Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Если в согласии с (4.2) положить Ру. = — КРу./(1+ Р), то (2.4) и (4.2) определят ц и р на всем отрезке у'у'. Дифференцируя (4.2) по х и исключив р, = Р'ф, = Кх'рр' с помощью (4.2), найдем что на 1'у Р = Р(2 — и) Р†(4.3) дх х т.е. либо р = сопзс, либо (при Р = 1 и Г ф 0) поток радиально уравновешен. Согласно (1.3) и то, и другое обеспечивает либо и = 0 и р = сопзФ, либо (при Р = 1 и Г Х':- 0) радиальное равновесие потока во всем треугольнике е)'1.
В силу (4.2) вместо (4.1) получим (Гл. 324 А. Н. Кэайко 5. Практическое построение оптимальной траектории, отвечающей схеме рис. 1, д, и определение интервала т„, сводится к численному решению следующих задач. Сначала по заданным распределениям параметров при 1 = 0 вычисляются общая масса газа и нормирующий множитель К = 1/М. При таком выборе К и ф ° = 0 на поршне: ф, = 1. Затем по тем же начальным распределениям из (1.5) с й = 0 рассчитывается ф = уе(х) и как результат этого определяются правые части (1.6), а при и = 1 --- и ре(у'), удовлетворяющее условию радиального равновесия (1.1).
После этого отличные от и = 0 параметры газа на 1'1 находятся с использованием (1.6) численным интегрированием от точки 1', где 1г — О, а ( = т ~', уравнения (2.2), в котором р = р[р, зе(у)]., и уравнения радиального равновесия (4.3). Последнее удобно использовать в форме дэ Гз р' = — = и(2 — и) —. дй К4з ' Произвол в выборе давления ру. > ре(0) используется при этом для удовлетворения условия: ~(1) = ~у = х +" с заданным хг < х„. Как уже отмечалось, рассчитанное таким способом радиально уравновешенное течение (или для и(2 — и)Г = 0 покоящийся газ, в котором р = ру. ) сохраняется во всем треугольнике е)'1, ограниченном снизу С+-характеристикой е7. Палее расчет ведется от сечения у'1 в направлении уменьшения времени, начало отсчета которого на данном этапе удобно совместить с указанным сечением, положив 11 = О.
Характеристика е1 строится интегрированием второго уравнения системы (1.7) со знаком "плюс" и с ра — известной функцией 1г. Интегрирование ведется от точки у, в которой ф = 1 и 1 = О. Зависимость х от ф на е1 та же, что на 1'1, а 'условие совместимости" -" третье уравнение системы (1.7), которое для и = 0 в е1"'у сводится к условию радиального равновесия, при этом удовлетворяется автоматически.
По данным на еу и условию непротекания и = 0 на неподвижной стенке (ф = О, х = ху., 1 < 1,) расчет пучка Се-характеристик (при счете в направлении уменьшения 1 - - пучка волн разрежения) выполняется до такой точки с, где давление, непрерывно падая с уменьшением времени, станет равным заранее известной величине ре(0) < р, = = ру.. Построение "начальной" С -характеристики сп, ограничивающей покоюцийся или радиально уравновешенный газ в треугольнике а'са, проводится аналогично построению Се-характеристики еу при уже известных множителе К и справедливых на са зависимостях уэ = узо(х) или х = хе(уэ). В результате такого расчета найдется время 1, < О, а по нему и г, = — 1, > ге (в типичных ситуациях т > 2ге).
Изменив после определения 1„начало отсчета 1, решив за- 4.2) Вариалионная задана о сжатии идеального еаза 325 дачу Гуров с данными на характеристиках дс и са и вьшелив при ее решении линию ау, на которой 16 = 1, получим искомую траекторию поршня. Найденное г является минимальным временем, при котором возможно заданное безударное сжатие покоящегося или радиально уравновешенного газа до такого же состояния с большей средней плотностью. Обеспечивающая такое сжатие траектория поршня единственна.
При 1л > т указанная задача имеет бесчисленное множество решений. Тем же способом, взяв уза < 1 и ха < хо(уга), можно рассчитать течение, реализуюгцееся на рис. 1, е, вплоть до С -характеристики ос1 и найти участок траектории а9. Однако в общем случае и ~ О или ео ф сопз1, когда и ф соцз1 на 61, данных на найденной при этом характеристике 9ь1 недостаточно, чтобы построить конечный участок траектории 91. Аналогично положение для схемы рис. 1, б, с тем отличием, что здесь счет методом характеристик при и ф О и т,. = О необходимо дополнить автомодельным решением ~7, 8), описывающим фокусировку С -характеристик в 1' и весь их пучок а1'6. В этой схеме после определения течения на С -характеристике а)' и расчета от точки 1' пучка волн сжатия и начинающейся в точке а траектории (Зг = 1) удается построить лишь ее разгонный участок заранее неизвестной протяженности.
Лля построения концевого участка оптимальной траектории в случае рис. 1, б и г при и ф О или ео ф сопэ1, нужна дополнительная информация. б. Информацию, необходимую для построения при и ~ О или ео ф сопе1 концевых участков оптимальной траектории в схемах рис. 1, б и г, получим, как упоминалось, методом неопределенного контрольного контура (МНК). Лля этого, согласно (1.9), выразим А через интеграл по пока неопределенному, по фиксированному контрольному контуру а11. Интеграл по части контура, лежащей ниже С -характеристик а1' или ас, при варьировании траектории не изменяется. Поэтому при решении вариационной задачи важен лишь его отрезок 11'.
