Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ду Решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничным и началь- ным условиям, с помощью метода запаздывающего потенциала пред- ставим в виде интеграла с 1.1- (уь)з=ойсдт (22) [Гл. 276 А. Л. Гонор Область Р есть часть плоскости (с, т), ограниченная нижней ветвью гиперболы с и прямыми с = Сот, с = — (7от при т > О, которые в совокупности и составляют границу области Р для случая входа с постоянной Рис. 3 скоростью Уо.
Интегрируя (2.2) по указанной области (рис. 3), получим,что потенциал течения ~РО = У(и~ у 1)~ УоА м ( .с (и, у, 1) = / ~ — 1п ((т — Е) + у ~ — 1п [с (1 + — ) + Уо о з "( (2.3) + сг (1+ — ) — (и — С)з — уз г1С+ / — 1п о((т — С) + у )— Ро~ ~) 2~2 о Уо 1)" где ~г и (г корни уравнений Формула (1.5) позволяет определить ноле избыточного давления около клина. После дифференцирования (2.3) по времени произведем интегрирование по переменной с. Павление в случае постоянной скорости погружения клина (ио = Ьо1) дается выражением 1,г Р— Ро = о Фо(и, У,1), я Т:Мг (2.4) 3.3) Вход звездообразного теми в сжимаемую жидкость 277 Фо(х~ у~ ь) Увс — Мзх -Ь М = 1п грос т Мех+ М ,'~. ~Р.: е=о и ьоо Е= — (и — 1) и и=0,1: п = 2, 3,...; р'"'(х, у: 1) = [2.
5) где р,(х, у, .С) =узо[х, у — 2ае,Х), с=0, х1, х2,..., 0(у(а. Аналогично в указанных областях определяется давление: и =о и ~= — (и — 0 и п=0,1: р~Ц вЂ” ро = и = 2, 3,...; [2.6) Ре~ е= — п и= — 1, — 2,...; р,= Р о Фо[х,у — 2аг,а), ь,=б,х1,х2,.... к ье1 — Мз Лля завершения решения необходимо установить соответствие между произвольной точкой (х, у) и номером области, в которую она по- Павление, получаемое из [2.4) на стенке клина при с ь оо (несжимаемая жидкость), соответствует известному решению [3). Нетрудно также переписать выражение [2 4) в автомодельных координатах х = х/(с1), у = уе(с1).
Приступим теперь к построению решения задачи о входе тонкого клина в канал шириной 2а. На рис. 2 показаны характерные области возмущенного течения, решение в которых можно построить последовательным добавлением "отраженных' решений для клина от правой и левой стенок канала. По мере продвижения клина число отраженных волн от стенок канала и от плоскости симметрии будет расти, порождая соответственно новые области, показанные на рис. 2. Эти области удобно занумеровать положительными и отрицательными числами натурального ряда. В каждой области решение представляется как сумма отраженных решений, которая добавляется к основному потенциалу еоо.
В результате решение в области с номером "пп находится по следующим формулам: 278 А. 77. 1 ояо1) падает в данный момент времени. Пребывание точки 1я, у) в любой из областей определяется временным интервалом между моментами прихода волны возмущения от "отраженных" клиньев справа и слева. Согласно рис. 2, каждая область ограничена снизу и сверху волнами, приходящими от "отраженных" клиньев, последовательно расположенных справа и слева.
При этом удовлетворяются следующие неравенства )с)(('("") ( *'(~-') Г ,/) ()1 2 —..) (з)(») ( )/)( )(( )..)г, „= ), 2, ,Й вЂ”;(у - 2 —..) (,))( ( 12.7) п= — 1, — 2, При с1 < З)(тз + уз потенциал равен нулю. Расчет характеристик поля течения начинается с определения интервала 12.7), в который попадает соответствующий момент времени й После чего по формулам 12 5) и 12.6) находятся потенциал течения и поле цавления. 3. Вход клина в канал, заполненный слоем жидкости конечной толгциньп Рассмотрим вход тонкого клина в слой сжимаемой жидкости толщиной Ь, подвешенный в канале шириной 2а, 1рис. 4). Аналогичная задача о входе тонкого конуса в слой несжимаемой жидкости решена в работах [4, 5). Пусть высота клина больше толщины слоя жидкости, тогда в процессе проникания клин можно считать бесконечным.
