Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(1.5) Подставив эти ряды в (1.2) -(1.4) и в условие на поверхности тела, найдем уравнения и граничные условия для членов рядов с одинаковыми индексами. 2. Определение решения по первым членам рядов. Из (1.2) для первых членов рядов (1.5) имеем систему дио 1 дро — — Агюо = О, юс(1пАг)в = 01о Робов дВ ' д ио и~а дво ио — (1п(роАгюодоо)) = — 2 — Аг, ию ' Аг д1г Аг (Гл. 254 А. Л. Гонор Здесь и ниже коэффициенты Ломе вычисляются при 0 = 0ь и зависят от одного переменного д. На ударной волне при в)в = ф* из (1.3) получим граничные условия А1о>о0о в ( 2а"' 7 оо а и =из, о юо — во~ (2.2) аз Ро = Роно Здесь ио, оо и воо — - компоненты скорости набегающего потока, опре- деляемые по формулам (1.4) при 0" = 0ь.
Проинтегрировав первое, третье и четвертое уравнения системы (2.1) по линии вр = сопз1 от точки М до точки йГ (рис. 2),найдем,что =в $в) 5 'р'А вц у (В)/, (2.3) — ' = бо(вр). ро Функции Ьо, а и до в силу условий (2.2) даются выражениями ! ~о® = ~ (ио')'+ (ово')' о(ф) = агссК вЂ” '., воо о бо(вр) = (ио ) 1 + ( (7 )оо (2.4) Р в РоАгйоо роА,0оо мо воо Это соотношение позволяет представить мы (2.1) в интегральной форме (2 о) второе уравнение систе- (1вАо)в I'воаА(ро ы л в* Для исключения из-под знака интеграла неизвестной функции 0' перейдем к переменной интегрирования р',используя равенство н Г 2 '~ В фоРмУле длЯ воо(вр) знак пеРед коРнем должен совпадать со знаком иве'.
Штрихи здесь и далее означают, что соответствующие параметры вычислены на линии пересечения поверхности ударной волны с поверхностью тока Ов = сопз1 (точка Ж на рис. 2) при ув = 1о'. Между переменными ф и ~Р' имеется взаимно однозначная зависимость, и искомые функции удобно определять в переменных у' и 1р. Пятое уравнение системы (2.1) с учетом формул (2.3) для ио и юо допускает интег ал 255 Обтенанне нонннеених тон полученное из последнего уравнения системы (2.1) и второго условия (2.2). Подставив значение р' из (2.2) и выражение (2.6) под знак интеграла, найдем, что давление в любой точке потока определяется формулой г , (1вАг)о Ггоооо (2.
7) ро — ро Р А / мг г 'Р . / Проинтегрировав (2.5) по линии ~о = совз1 от поверхности тела, получим,что (2.8) Рон'о Отсюда. положив Ог' = ог, найдем функцию д'(Ог), которая определяет поверхность ударной волны. После интегрирования в (2.8) появилась пРоизвольнаЯ фУнкциЯ уг'(Уг) = Уг'(г)г) пРи до — — О, котоРаЯ вследствие граничного условия на поверхности тела должна удовлетворять равенству дог' дог ''(-.)е-=е =О, допускающему два решения: 1.
Следуя Ферри [3), предположим, что на поверхности тела шо у': О. Тогда уг' равно постоянному числу, значение которого определяется в каждом конкретном случае. 2. допустим,что дуг'/дугу': О. В этом случае уг' находится из неявного уравнения (2.9) Анализ интеграла (2.8) показывает, что функцию ~р' можно считать постоянной только тогда, когда уравнение (2.9) не имеет решения. В противном случае первое решение приводит к отрицательным значения до. Вернемся к формуле (2. 7). давление на поверхности тела находится из нее при уг' = уг'.
Исследует знак Аго, которым определяется знак второго слагаемого в (2.7). Имеем бе Аго = т —, т = (т,./Аг, удгеАг, я„.геАг), бог ' где т единичный вектор, направленный по касательной к линии пересечения поверхности д = дь со сферой единичного радиуса; $ = (жо, уо, го) —. вектор, нормальный к т и направленный по касательной к линии ог = сопз1, лежащей на сфере. Знак скалярного произведения совпадает со знаком соз(т, еге), который (рис. 3) на выпуклой поверхности положительный, а на вогнутой — отрицательный. Таким образом, давление на выпуклых частях поверхности ниже, чем за ударной волной, а на вогнутых -- выше.
добавок, определяемый вторым сла- 25б А. Л. Гонор 0=-сопв1 Рис. 3 гаемым в (2.7), характеризует влияние центробежных сил, обусловленных поперечным перетеканием газа. 3. Решение задачи об обтекании плоского треугольного крыла. Примером применения общего метода можот служить обтекание плоского треугольного крыла с углом при вершине 20. Выберем систему координат, удовлетворяющую требованиям, указанным в и.
