Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 56
Текст из файла (страница 56)
СО АН СССР, 1988. 30 с. 2. Крайне А. П., Махмудов А.А. Решение двумерной нестационарной задачи фильтрации жидкости в пористый грунт в рамках модели мгновенного насышения 77 Изв. АН СССР. М2КГ. 1989. № 4. С. 103.110. 3. Полуйаринова — Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Мл Наука, 1977. 664 с. 4. Бенердхва П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.
Мл Мир, 1984. 494 с. Глава 4.3 ВАРИАЦИОННАЯ ЗАЛАЧА ОБ ОЛНОМЕРНОМ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОМ СхКАТИИ ИЛЕАЛЬНОГО ГАЗА *) А. Н. Крайэсо Рассмотрена вариационная задача об одномерном безударном сжатии идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа плоским 1и = О), цилиндрическим (и = 1) и сферическим Ги = 2) поршнем. Как и в )1, 2), минимизируется работа поршня при заданном его перемещении за фиксированное время гг. При постановке задачи важную роль играет время гэ прохождения звуковой волной отрезка х„— х„, где х декартова, цилиндрическая или сферическая координата, а х, и х„.
отвечают поршню (при 1 = О) и неподвижной стенке (для и = 1 и 2, возможно, . оси или центру симметрии). Если не оговорено особо, х ° < х„, и поршень в плоскости х1 движется влево. По постановке задачи в газе при 1 < 11 нг допускаются ударные волны. Поэтому,. если 1г < то, то слева от "начальной" С -характеристики газ не- возмущен и может быть исключен из рассмотрения, т.е.
случай 1г < гс сводится к случаю 11 = то с меньшим гэ и ббльшим х, . В отличие от [1, 2), где газ при 1 = 0 предполагался покоящимся и однородным, далее при нулевой начальной х-компоненте скорости допускается переменность начальной энтропии, а для л = 1 - и радиально уравновешенной начальной закрутки. В 11, 2] был рассмотрен только случай 11 < го, для которого при и = О задача решена точно, а при л ф О приближенно (в рамках использования плоского течения типа "простой волны" ). Ниже время 11 может быть любым. Лля 11 = то точное решение методом неопределенного контрольного контура 13) найдено для всех и.
Здесь под точным решением понимается сведение исходной задачи построения оптимальной траектории поршня к численному решению нескольких задач одномерной нестационарной газовой динамики методом характеристик (МХ). В одной из решаемых МХ задач известно распределение параметров на концевом участке "экстремальной" С~-характеристики, *) ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С.
35 -51. [Гл. 312 А. Н. Лрадка приходящей в концевую точку траектории поршня. Условие экстремума, определяющее указанный участок, оказалось таким же, как в задаче об оптимальном расширении поршня ~41 В случае $т > те условия еще одной решаемой МХ задачи ставятся на примыкающем к неподвижной стенке отрезке горизонтали 1 = 1у, где газ либо покоится, либо (при наличии закрутки для и = 1) радиально уравновешен. При некотором времени су = т~ > те покоится илн радиально уравновешен весь оптимально сжатый газ. Лля 1у > т,„, такое сжатие (с одинаковой работой) реализуется бесконечным числом способов.
Оптимальное сжатие при 1у > т„, требует существенно меньшей работы, чем при 11 = те. 1. Пусть в начальный момент 1 = 0 идеальный газ находится в плоском, цилиндрическом или сферическом объеме: т„. < т < яю Палее, как правило, индексы а, а',... приписывается параметрам в точках а, а',... плоскости т1 (рис. 1). 11ачальным распределениям пара- б В г У а а Х а а а д е У' У .у' у' Рис. 1 метров припишем нулевой индекс.
В общем случае они могут быть функциями т. В частности, допускается произвольная начальная неравномерность удельной энтропии зе. Переменность начального давления ре далее допускается только для и = 1 как следствие закрутки 4.3) Вариаыионнав задана о сжатии идеального еаза 313 потока -- отличной от нуля окружной компоненты ио(х) скорости газа. Ее х-компонента и предполагается в момент С = О отсутствующей для всех и, а для и = 1 и ио(х) р': О принимается, что ро(х) удовлетворяет условию 'радиального равновесия" дра/дх роно/х (1.1) где р . плотность газа. Отличные от р и в термодинамические параметры (р, удельный объем ы = 1Ср, удельные внутренняя энергия е и энтальпия 6 = е+ р/р, абсолютная температура Т, скорость звука а и т.п.) считаются заданными функциями р и в, причем 6=6(р,в), со=со(р,в)=Ьр, .Т=Т(р,в)=Ь„, -г -г г г (1'2) а = а (р, в) = рр = — аср)ьо = — Ьрр)Ьр, Ь,„р„— — асрр > О.