Решение этой задачи найдем методом многократного отражения. Граничное условие на свободных поверхностях я = О и т = 6 имеет вид )д(т, у, 1) = О. (3.1) С момента прихода возмущений на нижнюк> свободную поверхность решение 12.5) перестает удовлетворять условию 13.1) при т = 6. В связи с этим добавим к потенциалу 12.5), который обозначим че(и] О(О рез 7)е, потенциал течения )г, вызванный входом в том же направлении клина 1, построенного зеркальным отражением исходного клина относительно плоскости к = 6 (рис.
4). Суперпозиция этих двух потенциалов дает решение, удовлетворяющее всем условиям до момента прихода отраженных возмущений на верхнюю свободную поверхность. дальнейшее продолжение решения осуществляется добавлением потенциала течения )р ' от клина, полученного зеркальным (лу) отражением клина 1 относительно плоскости т = О. Ограничимся построением решения до момента времени, соответствующего тройному пробегу звуковой волны через слой. Если число Маха М > 0.33, то за это время вершина клина уже пересечет нижнюю границу слоя.
Нетрудно показать,чго потенциал Р1 = — )Ро 12л т у: г). 13.2) з.з) Вход зоездообразиого игала о сжимаемую жидкосоиь 279 Индекс ап'о аналогично индексу оп" принимает как положительные, так и отрицательные значения. Его величина определяется соответствующим временным интервалом, в который попадает заданный момент времени 2. Совокупность возникающих интервалов удовлетворяет неравен- ствам -го-м -го ггГХг — О'гх'г гого г < п' = 1, 2, ...; (3.3) (26 — х)2 + (у — 2ап')' < сг~о 2 < -хо о < (26 — х)2+ (у+ 2а(п' — 1))2, и'= — 1, — 2, 24-хо Для моментов времени 2 с22г — *)' г- х' потенциал гр, = О.
Решение при ггг 2 6 < сг < 26 определяется сложением потенциалов (2.5) и (3.2): оо,оО оо'2( — огои (26 — х, у, г). (3.4) Соответствующее выражение для давления имеет вид 4Ь РРоРхУ Огг,о г 'ггггг х о гоххо 4мхо 2~ — Р (26 — х, у, е). (3 5) рис.
4 При обратном ходе волны число областей 62, в которых решение определяется различными аналитическими выражениямиг существенно увеличивается (1о' и и'). Конфигурация областей, когда волна прошла обратно примерно половину слоя, показана схематично на рис. 5. Определение пересечения областей (п, пи), в которое попадает точка (хг у) в заданный момент времени о, производится последовательным разрешением неравенств (2.7) и (3.3).
Далее по формулам (2.4), (2.6), (3.4) и (3.5) находятся потенциал течения и давление в данной точке. Подобным образом продолжается решение на интервал 26 < сг < 36. В этом случае к выражению (3.4) добавля- (Гл. 280 А. Л. Гонор Рис. 5 ется потенциал )р "1 =)ре" (т+ 26, у, 1), причем у 'з = 0 для о)*72() (у . с . р . )27) )33) следующей: (() ( (() ( ( ( (~" 2 ( ), ( (() ( )р — 2,) . <сг(" ) < (3 6) < с1(п") < и = — 1,— 2, о Общее число областей Х составляется из множеств и, л' и но.
Их можно представить нагляцно, если на конфигурацию течения, показанную на рис. 5, наложить множество областей по. Значения гц н' и лу определяются в результате последовательного решения неравенств (2.5), (3.2) и (3,6), которые для конкретного расчета удобно представить в виде, разрешенном относительно п, и' и но. 4. Проникание тела звездообразной формы в сжимаемую жидкость. Перейдем теперь к изучению входа пространственного звездообразного тела, геометрическое описание которого дано в и.
