Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Автореф. дисс. на сопок. уч. степени канд. физ.-матом. наук. Мл МГУ, 1956. 2. Сагомонон А.Я. Проникаяие клина в сжимаемую жидкость Л Вестник МГУ. Сор. матом. мех. 1956. № 2. С. 13 — 18. 3. И'арнег Л. ()Ъег Бенге ипд С1ейуогйавбе ав е1ег ОЪегйаЪе сои РййзсйбйеР ееп // ХАММ. 1932. № 4. Я. 194 — 215. 4. Ероизин В.А. Проникаяие конуса в жидкий слой // Вестник МГУ. Сер. матем. мех. 1963. № 5. 5.
Еретик В.А., Лоруникое В.Б. Пвижение конуса в жидкости конечной глубины Л Вестник МГУ. Сер. матем. мех. 1964. № 2. Александр Николаевич Крайко А.Н. Крайко родился 20 августа 1934 г. В 1953г.поступил на Аэро-механический факультет Московского физико-технического института (МФТИ), который закончил в 1959 г. Кандидат физико-математических наук (1968г.), доктор физикоматематических наук (1973 г.), профессор (1978 г.). В настоящее время — начальник отдела "Теоретической газовой динамики, численных методов и математического эксперимента" Центрального института авиационного моторостроения (ЦИАМ) им. П.И.
Баранова. Основные научные направления: теоретическая газовая динамика, численные методы, оптимальные аэродинамические формы. Награжден Золотой медалью и 1 премией им. профессора Н.Е. Жуковского (1970 г.), орденом "Знак почета" (1976 г.), Государственной премией СССР (1978 г.), медалями и премиями им. П.Л.
Капицы (РАЕН 1996г.) и им. А.М. Люльки (АССАД 2002г.). Член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике, действительный член РАЕН, член редколлегий журналов "Известия РАН. Механика жидкости и газа" и "Аэромеханика и газовая динамика", член Советов по присуждению докторских степеней ЦИАМ и ЦАГИ. Глава 4.1 О НРИБЛИяКЕНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ В ЗАЛАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ ГАЗА В ТРУБАХ "1 А. Н..Крайзсо, А. Л. Ни Рассматриваются одномерные нелинейные колебания идеального газа в трубах. Учитывается зависимость наклона характеристик от возмущений параметров и возможность возникновения слабых скачков,но пренебрегается изменением в них энтропии и инвариантов Римана.
Особое внимание уделяется случаям, когда можно не принимать во внимание взаимодействия волн разных семейств. В качестве примера анализируются околорезонансные колебания, для которых нелинейные эффехты и образование скачков особенно важны. Из имеющих отношение к дальнейшему исследований по нелинейной акустика идеального газа и других сред укажем на работы ~1 — 19~. Для получения конкретных результатов из них решающей оказалась работа ~Ц, где дан сравнительно простой, хотя и формальный способ построения некоторого класса разрывных решений и приведены иллюстрации его эффективности.
Метод, используемый ниже, примыкает к более физическому направлению, которое развивалось в ~2. 91 и в противоположность |Ц опирается на достаточно прозрачные соображения, связанные с характеристиками, их пересечениями и т.п. Постановка и решение задач о нелинейных периодических колебаниях невозможны (или неоправдаиы) без выяснения ряда моментов принципиального характера. Так, физически очевидные и наблюдаемые в эксперименте периодичоские режимы со скачками чаще всего нельзя описать точными уравнениями идеального газа.
Действительно, рост энтропии, имеющий место в "точной постановке", при отсутствии среднего потока через трубу неизбежно уводит систему от резонанса, что и наблюдалось в 120~. Поэтому анализ околорезонансных режимов возможен либо в приближении модели, учитывающей отвод тепла через стенки, либо в рамках упрощенных уравнений, пренебрегающих ростом энтропии на скачках. Упрощение уравнений оправдано и по той причине, что в подобных задачах благода- *) ПММ. 1980.
Т. 44. Вып. 1. С. 77-88. 286 А. Н. Крайко, А. Л. Ни ря возникновению скачков колебания малы и вдали,и вблизи от резонанса (хотя во втором случае они больше, чем в первом). Ланксе обстоятельство, затрудняя применение численных методов, эффективных в других газодинамических задачах, гарантирует аккуратность приближенных уравнений. Исходя из высказанных соображений, авторы развили подход, который опирается на упрощенные уравнения и на специальную численную процедуру и обладает рядом преимуществ 1в частности, по простоте и кругу решаемых задач) по сравнению с предложенными в цитированных работах.
Включение в численную процедуру естественного алгоритма построения скачков, возникающих на длине трубы, снимает вопрос о стыковке гладких участков решения, который, пожалуй, является наиболее слабым звеном практически всех выполненных до сих пор исследований. 1. Рассмотрим одномерные колебания в трубе при малых скоростях и почти однородных прочих параметрах. Однородным параметрам припишем нулевой индекс. Пля скорости газа и и скорости звука а пРимем, что и = ооеи' и а = ое11 + еа'), где е хаРактсРизУет отклонения и и а от ио — — О и от ае и выбрано так, что шахЦи'~, ~о'~) = 1. Параметр е необязательно совпадает с амплитудами внешних воздействий, которые могут быть заданы на левом 1т = О) или на правом 1т = Х) концах трубы. В трубе могут возникать скачки, амплитуда которых не превышает 2е, а приращение энтропии в каждом скачке 01ез).
