Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 46
Текст из файла (страница 46)
6 Непосредственной проверкой можно убелиться, что новая система координат г, д, д1 ортогональная. При и = 1 она переходит в обычную сферическую систему. Коэффициенты А1 и Аз можно вычислить по формулам (4.1) и (4.2), пользуясь соотноптением векторного анализа ..' т т' т,' = ~1 Гв' т 4 ° в Проделав необходимые выкладки, получим А1— 18 В сов' В([вес' д + (1 — п)у2)[282 д веса  — (1 — п)пу()1 А з = '"' х вш 212 д (48) (18~ д — пу2)[вас В+ (1 — п)ут) 182 В вес4 В + (1 — п) [484 В + 282 В(1 — п) — п) у2 — 11(1 — п) у14 Сбвдт = [веса д+ (1 — п)уз)~ "[182 — пу~)".
Как видно из формул (4.3), между у1 = у/з и дт существует однозначная зависимость, а так как у1 представляет геометрическую координату в плоскости в = 1, .то удобнее через нее определять все искомые функции. При этом компоненты скорости невозмущенного потока из (1.4) даются выражениями сов о + у1 вю о, сов о 18~ дв — пу1 в1п о ио = ио [веса В1+ (1 — п)у()112 ' [182 В1 вес2 да — т1(1 — тт)ут)1~2 ' 2 11'2 бт[втвовес В1 (1 п)у1 сове)(вд дв пу,) ( 282 Вв вес4 Вв-Ь(1 — п)[184 Вт(1 — и) 282 В1 — п)у2 — п(1 — п)д4) 260 А. Л.
Гонор 0.6 о 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис. 7 На рис. 6 н 7 построены распределения коэффициента давления Ср по поверхности эллиптических конусов при М' = со и о = О. На ри- а/Ь а 4 2 1 1 1 У=У1— 189ь' Ь 5' 3' 2' 3' 5' = — = 1.16, 3.1. игхаЬ Как показывает исследование производной (й') от интеграла (2.8), ударная волна при любых малых а/Ь ф О в плоскости симметрии излома не имеет. Следовательно, особенность, появившаяся при обтекании плоского треугольного крыла, отсутствует, если толщина крыла отлична от нулевой. В заключение автор выражает глубокую благодарность Г.Г. Черному за большую помощь в работе.
Литература 1. Кочин Н.Е., Кабель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гндромеханика. Ч. 1. М.— Лл Гостехнздат, 1947. 2. Черный Г.Г. Обтекание тел газом прн большой сверхзвуковой скорос- ти Л Локл. АН СССР. 1956. Т. 107. № 2. С. 221. 3. Реггь' А.
Бирегзопгс бои агопвб с1гсв1зг сопев а1 ап8!ез о1 аЬГас1ь. НАСА Т. Н. 1951. № 1045. 4. Га|аек И. Аэродинамика сверхзвуковых скоростей. Мл ИЛ, 1954. 5. Франкль Ф.И., Карнович Е.А. Газодннамика тонких тел. М.— Лл Гос- техиздат, 1948. 6. МсЬейан С.Н. Ехр1огагогу к1вб-Ьвпве1 1пгез68айоп о1 ишйе ап(1 Ьоб1ез а1 М-6.9 Л ЛАЯ. 1951. № 10.
7. Гуреева М.И. Подъемная сила стреловидного крыла в сверхзвуковом потоке Н ПММ. 1946. Т. 10. Вып. 4. 8. Гонор А.Л. Обтекание конуса под углом атаки с большой сверхзвуковой скоростью,'~ Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 7. Глава 3.2 ОБТЕКАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ГИПЕРЗВ згКОВЫМ ПОТОКОМ *) А.Л. Гонор Рассматривается режим обтекания наветренной стороны крыла со сверхзвуковыми передними кромками. Несмотря на ряц исследований [1-4], эта задача не получила корректного решения. Сложность заключается в том, что в лоле течения за сильной ударной волной имеются области однородного, потенциального и вихревого потоков, которые необходимо склеивать достаточно гладко.
Ниже развита аналитическая теория гиперзвукового обтекания крыла с присоединенной волной, позволившая произвести необходимое сопряжение потоков. 1. Рассмотрим обтекание тонкого конического крыла гиперзвуковым потоком совершенного газа с показателем адиабаты эг. В системе координат г, В,~р, показанной на рис. 1, уравнения конического течения в переменных (ф, ф [Ц примут вид: ш да з з ю да з 1 др — — — и — ш =О, — — +ие+ш 18В= — — —, соз В д!э ' соз В др рВв дт' Е, "+" +~ — С д р — О [11) ж — 1р 2 ' дерр д и — !п(ршде) + 2 — созВ = О, шд.
= есозд. д~Р Ю В (1.1) все переменные безразмерные, отнесенные соответственно к скорости набегающего потока У, плотности р' и скоростному напору р'У~. Переменная ф удовлетворяет соотношению ифе + шфе зес В = = 0 и является поверхностью тока конического течения. Решение будем искать в предположении, что область возмущенного потока представляет сильно сжатый тонкий слой. Тогда, согласно *) ПММ. 1970.
