Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Наряду с очевидным случаем эс = 3 пренебрежение членами порядка сТ в (1.7) и (1.8) допустимо, во-первых, для длинных труб, для которых и = Х(Т » 1, и, вовторых, при и, 1 для части околорезонансных режимов. Заметим, что если последнее допустимо, то вместо интегрирования (1.8) замену многозначного решения однозначным разрывным можно проводить так. Рассмотрим для определенности Се-волну.
Пусть в ней в сечении я = сопзс зависимость 1 = «(уз ), определенная согласно (1.7), оказалась многозначной. Тогда скачок, устраняющий многозначность, пересекает данное сечение в момент 1 = г,(я), который определяется словием у / (1(,7') — 1„] 1У'=О. ~Вы Это правило в данном случае выводится практически так же, как и в (17), и, будучи переписанным с помощькэ (1.7) и (1.8), принимает вид 1у'™='-,( .', (1.9) При выводе (1.9) для 1, использовалась формула 1„= 1(с,з) = С(С,з) = [1(С,г)+1(С,з))/2 с зависимостью 1(Я), определенной по (1.7).
4.Ц Нелинейнан акустика в задачах о колебанивх, еаза в трубах 289 Можно показать, что (1.9) верно и тогда, когда ударная волна есть уже при х = О, т.е. распределение д" (~) разрывно. Заканчивая изложение соображений общего характера, приведем интегральный закон, который можно использовать, например, для контроля результатов счета. Указанный закон "сохранения инварианта", аналогичный закону сохранения импульса в простой волне, записывается в форме гг ы 2 (Й1 + 72 )("2 11) — /3 Йн — 2 ( 1 + 72 )(нз н1) ° (1.10) Лля С -волн равенства, эквивалентные (1.9) и (1.10), получаются из них заменой С на )1 и индекса плюс на минус. 2. Обоснуем сделанные выше утверждения о применимости (1.7) — (1.10). Начнем с длинных труб. Оценку отброшенных в (1.6) членов выполним для С -волны, ограничившись сначала интервалом 11 < 1 < 12, на котором волну пересекает один С скачок. В силу (1.7), вдоль С -характеристики )1 = сопеФ г и 2Й$ = Й( — е(зе+ 1)(Й Йх+ Й Йх+ хйое)(4.
Поэтому, учтя (1.7), получим л еу=()',1)г л-.""1г х-е*- ег е.г —."г' '(1)г')'г..+ (1" + 1)г' ег'/ =12'ге 1 ег г г г — ° "+,'())гз'г +)г'))е*+[г;)'*,— )г,')'*,) 1 Е.г ы — / Хе Й( ~- е х, ((Й,~) — (,у;;)~) = / Хе Й(— 0 гг — ())гг+,г г)г )')е*г)1,+)Ъ вЂ” )г,+)ее ) *1 Е г — / Й ~К+ 2 (дг1+.~гз)(62 — 61).
Опустив далее в силу (1.9) два последних слагаемых и выполнив суммирование по всем отрезкам С -характеристики от 1 = )1 до текуще- (Гл. 290 А. Н. Крапко, А. Л. Ни го 1, найдем 211 Ф= 1 1+и — ( Г/2.Г 1 +У ) $~*+ Е(п> х +(/ (~(1))) х — (,У+[ь(Ч))) Х = 0(Т) +0(еХ), т.е. соответствующие слагаемые в (1.6) 0(еТ+ езХ) и при и » 1 малы по сравнению с еХ. Подчеркнем, что взаимное сокращение в предыдущем равенстве в силу (1.9) двух последних слагаемых имеет для длинных труб принципиальное значение.
Действительно,как можно показать, каждое из этих слагаемых есть 0(еХ) и, следовательно, суммирование по всем отрезкам С -характеристики давало бы 0(еХз/Т) и не могло быть опущено. Для С'ь-характеристик и ударных волн аналогичный анализ приводит к тому же результату. Для коротких труб (п, 1) нелинейные эффекты особенно важны на околорезонансных режимах. При этом, как можно показать, в рассматриваемых далее задачах нужно с высокой точностью знать относительные, а не абсолютные смешения перемекающихся одноименных характеристик и скачков и моменты прихождения С -характеристик и ударных волн в сечение я = О. Для этих целей (1Л)-(1,10) позволяют учитывать нелинейность с точностью до е включительно, хотя такая точность достаточна и не всегда.
Посмотрим сначала, как волны противоположного семейства влияют на пересечение одноименных характеристик и скачков, а слпцовтаельно, и на их эволюцию. На длине трубы пересекаются одноименные характеристики и скачки, принадлежащие 'коротким волнам', ширина которых по ж или 1 имеет порядок еХ еТ « Т. Возмущения противоположного семейства с точностью до членов более высокого порядка смещают каждую короткую волну как целое, не изменяя взаимодействия составляющих ее "элементов'.
С этой точки зрения, приближение невзаимодействующих волн разных семейств описывает течение весьма точно. Что касается точности вычисления моментов прихождения С -характеристик в сечение я = О, то она также оказывается большей, чем для промежуточных сечений. Так, в окрестности 'полуволнового" резонанса, когда 2п = и+ 1+ + Ь, х = О, 1,..., а ~Ь~ << 1., как будет видно из дальнейшего, для анализа важна разность 1 — ~, где ( момент выхода с левого конца трубы той С'ь-характеристики, которая, став С -характеристикой после отражения от правого конца трубы (х = Х), возвращается на левый конец в момент й Вблизи "четвертьволнового" резонанса, когда 4п = 2к + 1+ Ь, ту же роль играет разность 1 — ь = (» — ч) + (ч — ь), в которой моменты 1, Е и 1, ~ связаны между собой так же, как в предыдущем случае.
