Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В результате найдем, что рз = яшо / —,, (В, + В) (1((о . ]1.16) Если теперь дважды продифференцировать ]1. 13) и подставить результат в ]1.16), то для рз будем иметь з рз = ]В' + В;. ) яш о / —,, е]оз' + 211 + гпо) яш (з х з — 2(*+за(» г ] — Зг']' ( — ) г().
((((( Первый член в ]1.17) характеризует влияние кривизны поперечного контура, второй — влияние кривизны ударной волны. В формуле (1.17) опущены слагаемые, содержащие величины ярз, и ярв „. Основанием для этого являются оценки отброшенных членов, имелзщих с точностью до несущественной постоянной вид: бз = я/ —,~ г1(р' / ( —,) рз е(яе, е е бз я /,з (з(Р / ( з) Рзк~ ~К. Ф' д Попустим, что рз а(',я), тогда имеем рзо я '~~аЯ и рз~„ я ~а]я). Если учесть, что и 1, и — з((я (при уз ( (оз) и т' меняет порядок от 1 до з((я, то получим бз бз яа]я). Следовательно, в области неоднородного течения, где (р ч(я, указанные градиенты давления с соответствующими весовыми функциями имеют более высокий порядок малости, чем остальные члены уравнений, и главный член для давления рз определяется формулой 11.17).
В области однородного потока рз обращается в нуль. Подставив (1.17) в (1.14), .получим для поверхности ударной волны ннтегро-дифференциальное уравнение [Гл. 266 А. Л. Гонор Я + б[27з(зсоЯУ вЂ” з'ЯшУ) — 7ч) + 2Я(з" + з'о)7з — з" = = 2я5((г + я ~)[21 4 гйп р — 1 я соя~о) — (з + з~ )1 з я1п ~р), з = ЯО*(ф сйба, Я' = ЯВ'(ф сС8а, д = Я(1+ то) сова, 7,1 — / — „(1+ [з(ф ) соя ю — з (ф ) яшоо ~ ~ шр, (1.18) Коэффициенты Ь; являются сложными функционалами от формы ударной волны я, но в некоторых случаях, например, когда волна плоская, квадратуры легко вычисляются, и все Ь, представляются конечными выражениями.
Это обстоятельство используется ниже при построении решения. Рассмотрмм теперь подробнее структуру уравнения (1.18). Его правая часть содержит члены более высокого порядка, чем левая, и, казалось бы, ими можно пренебречь. Однако совокупность членов в левой части уравнения тождественно равна нулю в точке сопряжения. Поэтому вблизи нее левая часть может иметь тот же порядок малости, что и правая, содержащая старшую производную.
Наличие последней и позволяет произвести гладкое сопряжение плоской и криволинейной волны з). При этом, согласно уравнению (1.18), в точке А (рис. 2) возникает разрыв кривизны. Следует отметить, что хотя система (1.5) и граничные условия (1.6) н (1.7) с самого начала допускают ошибку в членах выше первого порядка, разыскивается по возможности точное решение аппроксимирующих уравнений. Как видно из анализа (1.18), в поле потока есть области, в которых главные члены или их комбинации обращаются в нуль и поведение решения определяется малыми добавками.
Предугадать заранее, где и какие из малых членов окажутся существенными, не всегда представляется возможным, особенно когда течение сложное, как, например, в окрестности точки А. В этом случае сохранение всех членов позволяет уловить тонкие эффекты, вносящие главный вклад в области смыкания потоков. ') Указанное положение не было замечено в предшествующих исследованиях, включая последние работы [3, 4). Поэтому попытки построения решения на основе уравнения, отличающегося от (1.18) тем, что в правой части стоит нуль, оканчивэлись безуспешно.
3.2) Обтекание треуеолоноео крыла еиперзеуковым потоком 267 Перейдем к отысканию решения уравнения (1.18). Уравнение поверхности ударной волны в области 0 < ~р < ~рг будем искать в видо ряда г " (Згг) з(~р) Х~' 1 (р 'гог) (1.19) п.=е Значения функций з(угг) и г'(угг) заданы условием гладкого сопряжения с однородным потоком. В точке ~рг непрерывны и известны коэффициенты Ьо поэтому из (1.18) нетрудно установить связь между г"'(угг) и яРО(угг). Если произвести последовательное дифференцирование уравнения (1.18), то можно найти аналогичные связи между гРО(угг) и еОО(рг) и т.д. В результате ряд (1.19) будет зависеть только от одной произвольной постоянной, которая находится из условия в плоскости симметрии з'(0) = О. Можно показать, что в построенном решении области однородного, потенциального и вихревого потоков сопрягаются непрерывным образом.
Лействительно, хотя кривизна ударной волны в точке сопряжения терпит разрыв, газодинамические характеристики остаются непрерывными. Лля простоты ограничимся случаем плоского крыла (г' = 0) и рассмотрим в окрестности линии уг = угг поведение давления. Из формулы (1А) видно, что разрыв может возникнуть только от второго слагаемого рг. Справа от точки А выражение (1.17) дает, что рг — — О. Лля исследования давления слева, применив вновь соотношение (1.17), получим рг = О. Следовательно, давление внутри области течения непрерывно.
