Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Отметим также, что переход к (3.7) и (3.8) в малых (порядка е или Ь) окрестностях скачков приводит к дополнительным погрешностям. На околорезонансных режимах в задаче о колебаниях скорости 2п = к + 1+ Ь, а 7 близко к равному нулю интегралу от 1 по (к + + 1)-му периоду и, как указывалось, есть 0(еп + Ь). Поэтому, разложив в (3.7) Э(т — 2п) в окрестности точки т — к — 1 и учтя перио- 4.Ц Нслинсинан акустика а задачах о колебаниях газа и трубах 293 дичность Х,придем к уравнению го[ар(т)Ь вЂ” (гп/2)(х+ 1)Х(т)Х(т)] = = 26Р(т) + 0(с~п + г Ь + гЬ~). (3 8) Последнее, как и уравнение (3.17) из [1], справедливо лишь при гп « 1, точнее, при гпХ « 1.
Наиболее существенным их отличием является замена в [1] бг на к 118(кЬ), которая делает и уравнение из [1], и (3.8) справедливыми вдали и вблизи от резонанса. Без такой замены (3.8) применимо лишь вблизи резонанса, где ]Ь[ < 0(б), и в силу (3.8) г б~~~. В отличие от (3.7), (3.8) и от уравнения (3.17) из [1] система (3.4) вместе с правилом (1.9) справедлива вне зависимости от величины -пХ или от степени близости к резонансу. В задаче о колебаниях давления о = х/2 /д = — 1, а околорезонансные режимы реализуются при 4п = 2к+ 1+ Ь с ]г3] < 6 « 1. Пля их анализа запишем (3.4) в два момента времени т и 6' с ~', играющим по отношению к б' ту же роль, что и с' по отношению к т.
Имеем Х(т) +,У(~') = 26/(гх) $'(т) + О(гзп), ,У(С') -~- Х(~') = 26/(ех)Е(~') + 0(сгп), (' = т — 2п + (еп/2)(х+ 1)Х(~') + 0(гзп + су) (3 9) ~' = С вЂ” 2п + (еп/2) (х + 1) д(~') + 0(г~а + е7) . Сложим третье и четвертое равенства (3.9), исключим из правой части результирующего уравнения сумму д(с') + Х(~') при помощи второго равенства той же системы и учтем структуру слагаемых в (1.4), которые в (3.4) и (3.9) дали члены порядка е~ь Положив затем 4п = = 2Й+ 1+ Ь, получим к' = т — 2кч — 1 — слл+ (бп/х)(х+ 1)Р(~') + 0(г~п + гхтс+ с и), где., согласно сказанному ранее, 71 = 0(гп + с3) при [Ь] « 1.
Ограничившись ]Ь] « 1, вычтем второе уравнение (3.9) из первого и используем для ~' последнее выражение. Поступив далее так же, как при выводе (3.7) и (3.8), придем к уравнению ебзхХ(т) — епб(х+ 1)Е(с')Х(т) = 26[Е(т) — Е(с')] + + 0(е и + е и + е сх + еб и ). (3.10) В рассматриваемой задаче (см. п. 2) в отличие от предыдущей 0(1). Поэтому уравнение (3.10) в данном случае точнее, чем (3.4). Последнее нетрудно понять, если вспомнить, что при выводе (3.10), кроме (3.4), использована дополнительная информация о слагаемых, ответственных за взаимодействие волн.
Исследование околорезонансных режимов в рамках (3.10) начнем с длинных труб (и» 1), для которых можно ожидать, что епб = = зсб» п1ах(]Ь[г, -зп, е4пх, сбзпз) с г 0(1). В рассматриваемом [Гл. 294 А. Н. Кройке, А. Л. Ни случае е = т/п, т,е. не зависит от б, а (3.10) сводится к епХ(т) = 2[К(т — 1/2) — К(т)]/[(м+ 1)г'(т — 1/2)). (3.11) В соответствии с равенствами и неравенствами, принятыми выше, и со смыслом величин с и д необходимые условия реализации данного приближения таковы; т/и » б » шах(Х[Ь[п ~, Кзп з).
Последние, однако, недостаточны. Пействительно, в силу вывода (3.10) и (3.11) участки непрерывности У(т) описываются этими уравнениями лишь тогда, когда они — результат двукратного отражения от стенки т = Х характеристик, порожденных непрерывным распределением з (('). Если г' нечетная относительно полупериода функция, как, например, гйп 2хт, то Р(т — 1/2) = — Р(т) и епэ" (т) = 4/(зг+ 1). С другой стороны, согласно (3.9) ~' = т — 2п + епУ(г,') (м+ 1)/2, и такое же соотношение связывает ~' и ~'.