Если 7 и 7~ - - вклады, вносимые в разности 1 — ~ и 1 — ( взаимодействием с волнами противоположного семейства, то можно показать, что 7 и 7з = 0(сп -~- Ь) и для полуволнового ре- 4.Ц Нелинецнах акустика е задачах о колебаниях газа е трубах 291 зонанса и для четвертьволнового. В силу (1.4) приведенные оценки обеспечивают правильность высказанных выше утверждений. 3.
На правом конце трубы (при х = Х) поставим условие: и(1, Х) = = 0 или (3.1) д (1, Х) = — з'~ (1., Х). В силу (1.6) и (3.1) имеем Г [У(~), О) = —.т+ (~, О) + 0(гх ), 1® = С + 2Х вЂ” еХ(зе+ 1)з""(С, О)/2+ 0(езХ + е7Т), (3.2) еоЯт) — Дд((')) = 6Г(т) + 0(езп), т = 6' + 2н — (еп/2)(зе+ 1) д(~') + 0(сан + е7). (3 4) Такая или почти такая система ранее была получена в [6, 7). Однако для построения разрывных решений требуется дополнительное условие 'устранения многозначности", которое должно опираться на соответствующие уравнения или правила, например на (1.9).
В отличие от цитированных выше работ в предлагаемом исследовании указанные правила включены в саму процедуру построения решения на каждом периоде по г. Это не только устраняет возможные неопределенности, но и позволяет естественным образом строить решения с произвольным числом скачков на одном периоде. Определение д(х) включало установление по т и проводилось так. Расчет начинался с задания,1 = 0 при т < О. Затем из (3.4) находилось д для 0 < т < 1 с одновременным устранением неоднозначностей в согласии с правилом (1.9). Ввиду периодичности искомого решения найденное д(т) периодически продолжалось на требуемые для определения д для 1 < х < 2 отрицательные т.
После построения д на каждом новом периоде процесс повторялся. Заметим, что если р'(т) и Д фиксированы., то в силу уравнений., определяющих решение, еод/б будет функцией х и "параметров подобия": П з— в бп(хе+ 1)/о и п, вернее, -- т, П и и = 2п — [2п[, где [уз[ — целая частыр. где учтено, что число скачков 1ч' и. На левом конце трубы поставим такое граничное условие: все[Те(1, 0) +)зд (1, 0)[ = 1'(х) ь— е ог'(х), т = ЦТ.
(3.3) Здесь ех и )д известные константы, 7 и Р' периодические функции т периода единица, а 6 = п1ах[Я. Если при х = 0 колеблется скорость, то м = 1/2, ~д = 1. При колебании давления по закону: р = = ре [1+ У(х)) имеем; а = зе/2, )3 = — 1. Если в задаче о колебании скорости на правом конце трубы фиксировано давление, а не скорость, то д (г, Х) = ох(1, Х) вместо (3.1), о = 1/2, но (з = — 1. Такая задача рассматривалась, например, в [6--8, 10[. Ее решение практически совпадает с решением задачи о колебании давления. Положив д(т) = зз (1, 0) и С' = ЦТ, найдем, что в силу (3.2) и (3.3) (Гл.
292 А. Н. Крооко, А. Л. Ни Прежде чем приводить результаты расчетов, рассмотрим случаи, когда система (3.4) может быть упрощена. Если езп « б, то, сохранив в первом уравнении (3.4) только слагаемые, линейные по е, придем к уравнению ка(,1(т) — Д,1(т — 2п)] = бГ(т), (3.5) описывающему колебания газа в обычном акустическом приближении. Пусть далее Р(т) = зш 2ят. Поскольку любая периодическая функция с нулевым средним значением раскладывается в ряд Фурье по синусам, то такой выбор позволяет построить решение в общем случае. Для данной функции Р(т) периодическое решение (3.5) есть еа эш(2ят+ ~р) 1381п4яп 18'р = При резонансе 1+ 112 — 211соз4яп = О, и (3.6) теряет смысл.
Поскольку ~соз4яп~ < 1, а 1+112 > 2~Я, где равенство выполняется лишь при ф~ = 1, то резонанс может наблюдаться толькодля Д = х1. Здесь условия резонанса сводятся к равенствам: 1 ~ сок йкп = О, что дает 2п = к -~-1 и 4п = 2к+ 1 соответственно (к = О, 1,...). Вблизи резонанса (при ~Ь~ < б) в силу (3.6) я > 0(1), т.е. нарушается предположение: езп « б', использованное при получении (3.5). В связи с рассмотрением резонанса полезно выписать нулевое при т < О решение (3.5) для Р(т) = 6(т) з1п 2кт с функцией Хевисайда 6(т)., равной нулю при т < О и единице при т > О. Как можно показать, оно при т > О имеет вид еа т з1п 2кт 1+ Н ойп 2кт соз 2ят К т сок(2кМт7К) т К(к, 1з) = й + —, М(7п, 1з) = тп + —, 3-ь Л Н вЂ” 1 где суммирование проводится по всем пз = О, 1,...., кроме т = к + 1.
Другая упрощенная форма (3.4), справедливая при сп « 1, получается так. Согласно второму равенству (3.4), разложив,У(~') в окрестности с' = т — 2п, придем к уравнению еа(1(т) — Д1(т — 2п) — (е(1п (2) (х + 1) 1(т — 2п) Г(т — 2о)) = = бР(т) + 0(сзп~ + ез у), (3.7) при выводе которого принято, что 1' = г1.1(йт — 0(1). Эта оценка несправедлива, например, для пучков волн разрежения, где,1 е ~, а также для негладких функций Р(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
