Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 57
Текст из файла (страница 57)
— з, в силу определения В, Ь н Ф и равенств (1.2), справедливы следующие выражения для частных производных: 4 4 рф = ра, рфф = — р а огг,р, РР г г~ (гн=ие.=1, Фн= — Фв=1, 1 е = —, — р(о РР г г РР1 р е Р Ргаг ' 2 Р РР— ра4 (1.11) 2 3 а = — — + — раы ра 2 2, Р и(РР где интегрирование ведется вдоль произвольного замкнутого контура в плоскостях х1, х(р или ()(й Слагаемые с иг = Гг((х~ существенны в (1.9) только при и = 1, что, как и в (1.3), отражает множитель Р(2 — Р).
Законы сохранения в интегральной форме (1.9) вместе с интегральными законами сохранения количества движения (или эквивалентными им законами сохранения момента количества движения) первичны, а дифференциальные уравнения (1.3) и (1А) следуют из них в подобластях непрерывности параметров. Пля последующего анализа удобно использовать функции гь(и, р, з) и о(и, р, 4), которые при Р = О и ое = сопэс сохраняются соответственно вдоль С~- и С -характеристик, т.е. являются в этом случае инвариантами ("инвариантами Римана" (5, 6)) характеристической системы (1.7).
В общем случае Л и Л введем равенствами 2й = и+ Ф(р, з), 2Ь = и — Ф(р, з), Ф(р, з) = г др ра Ро(ф( где интеграл, определяющий Ф(р, з)., берется при постоянном з = зо((Р), а следовательно, и ф. При зо ф сопзс и Р ф О функции Л и Ь не являются инвариантами. Несмотря на это, в соответствии с их определением (Гл. 316 А. Н. Кранко 2.
В общем случае минимизируемый функционал (1х8) в согласии с (1.9) можно выразить через разность энергий газа при 1 = 11 и 1 = О. В результате с точностью до несущественного при решении вариационной задачи постоянного слагаемого Г 1 А = / ~е+ — + и(2 — и) — ~ йф, сх = тзе . (2.1) 2 2б~ В силу равенства (1.5), вводящего ух, при 1 = сопз1 имеем (~' = = Кйф) Ь = с' — (1+ р)/(Кр) = О. (2.2) Чтобы учесть зту связь, составим вспомогательный функционал 1 = А+ /р(ф)Ьдф у' с подлежап1им определению переменным множителем Лагранжа р(ф).
Любые допустимые вариации бЛ, Ы и б~, т.с. разности исходных и проварьированных зна зелий Л, А и ~ при фиксированном хр, а следовательно, согласно (1.1) и (1.6), при фиксированных ре(ф), з(ух) и Г(ф), должны удовлетворять дифференциальной связи (2.2). Поэтому вариации 1 и А совпадают. Проведя необходимые выкладки и учтя (1.2) и (1.11), найдем хх = (х — Р ) ЛФ х5х — х ) хх х1 (5 +х)ха+( — х) а— у' — р' + и(2 — и) —,~ бс + (бй) + (бЬ) (2.3) ' 1,рзаз„(бЛ бГ,)з+ П(бг)з <~б и 1+хх р 1+хх гх Н = е+ — — — рт, Х = — + — р, Й = р(2 — р) —. 2 Кр ' ра Кра 2га При выводе (2.3) допускалось, что в распределениях параметров на 1'1 возможен разрыв в точке Н.
Параметрам слева (справа) от б приписан индекс "минус" ("плюс"), а через Ахфа обозначено возможное приращение ф точки разрыва. Поскольку скачки уплотнения при 1 ( 1у запрещены постановкой вариационной задачи, то разрывы параметров на 1'1 могут вызываться лишь фокусировкой в а' одноименных характеристик. Если точек разрыва несколько, то в (2.3) предполагается суммирование по всем ним. При любых (необязательно оптимальных) распределениях параметров на 1'1 множитель д(ух) можно, пользуясь произволом в его выборе,.
