Ч вЂ” зч() ' (2.7) Всегда можно считать, что Ве « В. Уравнение (2.5) позволяет сделать некоторые качественные выводы о характере движения частиц. При Ье < О, что соответствует агрегации частиц, происходит ускорение их движения в направлении относительной скорости движения компонент.
В кипящем слое это условие эквивалентно восходящему движению группы частиц при их тесном сближении, что качественно хорошо соответствует результатам экспериментов [101 Лля полного определения В необходимо получить явную зависимость Ье от п, виц которой будет зависеть от свойств решений уравнений (2.3). 3. Аналог Н-теоремы и стационарные состояния. Рассмотрим случай пространственно однородного состояния системы (д(/ди„) = О, С = с1 = зч = О. Кинетическое уравнение для определения Д(п, с) будет иметь вид з — = С(оз) + ~~~ — [Ф(е, 0)иД + Ве(е) — ] ., (3.1) где С(Ос) -- оператор столкновений.
В силу пространственной одно- родности состояния системы величина е = сопев. где Р некоторая постоянная. Подставив (2.7) в (2.6), окончательно получим 7.2) Уравнения движения двухнолпонентнь(х систем 443 Теорема. Полная производная по времени от 'сиз ( е(1( = / /(, 1(( е(, С з", е(", 1( = /(", 1( е ( — ) неположительна, т. е. ((1Н76/) < О. Доказательство. Продифференцировав Н по времени и проинтегрировав полученное выражение по частям, с учетом 13.1) найдем з "— =/с(//)((,с+1)з -е/'.
р(- ")у'-'( — "~) з . (еь) ~=1 Первое слагаемое в 13.2) имеет обычный и хорошо известный в кинетической теории газов вид )1Ц, причем /С(0/)(1п(//+ 1) (1п < О, и равенство достигается на произвольной функции вида А ехр( — 7и ), где А и у --. постоянные. Положив д = и/ф, преобразуем последнее слагаемое в 13.2) следующим образом з — Во~ехр — — ) / ( — 1 /1п = — 4Во 1 ехр — — ) ~((7д)~/1п < О, (=1 причем равенство достигается на функции (/з = сопз1.
Из условия нор- мировки следует, что 10Н//М) = О на функции ь )'(' ( ь ') 13.3) Функция 7(~/, определенная в 13.3), имеет тот же внд, что и максвелловское распределение в кинетической теории газов. Отличие состоит только в том, что множитель при и в показателе экспоненты, в отличие от кинетической теории газов, уже не может быть произвольным. Последнее обстоятельство естественно, если учесть механизм действия каждого из операторов правой части 13.1).
Действительно, действие оператора столкновений состоит в выравнивании к среднему значению кинетических энергий сталкивающихся частиц, поскольку разность кинетических энергий частиц после столкновения уменьшается почти ддя всех столкновений [12). Однако исходное значение энергии системы при этом сохраняется. Действие же диффузионного оператора состоит в согласовании количества энергин,подводнмой к системе извне, с уровнем ее диссипации, а так как величина последней зависит от кинетической энергии движения частиц, то это и приводит к выбору системой определенного среднего значения кинетической энергии частиц. Процесс перехода к равновесному состоянию слагаемых состоит из двух процессов; быстрого кинетического процесса выравнивания зна- 1Гл. В.
17, Мясников чений кинетической энергии частиц, а затем более медленной эволюции этого среднего значения к некоторой вполне однозначно определяемой величине. Действительно, 13.1) допускает следующее решение: (3.4) 4. Уравнения переноса псевдогаза и решение кинетического уравнения. Кинетическое уравнение (1.5) позволяет получить при помощи стандартного приема уравнения переноса, для псевдогаза. Введем следующие средние: и = — / и )'Ып, 0 = — / пс(п — зч) 1'с1п. 1 с 1 с и,l ' 3п,l В результате получим др дс =О, дх„ д , ' д , р — '+ ~~ рш дс д.
с=1 — +, ~ — +ФИ,— ж)~, (4.1) ~- да. ~- д.. до ч до 2 — +~ и~а дг ~ д. 3 о=1 + — (ЗВо + В) — 2Фд. 3 Система уравнений 14.1) отличается от обычной системы уравнений переноса только наличием в уравнении энергии источникообразных членов. Величины Ц и Р„,з определяются обычным для кинетической теории плотных газов образом [11). Приступим теперь к решению кинетического уравнения.
Введя вместо и новую независимую переменную с = и — зч, перепишем кинетическое уравнение (1.5) в виде з з 1ЗУ ч ~ д~ У Вюс1 д~) ч дв дУ РС ~-~ ~ дхв 1 111 ! дсв~ ~ дхв дс вз= 1 од=в — — ) Фс;У ~ Вб — ) = С(о,), .=1 " о=э (4.2) Здесь д -- эффективная "температура псевдогаза", дс -- ее значение при 1= О, и число частиц в единице объема (величина 0 равна произведению температуры на постоянную Больцмана).
Уравнения двиз«сснна Ов«ухнвмнвнснтнь«х систем 445 7.2) 17З = — '+ Ф( 1Ч вЂ” АВИ — шв). бв и« Здесь оператор Пс дс ~ дх.' « =1 В соответствии с методом Чепмена Энскога, будем искать решение (4.2) в виде «.=О Выберем в качестве нулевого приближения максвелловскую функцию распределения в которой г«,(х, Г), и«„(х, 2) и В(х, 1) совпадазот с истинными значени- ями этих величин для псевдогаза. Применив далее с несущественными изменениями метод Энско- га (11) для решения кинетического уравнения в случае плотных газов, можно показать, что уравнение для определения ~м~ будет иметь вид з,(с(7('~УВ)) + с(Уф~У(В)1 = з с,)~ 2В 2,l~ ' дх, .=1 з — Х) — Х (' вг — — '«)Е «), в,в=1 дн«, 15«««В„ дх«В(15 Ч- 4««азлк) Последнее уравнение совпадает по форме с хорошо изученным в кине- тической теории газов.
Таким образом, все известные в кинетической теории газов соотношения для коэффициентов переноса и самоиндук- ции автоматически переносятся на псевдогаз. 5. Определение коэффициента диффузии. Решение кинетического уравнения (1.5) «полученное в и. 4, позволяет найти замкнутое выражение для тензора диффузии в пространство скоростей. Заметим, прежде всего, что по определению сзс = — ивстп«((сзс) ) = з«вз((сап) ).
Статистические свойства флюктуаций Ьп числа частиц в единице объема полностью определяются статистическими свойствами совокупности частиц, образующих псевдогаз. Последние же известны, так как известно решение кинетического уравнения (1.5). Как в равновесном, так и в неравновесном состояниях (13] средняя относительная флюктуапии числа частиц в единице объема равна (Гл. В. П. Мясников (( ) ) "а,аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