Т. 34. Выл. 3. С. 481-490. [Гл. 262 А. Л. Гонор Рис. 1 и +ю =Ь (1о), (1.5) обычным оценкам теории ударного слоя [1), удобно ввести преобразо- вание: х — 1 В=во., о=во, р=в "р, (1.2) х-Ь 1 В переменных (1.2) уравнения (1.1) (черта сверху опущена) све- дутся к аи ' ' — О Р +" + +ю С РП вЂ” О® соввВ дзо ' (хт 1)р 2 р ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ о ~ ! — + ио + ю в 13 во~ с =— ан, „'1 1 Ор (1.3) сов со ду о) роо д~4 д — [1п(рюд„)) + 2 — соево = О, юоо = о савко. и дзо ю Переменные ю и ю одного порядка, поэтому вид системы не меня- ется от нормировки этих величин, и можно считать, что ~р = в "оо, и ) О.
Второе уравнение (1.3) позволяет представить давление в виде суммы двух слагаемых р = рз (~р, .в) + врз(Во, ~р, в). (1.4) Произведем теперь упрощение, отбрасывая в (1.3) и граничных условиях члены порядка вз и выше. Тогда искомые функции будут удовлетворять уравнениям: ди до з 1 дрг — — и~ = О, ю — + ио+ ов В =— ар ' ар ро„а1В ' д Гп( В,) + 2" = О юо„= дзо а граничные условия на ударной волне в этом приближении примут вид: и* = (сов во — вд* 13 а) сова, о' = — [В* совая|поз+ (1+ пве) вша+ + в(В* соз оо — В' вш ю) сов а + во"з в|п а), 3.2) Обтекание треугольного крото гиперзоукооым потоком 263 то = 2гг[(ге — 1)МЯ, я1п а), ю* = (яш уг + яВ*.
18 а) соя а, р* = яш~ а+ яр,', р' = (1+ гпо) [1.6) р* = (В* соя уг — В; я1пуг) яш 2а — я1пз а — М На поверхности крыла, заданного уравнением В = яВ'(уг), из условия непротекания имеем и — и~В (уг) = О. (1.7) При выводе третьего уравнения (1.5) использовался вид выражения для давления из (1.6) и четвертое уравнение [1.3), которое можно записать в форме — = —, [1+ (р[' — р[ — рз)~ . [1.8) р р' яйпг а Штрихи означают, что соответствующие величины вычислены в точке пересечения ударной волны с линией тока (уг = оо' на рис. 2).
в Рис. 2 Давление р1(ф можно определить по значению за ударной волной (1.6), положив р1 = р*, тогда величина рз на ударной волне равна нулю. Следует подчеркнуть, что зависимость рз от параметра я определяется из решения задачи и может не иметь аналитического представ- пения. Однако если главный член разложения этой функции будет порядка со с а > — 1, то полученные результаты останутся справедливыми, и отброшенные члены будут порядка выше первого. Система (1.5) позволяет определить компоненты скорости и и т.
Действительно, исключив из первого уравнения и и интегрируя от произвольной точки до ударной волны вдоль линии 10 = сопяу (рис. 2), найдем,что и = Ь(~р ) соя[уо + а(уг )), т = — Ь [уз ) яш[уг + а(уг )), Ь[ф') = соя а — я[0*'сояуг' — Выя1пуг')я1п2а, [19) а(уг') = я[В;„,' соя уг' + В" я1п уг') 18 а. (Гл. 264 А. Л.
Гонор (1.11) В* = 0 (р) + (1 + те) в1п а / —, К сВр'. (1.14) Формула (1.14) помимо поверхности ударной волны содержит еще две неизвестные функции ~р' н рз. Для нахождения первой из них воспользуемся условием непротскания (1Л), которое с учетом (1.5) и (1.13) и нводится к вид р у ~ (ш). —, ° = О.
~6,0 Это уравнение допускает два решения ~р' = сопят, 15) я (р') сов оо' + я(ф') в1п ф' = — ф оса а, в(ф) = яд*(р) оса а. В точном решении поверхность крыла сеть поверхность тока, поэ- тому ~р' = Д ((з полуугол при вершине крыла). Однако, как отме- чалось в (Ц, гиперзвуковые решения для конических тел этому условию могут не удовлетворять. Не останавливаясь на анализе воз- можных случаев, укажем, что в развиваемой теории для крыльев, Выражения для скоростей (1.9) дают возможность представить ин- теграл четвертого уравнения (1.5) в виде 'В' (1.10) Перепишем соотношение (1.10) в интегральной форме, заменив ин- тегрирование [Ц по переменной 1о интегрированием по переменной ~о'.
В результате получим о' Во( ) + ~ Р о'Се> Здесь р'(у) произвольная функция, соответствующая линии тока на поверхности крыла. Предполагается, что крыло тонкое и 0' в. Множитель 0',, ф... согласно последнему уравнению системы (1.5) и второму условию из )1.6), можно заменить выражением , ' ~1+ (В*'совоо' — В"'вш~р')~ вша. (1.12) Подставив (1.8) и (1.12) в (1.11), найдем, что 0 = 0 (~р) + (1+ тпо) яп а / —, Л с1оо, о' (1Л2) В=1+с~ ((В*~ сов р~ — Во яв р~) сгя а р*,' — р,' — р, + 1+ то ял а Отсюда при у' = у получим соотношение для ударной волны 3.2) Обтекание треугольного крыла гиперзоукооым потоком 265 имеющих около кромок область однородного потока, необходимо полагать уз' = соз]яе.
Особенности, которые при этом могут возникнуть, рассматриваются ниже. Перейдем к отысканию второй неизвестной функции рз. Предварительно отметим, то давление рз везде входит с множителем я, и достаточно определить его главный член. Будем находить давление рз из второго уравнения ]1.5), проинтегрировав последнее по линии у( = = сопяФ от ударной волны до произвольной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
