Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теперь, однако, в точке д фокусируются С+-характеристики, идущие от стенки как отражение С -характеристик, пришедших от аЬ. В Ьдф параметры газа постоянны, в частности и = сопзФ < О, а в треугольнике е~'д газ покоится, затормозившись в простой волне сжатия едд. На Ьу р(и) = раи — р — Л/К = О, (3.2) а на аЬ: еэ> О. Последнее есть следствие того, что согласно (1.2) и (1.1) аяр/йи = 2ра (1 — — р а~а~„„и) > О, ~рэ = 0 и и > из при 1 < 1ю В силу этого жс неравенства на Ьу не может быть "внутренних разгонных участков" таких, что С -характеристики, идущие от них., фокусировались бы на 1'1 без отражения или с отражением от стенки. С точностью до замены ('у' на траекторию ау условие (3.2) получается аналогично совпадающему с ним равенству (2.9).
При этом, взяв компенсирующую точку на а1, .нужно проварьировать траекторию всеми допустимыми способами. Можно, например, наряду с окрестностью Й изменять и в окрестности еще только одной точки разгонного участка. При таком варьировании б'и на аЬ положительны, ибо для б'и < 0 часть С' -характеристик пучка пересеклась бы вблизи д при 1 < 11. Пля б'и > 0 на аЬ положительностыр на разгонном участке дает бА > О, чем, вроде бы, доказывается оптимальность построенной траектории. К сожалению, однако, здесь, как и в анализе (1, 2) для 11 = те, не учитывается возможность б'и < 0 на аЬ при описанном в п. 2 варьировании с "поднятием" аЬ.
С другой стороны, при произвольном варьировании и = Т на Ьд возмущения, идущие по С -характеристикам, деформируют пучок С+-характеристик, что может вызвать их пересечение при Ь < 1гз Следовательно, вариации б'и на этом отрезке не произвольны и в этом смысле условие (3.2), обращающее в нуль линейное слагаемое в (3.1), является излишне сильным. При и = 0 и эе = сопзФ последнее, правда, в отличие от общего случая (п.
6) не вредит построенному решению. Эти соображения, а также желание перенести схему рис. 1. г на общий случай оправдывают исследование ее с помощью перехода к сечению 1'1. После перехода к Г'1, т.е. к выражению (2.6) для течения с и = 0 на ('а при любых и, эе и Г получим бА = (à — Еь)газ+ / ~ус(1 — — рзазыг(бК вЂ” И)~ (бЛ вЂ” бТ) + + (б11) + (Ы) + Й(бг)~)аф+ / ~(и+,'Дбй+ (и —,ДбТ + (бЛ) + + (бЦ)з усрзазь~ (б11 бЦг + П(б~)з~ сир (3 3) 4.3) Вариаиионная задана о сжатии идеального газа 321 В плоском изэнтропическом случае, когда П = О, а дЛ = Л = 0 на е(г', как и в п. 2, ь = и = сопят на е1г' и в треугольнике е11"д определяется условием (2.9) с р = сопка В соответствии с ним выражение (3.3) несколько упрощается а дА = (Р— К )азефа + / ) зс(1 — — р а~еогр(оЛ вЂ” И )~ (бЛ вЂ” Ы) + +(бЛ)з+(бЬ) )ейд+ / (1 — — ур а оз и) (Ы) е1еь (3.4) В исследуемом течении и = О., а = ае.
в е('е1, а в пучке ее1д все С+-характеристики прямолинейны. При отражении от стенки, где и = Л + Ь = О, возмущения Л отражаются возмущениями Ь противоположного знака. С учетом этих обстоятельств можно показать, что одинаковые вариации ь или ( — Л) в г-окрестности произвольной точки ) 'е1, которые будем характеризовать величиной = / дГ, Мч — / дЛе1ф, вызывают одинаковую деформацию пучка. При анализе с переходом на у'у разрыв в точке е1 смещается, не размазываясь (если оптимальное распределение параметров на у'у непрерывно, то разрыв но вводится изначально!). Поэтому связанное с и ф 0 размазывание пучка должно компенсироваться коррекцией начального участка траектории, такой, чтобы пересечение всех характеристик пучка происходило при заданном 1 = 1у. Можно показать, что это вызовет смещение пучка, пропорциональное и.
Наряду с этим допустимо независимое варьирование разгонного участка с его "поднятием' и со смещением точки е1 влево. Следовательно е.'мга = ЬдЗао + Ргп, где Х некоторый, зависящий от течения в пучке еде коэффициент, а Ьегао ( О. Напомним, что "рассмотрение на траектории" оставило открытым лишь вопрос о варьировании с "поднятием" ее начального участка, чему в приведенном выше выражении для Ьфа отвечает ЬуЗае. Имея в виду лишь это обстоятельство, вместо (3.4) получим (3.3) дА = (à — Г~)ае3фее + Здесь многоточием обозначены слагаемые, обусловленные о у= 0 на 1'е1. Пля решения интересующего нас вопроса достаточно определить знак ео = (К вЂ” Ее)а, причем теперь в отличие от (2.10) ез = ез(Л, Л~ ), но аналогично (2.10) ео(Л, Л ) = О. С учетом (2.9) и того, что в рассматриваемом случае и = О, временно опустив индекс "еХ', найдем 2 ез = л — йт — — + ~1 — — ~ атиг+ .