Отсюда следует, что непрерывное решение, (3.11) полностью "опрокидывается", превращаясь в скачок, при прохождении трубы в одном направлении. Поэтому в случае длинных труб, по крайней мере для нечетных 1г. функция 5(т) подобных участков не содержит. Следовательно, в сечение т = О, помимо ударных волн, могут приходить только С -характеристики, которые являются отражением от сечения т = Х центрированных волн, возникших при отражении от левого конца трубы скачков уплотнения. Схематически это показано на рис.
1, на которой тонкие линии -- характеристики, а толстые скачки. Особый интерес представляет случай, когда ширина центрированной волны в направлении оси 1 после возврата в сечение я = 0 равна Т. Можно показать, что для длинных труб именно такая ситуация реализуется на 0 резонансе. При этом начальная интенсивность по еу каждого пучка равна 1/[(м+ 1)п), а моменты отражения скачков от сечения т = 0 для К = з1п2хт совпадают с полупериодами. Хотя в данном случае (3.10) и (3.11) несправедливы, однако независимо от этого яп - 0(1), что в силу (3.9) обеспечивает справедливость построенного решения, во всяком случае для и ~ д >> и В рамках (3.9) такие же решения можно построить и при и < 0(1). Здесь е 0(1), а веер волн разрежения есть результат отражения от сечения т = 0 пучка волн сжатия, а не ударной волны (на самом деле волны сжатия, содержащие скачок, могут фокусироваться не в точке, а на малом отрезке оси 1).
Панные решения., тем не менее, не представляют интереса, так как для них не малы слагаемые, стоящие в (3.9) под символом "0". Вообще при колебании давления на одном из 4.Ц Нелинепнан акустика в габенах о колебаниях газа в трубах 295 концов короткой трубы анализ околорезонансных режимов в используемом приближении нельзя провести столь полно, как в изученных выше случаях. Наряду с только что отвергнутой здесь имеются следующие возможности. Пусть ]Ь[ « 1, но все же достаточно велико, чтобы г[Ь[ б » » п1вх(ез, гз[ех[). Тогда е б/Ь, а соответствующее упрощение равенства [3.10) совпадает с уравнением, которое при [г3[ « 1 можно получить из уравнения акустики [3.5).
Последнее естественно, если учесть, что из б» шах(гз, ех[Ь[) в данном случае следует неравенство [Ь[ » д, обеспечивающее удаленность от резонанса. Рассмотрим, наконец, короткую трубу при [ез[ < б. Теперь в (3.10) главным наряду с первым слагаемым правой части может быть только слагаемое порядка 0(ез). Отсюда, даже не зная его явного вида, найдем, что е бз~з, в отличие от е бчз в задаче о колебании скорости. Отметим, что необходимость включения в анализ этого слагаемого при решении задачи о колебании давления или, что то же, задачи о трубе с фиксированным давлением на одном из ее концов следует нз исследований, выполненных в [6, 8-10], а зависимость е д1~з впервые установлена в [10], а затем в [8].
Ввиду важности кубичных по е членов для околорезонансных режимов с заданным и колеблющимся давлением, напомним, чем обусловлено их появление. Прежде всего это переход от [1А) к [1.6). Если его не делать, то второе уравнение [3.4) заменится на более точное равенство т = ~' + [2п+ 0[гу)]/[1+ г(хе+ 1) 1[~')/4]. Тем не менее, точность полученного приближения и теперь недостаточна по ряду причин. Главные из них: пренебрежение взаимодействием волн разных семейств и изменением инвариантов на скачках (о нецелесообразности учета роста энтропии говорилось в начале статьи) и использование правила [1.9).
Что же касается линеаризации граничного условия при х = 0 в задаче о колебании скорости, то связанные с этим погрешности, хотя и будут того же порядка, однако не носят принципиального характера. действительно, условие еи(е, О) = 1[т) можно рассматривать как точное равенство, не связанное с линеаризацией граничного условия в задаче о поршне. 4. Как уже указывалось, в процессе исследования была создана численная процедура, позволившая эффективно решать полученные уравнения, разумеется, без учета членов порядка езп и т.п. Ее работоспособность подтвердили многочисленные расчеты, небольшая часть которых, отвечающая Р(г) = гйп 2кт и зе = 1.4, приведена на рис.
2 4. В задаче о колебании скорости результаты расчетов сравнивались с аналогичными результатами, полученными по формулам [Ц. Последние, как уже отмечалось, справедливы лишь при сравнительно малых К, = гп гпах [Х[г)[. В рассматриваемых примерах множитель |пах]Х[г)[ 2я и потому существенен. При К, « 1 результаты, 4.1) Нелинейнал акустика в задачах о колебанихх еаза в трубах 297 1.0 0.8 0.6 2 5 10 20 50 100 Рис. 3 Рис. 4 [Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