Второй характеристикой, зависящей от кривизны волны, является компонента скорости и. Опуская выкладки, можно сделать заключение, что с принятой точностью до членов ег она также непрерывна. Лругим важным моментом является полученная из решения топо- логическая картина поверхностей тока. Изучим расположение на сфере г = сопз1 линий тока, прошедших через плоский скачок. Все они, согласно (1.9), имеют критическую точку (О, угг) типа узла (рис.
3). Этот узел располагается на расстоянии, очень близком от плоскости симметрии ( е 18г ег), однако не совпадает с ней. Слабое искривление поверхностей тока левее характеристики уг = угг обусловлено изменением функции Л. Исследование линий тока, прошедших через криволинейный скачок, обнаруживает возможность пересечения ими поверхности крыла ОС, которая на этом участке становится особой (рис. 3). Сказывается, при уг < угг (точка В на рис.
3) существует диапазон значений Ф < уг' < Д, для которого величина 0 принимает отрицательное значение. Таким образом, решение охватывает область по другую сторону крыла, вплоть до огибающей линии тока ЕС. Формально эту область можно не исключать, если придавать реальный смысл всем выражениям только при 9 ) О. Однако если ввести новую функцию ~р'(~р) (Гл. 268 А. Л. Гонор (О < р < р1), определяемую уравнением о ао 1 ЬЛФ' =0: и ограничить изменение переменной ~р' интервалом ~р < < р' < 1о'(у), то область В < < 0 исключается автоматически. При этом предел интегрирования )з заменится величи- 0 ной ~р'(~р), и вид некоторых выражений при дифференцировании изменится.
Понятно, что оба подхода дают одни и те же результаты и приводят к необходимости удовлетворить условию непротекания на линии ОС. Покажем, оценив нормальную скорость, что это условие выполняется. Если учесть, что и = иди, о е/у', ш с~р', то получим о сз и, с принятой точностью, условие непротекания выполнено. По этому поводу необходимо заметить, что,.хотя построенное решение удовлетворяет всем уравнениям и граничным условиям, в области, примыкающей к отрезку ОС, точность аппроксимирук>щей системы падает. Здесь, как и в теории гиперзвуковых конических течений, необходимо учесть энтропийный слой.
В результате в области, ограниченной на рис. 3 штрихами, будет другое распределение скорости и исчезнут особенности на отрезке ОС. Решение уравнения (1.18) в форме ряда (1.19) удобно своей простотой для проведения конкретных расчетов. Однако оно не дает возможности установить вид зависимости решения от параметра с. Чтобы проанализировать искомую зависимость, можно воспользоваться методом возмущений. При е = 0 решение з = 0 удовлетворяет граничным условиям и уравнению (1.18). Если принять его за нулевое приближение решения при с ~ О, то можно вычислить все интегралы Ь,.
В результате уравнение (1.18) становится дифференциальным и для малых уз сводится к уравнению Эйлера третьего порядка. Решение последнего содержит члены вида охр(с ~~~ 1п р), свидетельствующие о неаналитическом характере зависимости от с. Подстановка этого решения в (1.17) позволяет установить, что члены дз и дз соответствуют приведенным выше оценкам. 2.
Общие соотношения, полученные выше, можно применить к обтеканию треугольной пластины под углом атаки. Угол при вершине пластины обозначим через 2Д, а число Маха будем считать для простоты равным бесконечности (тоо = 0). В этом случае функция з' = 0 и коэффициенты Л„вычисленные вдоль плоской волны з = а з1п(,3 — ф, определяются соотношениями 3.2) Оотекоиие треуеолоиого крыло еиперзоукоомм потоком 269 ейп(,З вЂ” уг) (2.1) 6 2 вш(З вЂ” ягг) соя (Зг — егг) 3 Коэффициент Аз в данной задаче выпадает (крыло плоское); координата угг определяется линией пересечения конуса Маха для однородного потока за ударной волной с поверхностью крыла. Ее значение находится из выражения 1+е,З'1г в'п(Рг угг) = (я Р ) Ь~ 1 е (2.2) Формула (2.2) показывает, в частности, что ягг ~~.
Подставив уравнение плоской волны в (1.18), будем иметь 1+ овес а о=я в1п(13 — уч ) ' (2.3) и в физических координатах уравнение плоского скачка примет вид (1 -~- е вес' а) ейп(З вЂ” яг) О* = я18а я1п()1 — згг) давление за скачком в однородном потоке определяется формулой р =р' = яш а+я ~ (1+яяес а) — 1~ вш а. 2вш(1 ,г, 2 ~вш()г — ягг) Криволинейный участок волны найдем при помощи ряда (1.19), предварительно подставив в уравнение (1.18) при 1о = аког коэффициенты Ап вычисленные по формулам (2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