(3.6) иь 1 рь1 Ра Р— Р— 322 А. Н. Кранко В исследуемом случае рт < р, рт < р и ит < О, в силу чего все слагаемые правой части (3.6), кроме первого, отрицательны. Этого, конечно, недостаточно длЯ отРицательности 1г, ибо Ь вЂ” Ьь > О. Помня, что у(В, Л ) = О и Вт < Я, найдем Р— 2+ — + — 1 ит > ит, где второе равенство и неравенство справедливы для совершенного газа с показателем адиабаты н. Отсюда, по крайней мере, для совершенного газас н < 3 заведомоследует,.что у < О и в согласии с (3.5) 5А > О при Щ,щ < О.
При этом, как и в и. 2, можно показать, что при "поднятии" разгонного участка траектории слагаемые, обозначенные в (3.5) многоточием, имеют более высокий порядок малости, чем ~рАсфке. 4. Для и = О и зе = сопз$ сочетание постановок вариационной задачи на траектории и в сечении 1=11 позволило доказать, что траектории, реализуюшие схемы течения рис. 1, б и г, действительно обеспечивают минимум А.
При произвольных и, зе и Г столь же полного анализа провести не удается, что типично для вариационных задач газовой динамики. Более того, постановка на траектории в общем случае просто не проходит,так как несправедливо решение с В = О (" простая волна'). Сужаются и возможности перехода к сечению 1 = 1у. С другой стороны, требование отсутствия ударных волн при 1 < 1у указывает на то, чтобы схемы рис. 1, 6 и г (разумеется, с и ф. сопзФ на 51 и с криволинейными характеристиками пучков) были "проверены на оптимальность" для любых и, зе и Г. Указанная "проверка" особенно проста в том частном случае схемы рис.
1. г, когда точки д и 1' совпадают (рис. 1, д). Подобное может произойти при 1у > т„„где упоминавшееся ранее время т„, определяется в процессе решения. Опираясь на (3.3), т.е. на переход к 1'1, покажем, что при 1у > т в общем случае оптимально решение с и = О на ~'~ и как следствие-- в е) '1. При и = О на 1'1 (3.3) сводится к 1 5А = |р~Цу -(- ~(К[1 — — рзпзы„,р(5К 51)] (5Я 5Ц -1- 1' .1- (5Д)з 1 (5Цз 1 ЯЯ)з) д~ф, (4 1) причем допустимые Ьфя < О, при вычислении ~р = (г"' — Е~)з, в согласии с (2.5), р.ь —— р, а параметры с индексами "+" и "—" связаны условиями: Ь = Ь и Вт < Л .
Эти условия отвечают варьированию траектории с 'поднятием" ее разгонного участка, когда точка фокусировки Ст-характеристик смещается по 1"'1' влево. Ес- 4.3) Вариачионная задана о сжатии идеального газа 323 ли 11 > тоо то возможен и такой способ варьирования,при котором в е1 для проварьированной траектории придет пучок отраженных от нее С -характеристик. В этом случае в е1: Лэ — — Л., а Тэ < Т, . При любом допустимом способе варьирования гаера < 0 и единственным линейным слагаемым, которому не запрещается быть знакоперсменным, является 1е(бЛ вЂ” бЬ). Поэтому, исследуя схему течения рис.
1, д с и г— в 0 на 1'1 на минимум А, естественно приравнять нулю множитель зги посмотреть,что это даст. Итак, пусть на 1'1: РаХ вЂ” = р+ (1+ Р)ре'К = ". (4.2) бА = у~Ц~а + ~((6Л)з + (б1) + й(д~)~) сМф. (4 4) Так как й > О, а Ща < О., то остается определить знак гз для описанных выше способов варьирования траектории. Выразив из (4.2) и через р и, как и ранее, опустив индекс аао',найдем,что теперь р ие г ~о=6 — еэ — — —— Рэ — = — иэ+ >О, др дЛ„ рэа дэ» дВэ + + >О.
рэаэ Здесь ду/дЛ.» определено для ситуации, в которой влево сдвигается пучок Се-характеристик, а деоеедЬе пучок идущих от траектории С -характеристик. В обоих случаях иэ < О, однако в первом из них Р > Рэ, а во втоРом, наобоРот, Р < Ре. КРоме того, как уже отмечалось, го(Л, Лэ) и ~р(А., Аэ) обращается в нуль соответственно при Лэ — — Л и 1 г — — Ь, а Лэ < Л и Ь.е < Ь . Поэтому в обеих ситуациях оз < 0 и при любом допустимом варьировании траектории поршня (Ьфо < О, знаки бЛ, Ы и б~ на 1"'Э" произвольны) 6А в силу (4.4) неотрицательна. Следовательно, найденное решение реализует минимум А. Напомним, что входящий сюда множитель ц с точностью до задания, например ц е., определяется дифференциальным уравнением (2.4) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