определить из условия обращения в нуль коэффициента при б~ на 1'у, т.е. потребность, чтобы на каждом отрезке непрерывности па- 4.З) Бариаиионнан задача о сжатии идеального еаза 817 раметров р'+ н(2 — н)Г /(2з~) = О. (2.4) Поскольку (2.4) дифференциальное уравнение первого порядка, то в дополнение к нему можно в точке (или точках) разрыва параметров положить (2. 5) т.е, сделать множитель 1ь непрерывным. Тогда выражение (2.3) при- мет вид у дА = (à — Гь)дЬФа + / [(ее+ Х)оеь+ (и — Л)Ы+ (бее)~ + у' + (57)з Лрзазы (Яп 57)з+ П(хчс)з~ ен1, (2 б) Во всех случаях, когда н(2 — н)Г— : О, множитель д, выбранный в соотвотствии с (2.4) и (2.5), постоянен. Последнео естественно, ибо в таких ситуациях с не входит явно в выражение (2.Ц для А. Поэтому здесь вместо дифференциального уравнения (2.2) можно учесть его следствие изопериметрическое условие У Х=5,.-5,=— 1-г о гдер (2.7) бА = (à — Го)а7ЛФа + / '((и — Х)оь' + +(1 — —,хр' „,)(55)'] М, Г = е+ — — —, Х = — + ~ (28) 2 Кр' ра Кра с д = сопя1.
Задание ту и учет этого обстоятельства с помощью уравнения (2.2)., интегрируемого от фиксированного ту., дает способ определения р. Пля этого вводится "компенсирующаяи точка Й, в которой за счет произвола в выбора р обращаотся в нуль коэффициент при И в (2.8). Это дает (ра)ь(и — Х)ь = (раи — р — 1ь(К)ь = О. Панное условие включается во вспомогательный функционал 1 = А+ + ЛХ постоянным множителем Лагранжа Л, который совпадает с р = сопз1. Пусть теперь 11 = те.
Тогда точки разрыва могут быть результатом фокусировки только С -характеристик, как показано на рис. 1, а. В плоском изэнтропическом случае (р = О, яо = сопзб), для которого в [1, 2) найдено точное решение вариационной задачи, в треугольнике а1'1 реализуется простая волна с П = О и прямолинейными С характеристиками.
Так как здесь оЯ = О, П = О, а 5 = х, то из (2.6) будем иметь 318 А. Н. Крайко Теперь, варьируя фа или Ь в окрестности любой отличной от к точки, будем одновременно так варьировать 1 в окрестности Й, чтобы не изменялась координата я. Тогда при неварьируемых 1ба других точек разрыва параметров или Ь в прочих точках отрезка у'1 границы будет обеспечена неизменность заданного яу. Благодаря этому вариации бЬ можно считать независимыми и, следовательно, на каждом участке непрерывности параметров (2.9) ра(и — у) = раи — р — р/К = О. В рассматриваемом случае течение в ау'у — простая волна. Поэтому параметры газа в (2.9) функции одного из них, например и = Ь. Следовательно, на каждом участке непрерывности параметров они постоянны, а оптимальная траектория поршня может состоять только из отрезков постоянной скорости и участков разгона, обеспечивающих фокусировку идущих от них С -характеристик на у '1.
Покажем, что точка фокусировки характеристик единственная и что она совпадает с 1', как изображено на рис. 1, б (на ней и далее оси а и 1 не приводятся). Взяв "самук~ правую' из таких точек, вычислим в ней коэффициент при агфа из (2.8). Подставив в него р, определенный из (2.9) по параметрам в точке д г, и временно опуская индекс "сГ', найдем р = К вЂ” Гь — — е +и~/2+(р — раи)з.(р — Ьь — иь~/2+аьиь. (2.10) Данная разность функция Ь и Ь.ь, равная нулю при Ьь —— Ь .. Согласно (1.2) и (1.11) дФ ( р')/ 1 зз — = 2аь )к1 — — ~ ) 1 — — р а ы„ри) При фокусировке волн сжатия от раэгоняющегося поршня, движущегося влево, иь < О, р+/р > 1, а Ь г = а г < Ь = и .
