Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Здесь ч среднемассовая скорость сгустка, р плотность его ве- щества, р — давление, в — энтропия, Ь -энтальпия, р--гравита- ционный потенциал, РЯ " объемная плотность энергии, теряемой сгустком за счет излучения, РО -- объемная плотность энергии, по- лучаемой сгустком при распаде радиоактивных изотопов, входящих в его состав в виде примесей, С гравитационная постоянная.
Использовав выражение для плотности совершенного газа [5) р=, р ~эехр Ро и термодинамические соотно|пения (Т вЂ” абсолютная температура): р = дл/др и Т = дЬ/дв, получим выражения для температуры и энтальпии: 451 7.3) Эволюиив самогравитирдюи1их сгустков излучения, 1о --- время эволюции, с —.- скорость света) практически всегда выполноно, диффузионное приближение в случае "серого" газа описывается системой уравнений сдиН+хс14'=4ихТ4, ив+-'~214 =О., 3 (1 3) где и . объемный коэффициент непрозрачности, И' - — плотность энергии излучения, а и --. постоянная Стефана .
Больцмана. Рассмотрим начальные и граничные условия, завершающие по- строение математической задачи об эволюции самогравитирующего сгустка. Пусть энтропия в начальный момент времени 1 = 0 равна в(О) = ве, а начальные распределения других термодинамических па- раметров могут быть неоднородными. В качестве граничных примем следующие условия. 1. В центре газового сгустка все основные функции ограничены.
2. Па поверхности Я сгустка никакие внешние силы не действуют. 3. Падающее извне излучение отсутствует; (Н„,(Ис)в = с412. 4. Отсутствует поток массы через границу сгустка (масса сгустка сохраняется неизменной). 5. Па границе и за пределами сгустка плотность, давление и тем- пература обращаются в нуль. 6. Поток излучения за пределами сгустка постоянен. 7. Гравитационный потенциал непрерывен и вне сгустка подчиня- ется уравнению Лапласа га91 = О, стремясь к нулю при стремлении Л к бесконечности.
Уравнения (1.1) (1.3) приведем к безразмерному виду. Введем сис- тему безразмерных параметров с помощью соотношений: Р 11 Ю р г в — вв сир Н м РсдсЛв диЛс 9сЛг Ра Лс ср ' 9аЛс ' Нс мс ЗДесь г РаДиУс-вектоР, Рв, Не и 4со хаРактеРные масштабы плотности, вектора потока излучения и объемного коэффициента не- прозра 1ности, Ло -. характерный линейный размер (радиус) сгустка, определенный формулой Ло = (ЗМеД4хри)), Ми масса сгуст- 172 ка, до характерный масштаб ускорения силы тяжести: до = = (4413)хСреЛи.
Характерную величину давления определим из усло- вия, что члены в правой части первого уравнения системы (1.1) име- ют одинаковый порядок величины. Считая, что все члены в уравне- нии энергии из (1.1) одинаково значимы, получим масштабы амед- ленного" времени и согласованной с ним скорости: 1о = родиЛег/Но и 11о = Не((ридойо) Тогда, используя указанные масштабы, из (1.1) и (1.2) получим следую1цую безразмерную систему уравнений Но 419 др р — = — 47р — р471р, — + 4119 ри = О, Рв9оЛо р — — — = — 411иН+ РЦ, Ий ар .
РоЛ44Еа (1.4) Р=р~у"- 11 =7 = ' рю-В~те', 23р=ЗР. [Гл. 452 В. П. Мясников, В. Л. Титаренко Здесь величина р~дозНез/Ноз -- аналог числа Релея Па, а Р1г = = РоНеЕо/(Нот 7 ) число Франк-Каменецкого, характеризующее интенсивность тепловыделения за счет распада радиоактивных изотопов. Предположим,что числа Релея велики (это согласуется с данными [7) для известных планетарных туманностей), и, следовательно, эволюция сгустка проходит на фоне развитой конвекции, т.е.
внутри его происходит постоянное конвективное перемешивание вещест- , -~!з ва. Малая величина е = Па --. естественный малый параметр задачи. Проведем изменение характерных масштабов скорости и времени, сохранив уравнение неразрывности инвариантным относительно новых масштабов времени и скорости. Приняв, что все члены уравнения движения в масштабе быстрого времени одного порядка, а все зависящие от времени члены в уравнениях движения и энергии совпадают по порядку величин (что существенно в случае развитой конвекции), совершим замену озз ого ~Но Ро водо 1 > о!3 ч > ч 213 Ро 9оПо В результате получим масштаб быстрого времени 1о = Ло/(Но/ро)~7~ и согласованный с ним масштаб скорости и„= (Но~ро) ч о.
Характерный масштаб Но вектора потока излучения получим при приведении уравнений диффузионного приближения (1.3) к безразмер- ному виду. Значение Но зависит от безразмерного параметра о = = оеоЛо, представляющего собой отношение характерного размера сгустка к длине свободного пробега фотона, т.е. зависит от оптичес- ких свойств вещества сгустка. Теперь уравнения диффузионного приближения приводятся к виду йН+ зИ'=4Т4, с «1, Н= Т4, 1 —,, йчН+ оеИ' = 4оеТ, если о > 1, Но — — егТо,есб 4 , 4 (1 5) О оеН+ — = О.
