Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В МГЭ не делается упрощающих предположений о локальной одномерности течения. Благодаря этому варьирование т, позволяет в процессе вычислений "экспериментально" находить диапазон значений г,, в котором изменение указанной величины практически не влияет на решение задачи в целом.
Пе вникая в детали применения МГЭ к решению рассматриваемой задачи, напомним лишь основные моменты этого метода. Алгоритм настоящей работы основывался на непрямом МГЭ, суть которого состоит в следующем (4). Решение уравнения Лапласа (1.6) в любой момент времени т, т.е. ~г = ~р(г, т), где г означает пару переменных я 4.2) Неетаиионарная фильтрация о ненасыщенный пористый грунт 305 (2.3) и у, ищется в форме уг(г, т) = /С(г, ~) ((~) еееЯ + С.
(2. 2) Здесь интеграл берется вдоль границы зоны полного насыгдення Я = = Я(т),. де длина ое элемента, й аналогично г означает пару координат точки границы, С(г, й) известная "двухточечная" функция, 1 ® и С вЂ” подлежащие определению "интенсивность источников" и константа. Граница Я состоит из Г, отрезка Го оси л, принадлежащего зоне полного насыщения (а в задаче о системе борозд с некоторого момента тг, в который зона полного насыщения, распространяясь вправо, достигает прямой у = 1, из ее отрезка Гг), а также из дуги Ге переднего фронта и из дуги Г возникающего при т = тз заднего фронта.
Уравнение (2.2) и его следствие, получающееся дифференцированием ео из (2.2) по нормали к Я, справедливы, в частности, и на Я. Это дает два уравнения у(гь, т) = ~С(гь, йе) зе(й) еЬ(4) + С, 3 <~'Р ь Й1У=""("'') 1 (":~) '(')' в которых гь -- координаты произвольной точки Я, а Е(гь, й), как и С, — — известная двухточечная функция, сингулярная при гь = й. В силу последнего обстоятельства интеграл во втором уравнении (2.3) несобственный, что и отмечено "звездочкой" . В МГЭ граница Я "дискретизируется', т.е.
разбивается на М малых, но конечных отрезков. Интегралы по таким отрезкам заменяются после этого суммами, содержащими дискретный набор значений функции 1 = 7'о с о = 1,...,М в центрах указанных отрезков. Затем уравнения, полученные таким образом из первого уравнения (2.3), записываются в тех точках Я, где в силу (1.8) илн (!.9) известно уг, т.е, на Г, Г.ь и Г Аналогично уравнения, получающиеся из второго уравнения (2.3), записываются в точках отрезков Го и Гг, в которых, согласно (1.7), дуг/дАе = дуг/ду = О. Число получившихся в итоге уравнений равно М, т.е. числу подлежащих определению значений функции уо. В эту систему, линейную относительно уо входит, однако, также неизвестная константа С. Дополнительное уравнение, также линейное относительно 1о и С, получается дискретизацией "условия излучения" (4) Гав ®=9 (2.4) Не вдаваясь в дополнительные подробности перехода от (2.3) и (2А) к линейной системе для (М+ 1)-го неизвестного уо и С и входящих в них в качестве коэффициентов значений функций С и Е, отметим лишь, что при этом специальные приемы используются при рассмотрении изломов границы Я.
После определения 1» и С интегральные представления (2.3) позволяют найти дуг/дАе в соответст- (Гл. 306 А.Н. Кпаяко, Ш. Салолов вующих точках фронтов насыщения, а затем по (1.10), взяв достаточно малое приращение времени Ьт, рассчитать смещение переднего, а при т > г~ и заднего фронтов. Затем описанная численная процедура повторяется уже для новой зоны полного насьпцения и ее границ. 3. Созданный в процоссе выполнения данной работы алгоритм был опробован на примерах решения в рамках ММН плоских задач нестационарной фильтрации жидкости из одиночной выемки и из периодической последовательности симметричных выемок. В расчетах варьировались число отрезков М дискретизации границы Я и значения т, и от, которые выбирались такими, чтобы дальнейшее увеличение ЛХ и уменьшение г, и Ьт не вносило заметных корректив в графическое представление результатов.