Здесь 6(р, в) — известная функция р и в, нижние значки р и в означают соответствующее частное дифференцирование, выражения для ю и Т вЂ” - следствия термодввамического равенства: Т ьв = ьСЬ вЂ” ю ьС16 а неравенство ьорр > Π— определение "нормального' газа. Только при его выполнении поршень, вдвигающийся в газ, образует волну сжатия, в которой могут пересечься бегущие от поршня характеристики [5, б]. В этом смысле неравенство из (1.2), т.е, рассмотрение лишь газов, названных выше нормальными, для дальнейшего принципиально. Последующее исследование остается справедливым и при ненулевых и даже зависящих от х начальных распределений проекций вектора скорости на оси у и г для и = О и осевой компоненты скорости для и = 1. Эти компоненты, "сохраняясь в частице", не влияют на остальные параметры. При и = 2 отличные от и компоненты вектора скорости отсутствуют в силу предположения о сферической симметрии.
Если в момент С = О поршень., до этого неподвижный, начинает вдвигаться в идеальный газ, то при сформулированных выше условиях в газе возникает нестационарное течение с плоскими, цилиндрическими или сферическими волнами, определяемое условием непротекания на стенке и на поршне и уравнениями др г др риаз Ни 1 др о — +ра — +и =О, — + — — — и(2 — и) — =О, ьСС дх х ' дС р дх х дв дг д д д (1.3) — =О, — =О, — = — +и —, Г=хоо. дс ' дс ' ьСс дс дх ' Первое из этих уравнений .
следствие уравнения неразрывности д(х р))дС -Р д(х'ри)сдх = О, (1.4) преобразованного с учетом (1.2) и третьего уравнения той же системы. Второе уравнение из (1.3) — проекция уравнения движения на ось х. Свободный член в нем сущсствон только при и = 1, что обеспечивается множителем и(2 — и). Третье и четвертое уравнения (1.3) условия сохранения энтропии и "момента количества движения" Г в частице. Последнее существенно лишь для и = 1. (Гл. 314 А.
Н. Кранко А = — К ~рх'и с11 = — К /рх' с1х. о (1.8) Множитель К > О, тот же, что и в (1.5)., введен сюда из соображений удобства. Сформулируем вариационную задачу. При заданных согласно сказанному выше начальных параметрах газа при 1 = О, х ° < х < х и неподвижной "внутренней' стенке х = х,. > О (в плоскости хс ее траектория — вертикаль ару") требуется найти такое движение поршня из фиксированной точки а: х = х„1 = О в фиксированную точку 7": х = ху < х„1 = губ т.е. зависимость скорости поршня и в (1.8) от 1 или от х, чтобы при безударном для 1 < 17 течении работа А была минимальна.
Требование безударности означает, в частности, что и, = О, а область возмущенного течения в плоскости хг ограничена снизу С -характеристикой, идущей из точки а. Так как ио(х) = О, то упоминавшееся выше время го, согласно (1.7), равно с1сР Кх"ро(уг)ао(уг) ао(х) Уравнение неразрывности (1.4) допускает введение переменной Лагранжа ссс, такой, что вдоль любой кривой плоскости хг с7с)с = Кх" р(с1х — исН) (1.5) с произвольным нормирующим множителем К, который для дальнейшего удобно взять положительным. Согласно (1.5), ср постоянна вдоль траекторий частиц (в частности, вдоль траекторий неподвижной стенки х = х„., и поршня). Введение с)с позволяет проинтегрировать два последних уравнения системы (1.3) з = зо(ф), х'и = Г = Го(ф).
(1.6) Первый интеграл 'интеграл энтропии' справедлив только при отсутствии в рассматриваемом течении ударных волн. Это, если не оговорено особо, далее предполагается. Первые два уравнения системы (1.3) можно заменить характеристическими уравнениями, содоржащимн производные соответственно только вдоль С+- и С -характеристик. Вместе с уравнениями характеристик в плоскостях хг и сРс они эквивалентны равенствам с4х = (и х а) сН, асус = +Кх" ра сС1, аси х — с1р х — (пи+ (2 — и)и~) с1с = О. г (1.7) ра х Здесь верхние (нижние) знаки отвечают С+ (С )-характеристикам.
Согласно второму равенству (1.7), при движении вдоль С+ (С )- характеристики в направлении роста 1 переменная Лагранжа сР монотонно растет (убывает). 1забота А, совершаемая поршнем при его движении за время 17 из точки а в точку 1, координата которой ху < хо, с точностью до несущественного для вариационной задачи положительного множителя равна се с 4.3) Варна(гионная задана о сжатии идеального еаза 315 В соответствии со сказанным ранее, здесь 1у > то, а в (1, 2] случай 1у = го рассмотрен для ае = сопя1. При решении сформулированной выше вариационной задачи наряду с (1л8) будут использоваться выражения для А, являющиеся следствиями интегрального закона сохранения энергии.
Последний вместе с интегральным законом сохранения массы можно записать так Е((. р~-"',ЬЕ,(г-,( — "~(г.-мж(-. Еа) = (2 2хг1 =21~ — еье (г — ( —,~44 — х,"ее.) =ь, Ол( ( (и Г21 ((2 2хг~ ~е14)( = К~х~р(е1х — и(14) = О, и = Л+ Л, Ф(р, з) = Я вЂ” Ь. (1.10) При фиксированном ф или, что то же .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