Поскольку ыие > О, то отсюда найдем, что ду/дА г < О, (г — Е~.)з = ра > 0 и при озфз < 0 вариация бА < О. Отрицательные Агфа для хи > ху. получаются сдвигом соответствующего участка разгона поршня "вниз" (т.е. уменыпением момента начала разгона) с замедлением на нем поршня (по модулю скорости) с тем, чтобы точка пересечения идущих от поршня С -характеристик сместилась по 1'1 влево. Предшествующие участки траектории при этом не варьируются. Поэтому слева от рассматриваемого разрыва бЬ = О. Равны нулю и все приращения Лаба прочих точек разрыва (если таковые имеются). Участок траектории, примыкающий к у, при этом хотя и корректируется для обеспечения прихода поршня в заданную конечную точку, но в силу (2.9) не вносит в бА линейного по б1 вклада. Можно показать, что вклад (бЬ) при описанном способе варьирования имеет более высокий порядок малости, чем Ьфю Из сказанного следует справедливость нашего утверждения. В случае рис.
1, б поршень после разгона движется с постоянной скоростью. Для такой траектории с учетом (2.9) 4.3) Вагьиаиионная задана о сжатии идеального еаза 319 вместо (2.8) будем иметь + /' (1,завоз и) (д1,)г сЬЬ (2 11) е=-г' с ьоа > О, где уго вычисляется по (2.10), причем е = ев, а и = О. В (2.11) точка ь1 совпадает с у' и теперь допустимые сьфа в отличие от внутренних точек фокусировки неотрицательны. Это обеспечивается 'поднятием" разгонного участка аЬ с одновременным увеличением на нем скорости поршня (по модулю).
Обозначим через Ь'Т = Ь'и вариации Т, и и на траектории при 1 = сопзп Тогда при таком способе варьирования траектории б'и > О вблизи точки а и, наоборот, 3'и < О при 1 < 1ь в окрестности точки Ь, т.е, на аЬ допустимые Ь'и отнюдь не знакопостоянны, как полагалось в [1, 21 При использовании (2.11) существенно не знакопостоянство 6'и на аЬ, а неотрицательность сь1ою Так как параду с ьза > О в рассматриваемой задаче озрри < О, то, согласно (2.11), любое допустимое варьированне построенной траектории (Що > О, бЬ на с(г' = у'у произвольны) увеличивает работу. Следовательно, она оптимальна. Неэквивалентностыюдходов, опирающихся на выражения для А в форме (1.8) н (2.Ц, обусловлена тем, что прн "постановке на траектории" исходная задача только на первый взгляд является задачей оптимального управления с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Дело в том, что условие отсутствия в а)') ударных волн для течения, описываемого уравнениями в частных производных, при этом не удается заменить простым ограничением на скорость поршня (или на знак б'и) на разгонном участке траектории. Подобная ситуация типична для газовой динамики., где разные записи оптимизируемых функционалов обычно дополнякьт друг друга. 3. В свете последнего замечания рассмотрение случая 1у > тв начнем с постановки задачи на искомой траектории для плоского поршня и вв = сопз1. Работу А возьмем в форме (1.8), а изопериметрическое условие задание разности координат поршня у Х гн х, — хг = — (иЖ введем во вспомогательный функционал 1 = А + АХ постоянным множителем Лагранжа А.
Пусть (рис. 1, в, сь1 С -характеристика) заданное 11 таково, что ха < ху. Тогда в асс(1 будет простая волна с Д: — О и Т = и, и с учетом этого У бА = К /' ~(~аи — р — — ) д'и+ ра (1 — — рза~азрри) (6'и)г ~йй (3.1) Забыв на время соображения и. 2 о формулировке условия отсутствия при 1 < 11 ударных волн, на основе анализа (3.1) можно прийти к оптимальной траектории, реализующей течение, изображенное на рис. 1, е. На нем, как и на рис. 1, б, к разгонному участку аЬ примы- (Гл. 320 А. Н. Крайио кает участок, на котором поршень движется с постоянной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