Часть результатов приведена на рис. 2 4. На них в плоскости ту наряду с границей выемки т = — 2.5уз и уровнями жидкости (горизонтальные отрезки) показаны фронты насыщения в разные моменты времени г. Фильтрации при постоянном уровне жидкости Н = 1 для т > 0 из одиночной выемки отвечает рис. 2, а, .а из системы выемок с расстоянием между соседними выемками 2У = 2 - рис. 2, 6. В этих случаях не образуется задних фронтов и поэтому., как уже отмечалось, переход от 1 к т ведет к "полному подобию" в смысле независимости конфигурации зон полного насыщения и полей масштабированной скорости 17' в них от т, ц и х. Между цифрами у кривых Г+ и значениями т на рис. 2 имеет место такое соответствие (в скобках —— значения т): О (0.002), 1 (0.25), 2 (0.37), 3 (0.75), 4 (1.00), .5 (1.25), б (1.50), 7 (1.75) и 8 (2.00). Рис.
3отвечаетодиночной выемке, в которой при 0 < т ( гз = 0.25 уровень жидкости постоянен (Н = 1), а в момент т = т, мгновенно снижается либо до Н = 0.1 (рис. 3, а), либо до Н = 0 (рис. 3, б). В задачах с задним фронтом насыщения подобие (в смысле независимости решения в масштабированных переменных от т, п и х) оказывается неполным прежде всего из-за того, что в уравнение движения заднего фронта из (1.10) входит ц.
В представленных на рис. 3 результатах ц = 0.5. Кроме того, если исходный закон изменения уровня жидкости задан в форме Н = Н(1), то при переходе к т в нем в явном виде появится зависимость от хп. В примерах рис. 3 такая зависимость отсутствует, поскольку Н задавалась как функция г. Соответствие цифр около кривых Гз и Г, представляющих передний и задний фронты насыщения, и г на рис. 3 а такое: 1 (0.25), 2 (0.36), 3 (0.48) и 4 (0.63), а на рис. 3,. б: 1 (0.25), 2 (0.36), 3 (0.58) и 4 (0.73). Рис.
4 в противоположность предыдущему соответствует подъему жидкости в выемке. Здесь уровень жидкости сначала (при т = 0) скачком поднялся до Не = 0.1, до т = 0.25 оставался постоянным, а затем при т > 0.25 рос по закону Н(т) = 0.1+ сйп [0.45(г — 0.25)). 4.2] Нестационариая фильтрация о ненасьиценнма пористый грунт 307 У 5 0 У 3 х Рис. 2 В данном случае за линейный масштаб Ь взято не размерное значение Но, а та же величина, что в примерах рис. 2 и 3. Поэтому теперь Но ~ 1, а Н(т) достигает начального уровня указанных примеров лишь при т 3. Соответствие значений г и цифр около кривых.
—. передних фронтов на рис. 4.—. от 0 до 8 то же, что на рис. 2. Номерам 9 и 10 отвечают т = 2.5 и 3. Как уже отмечалось, один из способов контроля точности вычислений состоял в сравнении результатов, полученных при разных М,. т.е, при увеличении числа отрезков разбиения границы. В приведенных примерах удвоение М (с 36 до 72) не вело к заметным (в масшта- [Гл.