3 (1.6) В (1.5) и (1.6) использован масштаб плотности энергии излучения Иео = етНо/с при любом о. В уравнениях (1.5) температура отнесена к характерной температуре То. Уравнения движения и энергии из (1.4) принимают вид: е1ч ер — = — 17р — р'ч ~о, е1е 45 Ыр (1. 7) Р— — — = — е йч Н + е Нс ре1. Ж ае Проанализируем эти уравнения, перейдя к двухмасштабному разложению времени [8): быстрому времени 1 и медленному т = е1, представляющим собой независимые переменные. Тогда производные по 453 7.3) Эволюция самогравитиррющих сгустамов времени заменятся по правилу д д д — -э — + г —. дс дс дт Все термодинамические параметры сгустка в сферической системе координат представим в виде суммы сферически-симметричных средних величин, зависящих от расстояния Л от центра и медленно меняющихся со временем (отметим их черточкой), и возмущений или отклонений от них с малым параметром е (отметим их штрихом): (р, р, Т, со, в', Н) = (р, р, Т, ф, 1ь, вз Н ~~ 17, т) + + г(р', р', Т', <р', 6', в', Н' (! В, д, Л, 1, т) +....
Поле скоростей, как и отклонения термодинамических параметров, физически связано с конвективными движениями внутри сгустка и зависит и от медленного, и от быстрого времени, а также и от угловых координат д, Л широтного и долготного углов: н = и'(77, д, Л, С, т) + ено(к, д. Л, й т) +.... Решение ищем, последовательно приравнивая коэффициенты в правой и левой частях уравнений при одинаковых степенях е. К первому уравнению (1.7) в нулевом приближении, имеющему вид нр+ рему = О, применим операцию дивергенции. Учтя уравнение Пуассона для гравитационного потенциала, сферическую симметрию распределений средних величин сгустка и формулу из (1.4) для р, будем иметь ЖМ дв (1.8) Из нулевого приближения для уравнения энергии получим два первых интеграла: 6+ 7З = Е(т), в = в(т), зависящих только от медленного времени.
Уравнение неразрывности в нулевом приближении характеризует поле скоростей внутри сгустка и накладывает ограничения на это поле дро,' дх, Уравнение энергии в первом приближении по е примет вид д6 др д6' др р — — — +р — — — +рн з76+рн~гд + дт дт д1 д1 + р'н'з76 + р'н'17ф + йн Н вЂ” Рй рЯ = О.
Чтобы избавиться от неограниченно возрастающих со временем (се- кулярных) членов, проинтегрируем это уравнение по занимаемому сгустком объему Р, ограничонному поверхностью Я, и результат осредним по быстрому времени. В итоге получим уравнение т( д6 др р — — Р + йнН вЂ” Ебрр дсо+ 1ри„'(у'+ 6')сбт = О, (1.9) 1 д.
д. и в в котором асс и дп — — элементы объема и поверхности соответственно. (Гл. 454 В. П. Мясников, В. В. Титаренко (1.11) а. я — "' Ь'П-ОЛ'дЛ=' ' з, БК,.-'" — ' 'Л'Н (1.15) /' Второй интеграл по поверхности сгустка равен нулю в силу гра- ничного условия р~ = О. Преобразование уравнения (1.9) с учетом термодинамических соотношений, следующих из уравнения состоя- ния, дает я, я„ и, — ~рТЛ~ <1Л = гк /рЩ~ ЙЛ вЂ” /(е11ин)Лз ЙЛ. (110) о о в Здесь Л, = Л,(г) значение Л на сферической границе сгустка в приближении медленного времени.
Уравнение (1.10) удается привес- ти к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка относительно в с начальным условием: э(0) = О. Масса сгустка, являющаяся постоянной величиной, в безразмер- ных переменных выражается интегралом И = / рлз И = М. = —. 1 3 о Массовую плотность источника энергии е„е за счет распада радио- активных изотопов, зависящую только от медленного времени, пред- ставим в виде я Щг) = ~ел,е е=1 где й количество радиоактивных изотопов, присутствующих в ве- ществе сгустка; сл,, Д и гК, — — концентрация, постоянная распада и число Франк-Каменецкого, соответствуквщис г-му радиоактивному изотопу (е' = 1,..., й), Безразмерная константа Д, равна отношению первоначального размерного множителя., стоящего в экспоненте перед вРеменем, к обРатномУ хаРактеРномУ вРемени эволюции Но/(РодоЛз).
Учтя условие сохранения массы в сгустке (1.11) и оставив в вы- ражении для дивергенции только центрально симметричную часть, преобразуем уравнение (1.10) к виду я е — 1РЛ иге= — ~~',~~ сл,е '* — — Л,Нл. ( 12) о е=1 где Нл„— значение радиальной составляющей плотности потока из- лучения. Сделаем замену переменных У = рез 02". Тогда уравнения (1.8), (1.11), (1.12) и конечные соотношения из (1.4) преобразуются к виду д з д1' + 3(з' — Ц (1.13) Лз дЛ дЛ т к. у1дз — ПЛ2 ПЛ 1 в (1.14) 3 о 455 7.3) Эволюиия самогравитируюи)их сгустков Т=6= — Уев, р=У Да )е ', р=У Д" ). (116) 7 1 Первым граничным условием для уравнения (1.13) является равенство нулю давления на границе сгустка У(Л,) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