1. В данной задаче за такую систему можно принять оси г, О, во, показанные на. рис. 4. Поверхность крыла в этой системе задается условием 0ь = О, связь между старыми и новыми координатами определяется соотношениями х = г сов 0 яп во, у = г яп О, в = г сов 0 сов во, (3.1) а коэффициенты Ляме А2 = 1, А2 = сов0. Учтя, что ио, ио и шо вычисляются из (1.4) заменой а на ( — а), согласно рис. 4, и при 0' = 02 = О, найдем параметры потока по формулам (2.3), (2.4), (2.7) и (2.8) в виде (М' = 17/а' число Маха, а 77 скорость не- возмущенного потока) ио = 17 сов о сов о2, юо = — 17 сов а в1п Во, РО 2 2 2 — = сГ~ яп а ~1+ ро=р77 з1п а, ро ~ 1у — 1)М'2 вшв о 0о = япо2(с$8~р' — свб~р')18а 1+ (,— цМ'21но 1 Непосредственной подстановкой убеждаемся, что для функции Во'(Во) уравнение (2.9) решения не имеет, следовательно, р' равно постоянному числу, которое находится однозначно, если ударная волна присоединенная (передняя кромка сверхзвуковая).
Действительно, р' координата поверхности тока, прилегающей к поверхности крыла. Так как эта поверхность пересекается с волной на передней кромке (правой или левой),то Во' = х)3 1рис. 4). 257 Обтекание конических тел О.З О.! 8 и!град) Рис. 5 Рис. 4 Изучим более точно обтекание крыла при помаши вторых чле н ов рядов (1.5). Система (1.2) и граничные условия для членов с индексом 1 аналогичны рассмотренным в п.
2. В результате получим з!па!ка ~ 2 и| — — — 5У, ~1+ з!пу!! — |у|), з!пуу ~ (у — ЦМ'зз!в а! е!в!У ~ !'у — ЦМ'зяв а) 2 еу-з )у — ЦМ"-яп а~ М'е 4р' Р! = 2+ (у — ЦМ'е з!в| а' 2 ~ з!и!уУ вЂ” у') ~ 2 !у — ЦМ из!из а) з!пууз!пел' ~ уу — ЦМ |яп|а + !бз 1+ ',, зес' б — ""''г У') с!б)У Поверхность ударной волны определяется значением выражения (е!Уе + сзй!) при !е' = |у|. Рассмотрим сечение поверхности волны плоскостью з = 1. Перейдя к декартовым координатам по формулам (3.1), получим, что по первым двум приближениям линия пересечения прямая 7 — 1 у = — !ка ~1+ (1 — те!буу) х 'у-Ь1 ~ (у — ЦМ'"'еш~ а ! 7 — 1 (1 2 !бра ~ 2 у-Ь1 1, (:у — ЦМ" зш|а е!и'уу ~ (у — ЦМ" е!п~а [Гл. 258 А.
Л. 1 ояор Следовательно, поверхность ударной волны состоит из двух плоскостей с изломом при ж = О. Как показывает расчет, линии тока на поверхности крыла прямые, наклоненные к оси симметрии под углом е. Во втором приближении найденное решение содержит особенность типа источника (ип ~ 0) в точке излома ударной волны (х = О, р = у'). Надо полагать, что излом волны и особенность появились за счет приближенности метода и в точном решении их нет (см. еще и. 4). Мы рассмотрели обтекание одной поверхности треугольного крыла. На затененной стороне при М' -+ со образуется донный вакуум [4], и можно считать, что р = О. В результате такой схемы обтекания для коэффициентов С, и Сю отнесенных к площади крыла в плане, имеем выражения (3.2) Примечательно, что найденные коэффициенты С, и С, совпадают с соответствующими коэффициентами для клина, данными в работе [2].
Аналогичное обстоятельство имеет место и в линейной теории [5]. Вычисленные по этой теории коэффициенты С, и С, совпадают с формулами Аккерета для клина. На рис. 5 показано сравнение теории с экспериментом работы [6] для модели треугольного крыла с ромбовидным профилем 5% толщины при Д = 30', М' = 6.9 и 7 = = 1.4. Сплошные кривые, построенные по формлуам (3.2), переходят в штриховые в той части, где параметр Й = М'з1па < 1 и теория неприменима. П1трих-пунктиром нанесены результаты линейной теории, полученные в работе [7]. 4. Решение задачи об обтекании эллиптического конуса. В ка 1естве второго примера рассмотрим обтекание эллиптического конуса, поверхность которого задана уравнением: хз/(а~яя) + + уз/(Ьзяэ) — 1 = О.
Случай круглого конуса разобран в работе [8]. Для построения системы координат введем, как указано в п. 1, параметр д. Тогда получим семейство поверхностей Ф8~ Ь' = ив/гв + пу~/з~ (и = а~/Ь ). В области, где агс18 а < 0 < к/2, поверхности О = сопзг, равномерно заполняющие объем вне тела, и можно взять за поверхности второго семейства. Третье семейство найдем, составив уравнение ортогональных траекторий к семейству поверхностей (4.1). Окончательно оно определится равенством 2 (и7~) (1з 7~ зу7~) ( < < ) (,12) 259 Обптвкание конинеския тпаа о.г4 олг о 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