1. Число лепестков будем считать четным. Каждому лепестку приладим форму тонкого клина (рис. 6). Решение для такого тела должно удовлетворять уравнению (1.1) и условиям (1.2) — (1.4). Прежде чем его построить, отметим некоторые свойства пространственных решений волнового уравнения.
Пусть клин погружается в жидкое полупространство. Выберем систему координат, в которой плоскость клина составляет с координатной плоскостью т, я угол о'(рис. 6). В системе координат (и,. у, з) решение задачи о входе клина должно удовлетворять волновому уравнению (1.1), причем потенциал есть функция трех пространственных з.з) Вход звездообразного тема в ежизеаезедю жидкость 281 Рис.
6 переменных. С другой стороны, в системе координат (х, ды хз) решение не зависит от переменной хм удовлетворяет уравнению (2.1) и определяется выражением (2.3), в котором переменная д заменена на дю Учтя связь между координатами дз —— дсоз — хз1пВ, хз — — дз1пВ+хсояВ, получим выражение потенциала в системе координат (х, д, х): у(х, д, х, 1, О) = г'(х, д соз 0 — х сйп В, 1). (4.1) Нетрудно непосредственно проверить., что если функция г(х, д, 1) удовлетворяет уравнению (2.1), то выражение (4.1) удовлетворяет уравнению (1.1). Решение типа (4.1) имеет место для произвольного угла О.
Покажем, что суперпозиция потенциалов (4.1) с различными значениями угла В дает решение задачи о входе звездообразного тела в жидкое полупространство, если последовательность углов 0; соответствует четному числу симметрично расположенных по кругу лепестков. Обозначим общее число лепестков через и, тогда угол между ними будет 2я/и, а углы 0; образуют последовательность 0, = ' , 1 = 1, 2, 2згН вЂ” 1) . и. 3.3) Вход звездообразного тели о сжимаемую жидкость 283 На основании изложенной теории изучим в качестве примера вход тела звездообразного поперечного сечения с четырьмя лепестками.
Согласно (4.Ц при и = 4 имеем Вз = О, Вя = н/2. По формуле (4.2) потенциал ~р(х, у, г, 1) представится в виде Лоо ~~( (4.3) Поле давления, соответствующее (4.3), в автомодельных переменных х = х/(с1), д = у((с1), В = з,с(с1) определяется выражением г р — ро = р' — ' —., [Фо(х, 9)+ фо(х, г)~, фо(х Р) = (4А) '(1 — Мх + = 1и (1+ Мх + Рассмотрим поведение скорости и давления жидкости в точках биссектрисы угла (у = г) между лепестками в плоскости х = сопят (рис.7, б). Согласно формулам (4.3) и (4.4), вблизи вершины угла составляющая скорости в направлении оси х и давление примерно удваиваются по сравнению с соответствуюгцими значениями на стенке клина. Поперечная составляющая скорости увеличивается в 1.4 раза. В результате интерференция между лепестками приводит к образованию области повышенного давления.
Оценим характерный размер этой области вдоль биссектрисы р = г. Рассмотрим два сечения плоскостью х = сопз1 на глубине 0.8 и 0.4 от длины погруженной части тела. Число Маха входа примем равным 0.5. Отрезок биссектрисы, отнесенный к глубине проникания, вдоль которого давление выше, чем на клине, обозначим через 1 (рис. 7, б).
Оценки показывают, что величина этого отрезка 1 = 0.8 для нижнего сечения х/(17о1) = 0.8 и 1 - 1.1 для верхнего сечения х/(11ой) = 0.4. Таким образом, вместе с движущимся звездообразным телом в зазоре между лепестками образуется обширная область высокого давления, которая перемещается вместе с телом. Приведенные выше оценки заведомо несколько завышены, так как не учитывалось ослабляющее влияние боковых кромок клиньев. Литература 1. Григорян С.С. Некоторые задачи гндродинамяки тонких тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