308 А.Н. Кранко, Ш. Саяомоо 1 у х Рис. 3 бе рис. 2 — 4) изменениям результатов. Дополнительную информацию о точности расчетов дает проверка центрального закона сохранения массы жидкости. В общем случае переменных т и и имеем — ~й / ргпп15Х Из = Црт сЫ + ~~~рт(,1 — п) йо, (3 1) а г — ~Йт ~1ГХ сЬ = ьгь + (1 — п)ы а г (3.2) Отсюда, используя (1.10), нетрудно получить уравнение неразрывности (1.6) в дифференциальной форме. В выполненных расчетах определялась относительная погрешность вычислений 4, равная модулю разности обеих частей (3.2), отнесенному к левой части этого равенства. Величина д с ростом т сначала растет, достигая при М = 36 в разных задачах максимума А = 0.07" 0.13 при т = 0.2 -0.3.
При больших т наблюдается быстрое падение б до долей процента при т = 2.3. При этом переход к М = 72 уменьшает б примерно вдвое. где ась и ы -- соответственно площади зон полного насыщения и зон частичного насыщения. Данное равенство имеет очевидный смысл: количество жидкости, которое за время 1 втекло в грунт через смачиваемую границу выемки Г, записанное в левой части равенства (знак минус учитывает направление внешней нормали Х), равно количеству связанной и несвязанной жидкостей в пористом груше.
После перехода к г и 1Ю' (3.1) для постоянных пз и и принимает вид 4.2) Нестационарная фильтрация в ненасыщенный иориссаый грунт 309 ва' выемка наполняется жидфронты насыщения могут пеполивах границы раздела зон 4. В задачах "многократного поли костью не один раз, и вследствие этого ресекать возникшие при предыдущих частично насыщенного и сухого грунтов. В точках такого пересечения фронт насыщения претерпевает излом, как показано на рис.
1, в и г, где Г)А граница,над (под)которой расположен сухой грунт (зона частичного насыщения), .а ОВ и ОС соответствующие отрезки движущегося сверху вниз переднего фронта насыщения. Там же показаны вектор скорости 13 несвязанной жидкости, подходящей к переднему фронту со стороны зоны полного насыщения, и углы а, е и и, которые вектор 11 и отрезки ОС и ОВ образуют в точке О с ОА.
Учтя знаки этих углов, определенные так, как показывают стрелки на соответствующих дужках, различие скоростей Р движения переднего фронта над и под ОА и то, что О-- точка пересечения движу|цихся участков фронтов с фиксированной границей раздела ОА, придем к равенству 1 — с1яг1яа = п11 — сСби1яа), (4.1) связывающему при заданном п < 1 углы а, г и и. При в ы воде (4. 1) предполагалось отсутствие особенностей 1Л в точке О, т.е. зависимости 11 от полярного угла.
В этом случае из (4.Ц следует, в частности, что при и < 1 угол а ~ О. Более того, согласно (4. 1), при е и ) и), не превышающих х/2 (рис. 1, в), а положительно, а при г и )и), больших я/2 (рис. 1, г), отрицательно. Напомним, что и = 1 отвечает несмачивавмому грунту, в котором граница ОА не может возникнуть. Х Казалось бы, иная ситуация возни- Рис. 4 кает в примерах рис. 3, где после снижения уровня жидкости в выемке передний и задний фронты пересекаются не на заранее известной границе раздела сухого и частичного зрб А.
П. Крайне, Ш. Саломов насыщенного грунтов, а на границе, совпадающей с траекторией движения их точки пересечения (рис. 1, д). Хотя на рис. 3 эта границе не нарисована, ее нетрудно представить как огибающую фронтов насыщения. Несмотря на очевидное отличие случае рис. 1, в, г и рис.
1, д, формула (4.1) оказывается справедливой и для последней ситуации, если углы о, е и и отсчитывать от продолжения границы раздела ОА. На рис. 1, д сухой (частично насышенный) грунт расположен справа (слева) от ОА, ОВ --. передний, а ОО - - задний фронты. В этом случае из (4.1), в частности, следует, что о больше нуля. Литература 1. Кройка А.П., Махмудов А.А. О моделировании нестационарной фильтрации тяжелой жидкости. Нрепринт № 168- 88. Новосибирск: Ин-т теплофиз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