Если 11 в плоскости бзх задать уравнением х = т(ф) и его следствием т' = т'(ьр), то для А с учетом сказанного получим 12 (ь -'; — ь (2 — ) — — к р~ ге 2 2хз Аналогично задание 1с, в силу (1.5), эквивалентно постоянству интег- рала Пля бза < угу и а11., имеющего с 1"'д" единственную общую точку 1, параметры газа на 11 непрерывны и для исследуемой, и для проварьированной траекторий.
Поэтому, составив вспомогательный (Гл. 326 А. Н. Кранко функционал 1 = А + Лт с постоянным множителем Лагранжа Л, пос- ле необходимых выкладок найдем, что бА = б1= / [г(1 — Л)бй+1(1+Л)И + (д+/)(бЛ) + + (д — ь) (б г)з + 2(1 — Л вЂ” д + /)бА б1) дф, г = и+ а — х Кх'ра, .1 = а — а+ х Кх'ра, д = (г — и + Ли1Р ваагн/4, / = гЛ/и, 1с = 1Л/и, Л = Л/(Кх'раи ). (6.1) к у бА = 2/и(1+ Л)Ы4>+ / [ — — р а'а~три(бК) + л + 2(1 рзазю и)(бт )з + (4 Ь рзазы )бзг бг )дф (6 4) Пользуясь произволом в выборе еще неопределенного контрольного контура, или, что то же, — — функции х'(ф), обратим в нуль множитель г перед бЛ.
В результате получим х = (и+ а)/(Кх'ра), (6.2) т.е. согласно (1.7) 1/ отрезок Сх-характеристики. Обращение в нуль коэффициента перед оставшимся после этого в (6.Ц линейным слагаемым дает необходимое условие экстремума: Л = — 1 или с учетом выражения для Л х'раа = сопвд = — Л/К. (6.3) Данное условие не может выполняться на всей характеристике 1/, в частности в точке 1, где и = О, уже потому, что в этом случае, в силу (6.3), и = О на 1/. Последнее же возможно только в непредставляювцем интереса особом случае неподвижного поршня. В случае схем рис.
1, б и г непостроенными оставались лишь концевые участки траектории поршня, которым отвечает отрезок Л/ характеристики 1/. Поэтому (6.3) естественно использовать только на Л/, замыкая, таким образом, задачу построения всей искомой траектории. В то же время для те < 11 < т,„сохраняется соблазн распространить (6.3) и на отрезок и16 тем более что при и = О и ве = сопвФ это, каки "постановка задачи на траектории', даст и = сопвз всюду в ьдд/ и и = О в е/'а. Попытка распространить (6.3) на ий не выдерживает,.
однако, проверки оптимальным решением для 11 = т,„(рис. 1, д). Действительно, прн 1г — > т — О отрезок пЛ становится участком д/ (рис. 1, д) "замыкающей" характеристики пучка С ь-характеристик., а на ней (6.3) заведомо несправедливо. Глубинной причиной незаконности распространения (6.3) на аЬ служит отмечавшаяся в и. 3 непроизвольность варьирования и на участке Ьд траектории поршня и как следствие этого --.
варьирования Ь на пЛ, С учетом (6.2), (6.3) и сказанного выше, выражение (6.Ц для бА принимает вид 4.3) Вариаинонная задана о сжатии идеального еаза 327 В интеграле по И, где 1+ Л ф О квадратичные слагаемые несущественны. Прн варьировании только концевого участка траектории 47', когда Ы = О на И, можно показать, что 67ь на 1ьу" имеет более высокий порядок малости, чем 67.
Отсюда следует, что необходимым условием оптимальности указанного концевого участка (минимума А) является неравенство 1 — рзазьо„„и/4 > О, заведомо выполняющееся в рассматриваемой задаче, в которой азяои < О. При анализе вклада интеграла по И из (6.4) важен знак (1 + Л). Подставив в формулу для Л константу Л, выраженную, согласно (6.3), через параметры в Л, получим 1 + Л = 1 — (х'раи )ь/(х'рви~). В силу (1.11) и (1.7), вдоль любой С+-характеристики д о 2 е ь 1 3 3 — (караи ) = х'ро (1 — — р а ш, и1 — + я у Так как и < О, то при и ~ О второе и третье слагаемые правой части (6.5) положительны (хотя для второго слагаемого такое утверждение, возможно, излишне категорично, в случае совершенного газа с м > 1 это заведомо так).
На 67" левая часть (6.5) равна нулю. Следовательно, при и ~ О на гьу скорость газа по модулю уменьшается. На разгонных же участках (на И и на И соответственно для рис. 1, 6 и г) из растет, а значит, растет и х" раиз. В случае рис. 1, б отсюда сразу следует, что на И: 1+ Л < О, а и(1+ Л) > О. Если траекторию поршня варьировать без "поднятия" ее разгонного участка, то можно показать, что для рис. 1, 6 в самом общем случае на И допустимые Ы > О, а следовательно, бА > О.
Варьирование с "поднятием" разгонного участка и более сложный случай рис. 1, г требуют дополнительного исследования. Для ео = сопэ1 и Г = сопз$ МНК применим и в плоскости х1. Здесь вместо (6.3) для определения отрезка Ь( экстремальной Сьхарактеристики получим 26 -ь и — 2аи + н(2 — н)Г~х ~ = сопзи (6.6) На 1ь7' справедливо и условие (6.3), найденное для произвольных ео и Г. Как н в вариационных задачах стационарных сверхзвуковых течений (3), из (6.3) и (6.6) при ео = сопз1 и Г = сонвс следует условие совместности для Сь-характеристик, т.е, в данном случае на экстремальной характеристике (6.6) — интеграл условия совместности для С ь-характеристик из (1.7). Уже отмечалось, что (6.3) и (6.6) с Г = О тождественны условиям, определяющим аэкстромальную" характеристику задачи об оптимальном расширении поршня, решенной для Г=О в(4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
