Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В результате придем к такому соотношению между производными: зг' = — (во+ зг)к — зг, й = 2с18(Ягг — ~Рг) + с18Ягг, гг — я (ягг ) . (2.4) Аналогичные связи можно установить и между производными более высокого порядка Ы~~ и я~я~ и т.д. Ограничим для простоты ряд (1.19) четырьмя членами. В этом приближении, используя граничное условие г'(О) = О, получим для второй производной выражение и гг(2 — Ягг) — г"Ягггг яг ягг(2 -~- Ьрг) (2.5) 1+ Зов|в)1 вш(~З вЂ” 1о) 1= Ьг вш(З вЂ” уг~) ' Ьг Ь "п2( — ) е1 Х, 2Ьг Ьг — — (1 — 2о18~ а я(п,З)'г' соя а Ьг яш(З вЂ” ягг) ' ягп (т — 1о~) И, угз — — а18 ас18,3, (Гл. 270 А.
2У. Гонор Формула (2.5) позволяет определить порядок я". Лействительно, 1оз ту7, яэ и яз — е, значит, хз - ~/ж С~ютветственно из (2.4) найдем,что яэо - 1. Нетрудно установить,что ударная волна выпукла вверх (знак яз < О). Соотношение (2.4) позволяет представить ряд (1.19) в форме: з('Р) = яз+зз(эо — рз)+ — ззо(р — дя)'— 2 6 ((~з + хз ) й + Яз) ( Р— Ря ) +..., (26) причем вторая производная исключается при помощи (2.5).
Определив форму ударной волны, найдем остальные характеристики потока. Рассмотрим некоторые данные по распределению давления на поверхности крыла. На рис. 4 представлен коэффициент давления С„, вычисленный по первому приближению и с учетом рз (штрих-пунктир), и дано сравнение с соответствующими величинами, полученными в [5) методом конечных разностей (сплошные кривые, светлые кружки точка А), и с теорией Ньютона (штриховые кривые).
На этом же рисунке кружками с крестиками приведены результаты эксперимента (6) для М = 5. Как видно из расположения кривых, совпадение достаточно хорошее. 3. В качестве второго примера рассмотрим обтекание треугольного крыла с поперечным сечением К-образной формы.
Обозначим полуугол при вершине крыла через Д, а угол раскрытия крыла, измеренный в поперечной плоскости, через у (рис. 5). Тогда уравнение поперечного контура г' определится выражением з' = ус68з озшр. Предполагается, что у « е. Коэффициенты Ь„вьь численные на плоском участке ударной волны, даются выражениями (2.1), а уравнение волны в этом случае будет я = з'(~р) + а з1п()1 — р). Коэффициент т з снова выпадает, и с принятой точностью без изменений сохраняются и формулы (2.2) и (2.3). В результате уравнение плоского скачка в физических координатах принимает вид е18а(1+ езес а) зш(Д вЂ” 1о) д* = узш1о+ з1п(1У вЂ” ЗЧ ) Определим теперь криволинейный участок волны.
В точке А уравнение (1.18) и коэффициенты А, совпадают со случаем плоского крыла. Поэтому соотношения (2.4) и (2.5) можно использовать и для крыла К-образной формы. С учетом сказанного, ряд (2.6) будет представлять ударную волну, если значения яз и я' определить из (1.15). Качественный анализ решения, связанный с разрывом кривизны, энтропийным слоем и др., можно опустить, так как в нем не содержится новых положений по сравнению с исследованием,. проведенным для плоского крыла. 272 А. Л. Гонор Расчет распределения давления на крыле и форма ударной волны для нескольких значений углов раскрытия и атаки приведены на рис.
б. Графики, построенные по первому приближению, позволяют сделать вывод, что вдоль размаха крыла давление меняется незначительно. Основное изменение давления наблюдается около плоскости симметрии, где при уменьшении угла раскрытия крыльев оно возрастает. Так как теория справедлива для течений без внутренних скачков, то угол раскрытия может изменяться в относительно узком диапазоне.
Литература 1. Гонор А.Л. Обтекание конических тел при движении газа с большой сверхзвуковой скоростью,',~ Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машинострооиие. 1959. № 1. С. 34 — 40. 2. Мекз!!ег АЛА 1 !Н о1 в1епбег 4е!$а ишбз ассогббиб го Хеиьов!ап Гйеогу Л А1АА Лопгпа!. 1963. У. 1. № 4. Р. 794 — 802. 3. Науке И'.В., Ргобжега Гсг.