Принимая во внимание сказанное выше, будем пренебрегать этим ростом, считая энтропию газа не отличающейся от ее среднего значения. Тогда течение в каждой точке полностью определится значениями и и а или их функциями инвариантами Римана,Уш. Пля совершенного газа з'+ = и ш 2о/(зг — 1), где зг показатель адиабаты. В областях непрерывности 1+ 1з' ) сохраняются на С+ 1С )-характеристиках, а при пересечении характеристиками скачков "противоположного" семейства они, как и энтропия, изменяются не более чем на 01ез).
Если, распространяясь по трубе, каждая характеристика пересечет 2з' скачков, .то суммарное изменение 1т не превысит 01езХ) и при еззз' » е будет пренебрежимо мало, по сравненикз с отличием инвариантов от "средних" значений. Для Я (( е даже при наличии слабых скачков с точностью до е включительно о'+ = 1+)С11, т)) и У = 1 ~Л(1, т)) где С и и — характеристические переменные, сохраняющие постоянные значения соответственно на Се- и С -характеристиках. Эффекты нелинейности носят при этом накопительный 1кумулятивный) характер, вызывая 1из-за зависимости скорости характеристик от параметров) их пересечения друг с другом и со скачками одноименного семейства. Наряду с и' и а' введем т', Р и ц'~' равенствами т = х'й, 1 = 1Цае, о' = иееЮ ' ж 2ао(1зг — 1), (1.1) где Ь .- характерный размер, а 1 "- время. Если — характерное время, например период для периодического течения, то в силу 11.1) 4.Ц Нвлинвйнан акустика в задачах о колсбанивх газа в трубах 287 Т = Т'Б(ао, Х = Х'Ь и Уж' = и'т 2а'((зс — 1), а согласно выбору е, максимум ~д~'~ - 0(1).
Ниже, используются только аштрихованные" величины, штрихи над которыми опускаются. Для инвариантов можно поставить граничные условия: д+~~, 0) = Ет(б), 1 (1, Х) = Р (1) с непрерывными или разрывными г' (1) - 0(1), которые будем считать такими, что для любых моментов 11 и 1г ~На(1) 11~ < лат (1. 2) и с константами Ах 0(1). В принятых обозначениях уравнения характеристик запишутся в форме ( — ) = 1+с(и+а) = 1+с [,Ут®+,У ®~, (1.3) ( — ) = — 1+с(и — и) =1+с[ д Я+ дт(С)1.
Учтя, что с (ц) постоянно на каждой С+ (С )-характеристике, взяв в качестве с Я моменты времени, в которые С+ (С )-характеристика покинула сечение х = 0 (Х), и проинтегрировав приведенные уравнения, найдем с' —.=~- (","'хиеи-е ',")з (ег~, (1.4) с: ух .=ц~хх*~" ~'з [Еа — Ех' „")г Юа~.
п Интеграл в первом уравнении вычисляется при с = сопзс, а во втором при ~1 = сопз1. Из-за пересечений одноименных характеристик возникают ударные волны. Так как скорость слабого скачка с точностью до е включительно равна полусумме скоростей сходящихся на нем характеристик (17], то, например, для скачка, бегущего вправо где учтено, что,У при пересечении слабого скачка "первого семейства" (аС -скачка") не изменяется, индекс в приписан параметрам на скачке, а индексы 1 и 2 параметрам с разных сторон от него. В силу (1.4) 1 — с = х+ 0(еХ), а 1 — и = Х вЂ” х+ 0(еХ). Следовательно, (1.4) можно заменить на с+: 1 — *=~ — ~" ~ хи+1 )~ (Ег~~ ° ои'х), (1.б) о-: ух* = ц~хк~",+' х-алх-*Н',"1зис а~~оихГ о (Гл.
288 А. Н. Крайко, А. Л. Ни Уравнения (1.5) и (1.6) вместе с начальными распределениями,Уз и граничными условиями, например для уг на левом и для у на правом концах трубы, полностью определяют течение. В отличие от линейного (акустического) приближения при 1 » Х начальные распределения "забываются", и периодические граничные условия "вырабатывают" решение, периодическое по й Анализ значительно упрощается, если взаимодействие волн, бегущих в разных направлениях, оказывается несущественным., что позволяет пренебречь в правых частях (1.5) и (1.6) слагаемыми с множителем (3 — л).
Тогда Се- и С -характеристики заменятся прямыми Сь: 1 — т = ~ — е(м+ 1) Хг ®х/4, С: 1+ я = 9+ Х+ с(х+ 1),У (9)(Х вЂ” т)/4, (1. 7) а уравнения скачков после пренебрежения членами порядка езТ станут т„'= ХУ„),,т;, =.Г(9„). (1.8) Течения, описываемые каждой парой уравнений (1.7) и (1.8), как и в (17- 19), -- последовательности простых волн, разделенных слабыми скачками. В рассматриваемых здесь задачах пренебрежение взаимодействием волн разных семейств использовалось и частично обосновывалось в (5-8). Следует, однако, подчеркнуть,что зто приближение в таких задачах справедливо далеко не всегда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