Нурегвошс Яои гЬеогу. №Ху"Новдогп Асаб. Ргезз, 1963. 4. Беиие В.С. Са!сп!асеб ргеззше ббзГПЪпйопб апг! зЬос!г зЬарез оп Грбск сов!са! ишйа а! Г08Ь зцрегзошс зреебз Л Аегопава Овеса 1967. Ч. 18. № 2. Р. 185 — 206. 5. Бабаев Л.А. Численное решение задачи обтекании поверхности треугольного крыла сверхзвуковым потоком Л Журн. вычисл.
матом. и матем. физ. 1962. Т. 2. № 6. 6. Випба!! В., ВеИ В., Вней .1. Ргеззиге б!зег!Ьвг!ов !ее!в о1 зскега! зЬегр !еаб!пб еббе и!вбз, Ьогйез авг! Ьобу-и!пб сошГйпаг!опз аФ Маей 5 авб 8. АЕНС Т№ 1966. №' 173. Глава 3.3 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА СО ЗВЕЗДООБРАЗНЫМ ПОПКРКЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ В СЖИМАЕМОЙ яКИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ *) А. Л. Гонор 1. Формулировка задачи. Рассматривается вход пространственного тела звездообразной формы в жидкое полупространство и в подвешенный жидкий слой конечной толщины. Тело представляет связку и;тонких одинаковых лепестков, симметрично расположенных по кругу (рис.
1 ). Геометрия лепестков характеризуется малыми Рис. 1 значениями отношений толщины лепестка к его поперечному и продольному размерам. Скорость движения тела считается дозвуковой, а закон движения ге = ие(1) либо задается, либо определяется в процессе решения. *)Проблемы современной механики. Ч. 1. / Под ред. Л.И. Седова. Мс МГУ, 1983. С. 101-112.
(Гл. 274 А. Л. 1 оэор В указанных предположениях начально-краевая задача сводится к определению потенциала р(хб р, я, 1), удовлетворяющего волновому уравнению (1.1) начальным условиям оз(х, д, я, О) = О, ~р~(х, р, я, О) = О (1.2) и краевым условиям; на поверхности погруженной части тела Я вЂ” = Уо (1.3) и на свободной поверхности ~р(х, р, я, .1) = О. (1.4) я=о,а Здесь с - скорость звука в невозмущенной жидкости, У„- - распределение нормальной скорости на поверхности тела. Давление по известному потенциалу находится из интеграла Коши — Лагранжа: р = — Ро — +ро.
др д1 (1.5) где ро и ро — невозмущенные значения плотности и давления. Если предположить, что лепестки тела имеют плоскость симметрии, то движение жидкости во всех углах (2я/и) между соседними лепестками будет одинаковым. Это позволяет свести изучение возмущенного движения, вызванного погружением тела, к области пространства, ограниченного половиной двухгранного угла (я/и) между лепестками. Возмущения (ударные волны), опережая в своем движении тело, будут многократно отражаться от плоскости симметрии лепестка и плоскости симметрии течения, не выходя за пределы двухгранного угла (я1'и).
Это обстоятельство делает возможным изучение качественной картины интерференции волн в зазоре между лепестками на примере погружения плоского профиля (клина) в вертикальный канал заданной ширины. Решение этой задачи получено в п. 2 на основе обобщения известных результатов о проникании тонкого профиля в сжимаемую жидкость со свободной поверхностью. Третий пункт содержит решение задачи о входе клина в канал со слоем жидкости конечной толщины.
Наконец, в и. 4 дается способ построения решения для начального этапа входа пространственного тела со звездообразным поперечным сечением, имеющим четное число лепестков ьь 2. Вертикальное погружение тонкого клина в канал конечной ширины. Вход тонкого профиля в жидкое полупространство с начальной скоростью (7о и законом погружения вершины хо = хо(1) (рис. 2) исследован разными методами [1, 2). Ниже методом источников найдены потенциал течения и поле давления около клина, которые используются при изучении входа клина в канал шириной 2а.
з.з) Вход звездообразного тела е сжимаемую жидкость 275 Рис. 2 В системе координат х, у потенциал плоского течения удовлетворяет уравнению =с —,+ з . (2.1) Граничное условие на стенке тонкого клина, снесенное на ось х, имеет вид д — — хо(1)о, О < х < хо(1). дф ду а на остальной части оси х д~ — = О, хе(1) < х < сю. ду В силу условия на свободной поверхности (1з4) при х = О, потен- циал продолжается на верхнюю полуплоскость нечетным образом. Граничные условия при этом на отрицательной части оси х будут — = — х(1)сь, — хо < х < О, дю ду — =О, дьз — оо < х < — хо(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
