Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 54
Текст из файла (страница 54)
вправо, как показано на рис. 1., а и б. Кроме того, оси х и г — Но Х Х Рис. 1 совместим с плоскостью симметрии борозды [или одной из идентичных борозд их бесконечной периодической последовательности), направленной по оси г, перпендикулярной плоскости исследуемого течения. Сечение борозды плоскостью ху образует выемку, симметричную относительно оси х. Начало координат х = у = 0 совместим с нижней точкой выемки. Течение по борозде в данной работе имитируется заданием при г = сопз1 уровня жидкости в выемке: х = — НЯ. При 1 ( 0 жидкость и в выемке, и в грунте отсутствует, т.е.
Н[1) = О. В момент 1 = 0 уровень жидкости изменяется скачком до некоторой конечной величины, принимаемой далее, если не оговорено особо, за линейный масштаб задачи А. В силу этого, Не = Н[+0) = 1. (Гл. 302 А.К. Кранко, Ш. Саоомоо Пространство вне выемки (или борозды) занято однородным пористым грунтом, в число физических характеристик которого наряду с уже упоминавшимся коэффициентом и входит коэффициент пористости ш ( 1, равный относительному объему порового пространства. Пусть изменение параметров жидкости, в частности ее скорости 11 и давления р, в исходной пространственной задаче вдоль оси з много меньше, чем по х и р. Это позволяет в уравнениях, описывающих фильтрацию жидкости в пористом грунте, пренебречь производными по х и свести определение р, и и о, где и и о . х и д-компоненты 11, к решению плоской задачи.
Пусть далее р = сопэФ вЂ” истинная плотность жидкости, а р отсчитывается от его уровня на свободной поверхности жидкости: х = — Н(1). То же значение р = 0 будет (при пренебрежении капиллярным скачком давления) на переднем фронте Гз. и на заднем фронте Г . Решение задачи включает расчет эволюции во времени переднего фронта, а при 1 > 1з и заднего.
Основные уравнения и условия ММН тождественны соответствующим уравнениям и условиям "одножидкостной" теории фильтрация насыщенных грунтов (3). Изменяется, как уже отмечалось, лишь связь скорости Р переднего фронта, которая в каждой точке фронта отсчитывается по внешней нормали 1з к Гь, с нормальной к Ге проекцией скорости ик = 1зЖ. Согласно [1, 2), для переднего фронта дХ(ду = Р = имея = п1з11, (1.1) в то время как задний фронт движется со скоростью жидкости, т.е. здесь Р = ик. В (1.1) Х вЂ” координата Гэ, отсчитываемая по нормали Х.
Прежде чем выписать прочие уравнения и условия задачи, напомним, что, согласно ММН (1, 2), в зонах частичного насыщения фрагменты жидкости, заполняющие глухие и капиллярные поры и располагающиеся на смачиваемых элементах скелета грунта, предполагаются покоящимися. В зонах полного насыщения жидкость (связанная и несвязанная) заполняет все поровое пространство, однако движется в таких зонах только несвязанная жидкость, а связанная, как и в зонах частичного насыщения, покоится.
Масса жидкости, приходящаяся на единицу объема грунта, в зонах частичного насыщения равна (1 — п)пзр, а в зонах полного насыщения тр. В "зонах сухого грунта" жидкость, естественно, отсутствует полностью. Движение несвязанной жидкости в зонах полного насыщения при постоянных т и п, что далее предполагается (грунт однородный), описывается уравнениями неразрывности и движения 17ТЛ = О, (1. 2) — + (Тузу) с1 = — — "7р + 17(дх) + тп1'.
а11 1 д1 Р (1.3) В (1.3) Г . — сила, действующая на несвязанную жидкость со стороны грунта и связанной жидкости. Благодаря множителю тп перед 1 4.2) Нестационарная фильтрация о ненасыщенный пористый грунт 303 последняя имеет смысл силы, действующей на единицу массы несвязанной жидкости. При малых и умеренных скоростях для 1 хорошо работает закон Ларси [3], согласно которому 4' = -д11/й (1.4) с коэффициентом фильтрации к.
Благодаря множителю д этот коэффициент, определяемый физическими свойствами жидкости и грунта, имеет размерность скорости. Пренебрегая в (1.3), как и в теории фильтрации насыщенных грунтов, малым для типичных ситуаций ускорением жидкости и подставив (1.4) в (1.3), после обозразмеривания переменных придем к уравнению гезу~о — 11 = О, у = р — х, ос = й/(тп худ). (1.5) Здесь и далее все переменные безразмерные с А, зсСХ7д, зсдХ, р и рдЬ в качестве масштабов длины, времени, скорости, плотности и давления. Уравнения (1.1) и (1.2) при обезразмеривании не изменяются.
Лля типичных грунтов и Ь = 0.1 0.3 лс безразмерный параметр ос « 1. Подстановка 11 из (1.5) в (1.2) дает для определения ус уравнение Лапласа Ьр=О. (1.6) В силу симметрии задачи относительно плоскости хг, а в случае периодической системы борозд -- плоскостей у = 1У, где 1 = О,х1,х2,..., а У заданная константа (отнесенное к А расстояние между нижней точкой борозды и вершиной "грядки"), решение уравнения (1.6) достаточно строить в задаче с одиночной выемкой (рис. 1, а) лишь при у > О, а в задаче с системой идентичных выемок (рис.
1, й) в полосе 0 < у < У. При этом на плоскостях симметрии в зоне полного намокания, т.е. при у = 0 и у = У, выполняется условие непротекания и = О, или согласно (1.5) дусду=О, у=О,У (1.7) Пренебрежем движением жидкости в выемке. Тогда давление на "смоченном" отрезке Г ее дна: х = — Х(у), 0 > х > — Н(1) > — 1, определяется уравнениями гидростатики и поэтому с учетом ориентации оси х равно р = Н вЂ” Х. Соответственно этому здесь же ~р=Н, х= — Х(у), 0>х> — Н (1.8) с известной функцией Х(у), определяющей форму выемки. ~а фронтах намокания Г ь и Г, где, как уже отмечалось, р = О, имеем со= — х, (х,у)ЕГж,Г (1.9) Условия (1.7) (1.9) на границе зоны полного насыщения формулируют смешанную задачу для уравнения Лапласа (1.6).
Решив эту задачу для данного момента времени, можно определить уг = уо(х, у, ь) во всей зоне полного насыщения, включая неподвижные и подвижные участки ее границ, а также и 11 = осЗ7~р. При этом зависимость уо (Гл. 304 А.ЕЕ. Клаяхо, Ш. Салолов и 1Е от времени оказывается параметрической, реализуясь через зависимость от 1 формы зоны полного насыщения и функции Н(1). Вводя далев "масштабированное" время т = пм1, перепишем уравнения движения фронтов насыщения в виде — — (х,у) с Гэ, — =в —, (т., у) ЕГ (110) аж а~ ОА, бз дт дХ' ' ' Ог дЖ' Согласно (1.6)-.(1.10), если Н(1) = сопз1 = 1 и как следствие этого отсутствует задний фронт, то на эволюцию формы зоны полного насыщения во времени т не влияют безразмерные параметры т, и и зг, характеризующие фильтрационные свойства пористого грунта. В этом случае наряду с у = р(я, у, т) не зависят от т, и и м и гюля "масштабированной" скорости 1Г = 73/л = 17у.
2. В рассматриваемой идеализированной постановке жидкость мгновенно заполняет выемку до уровня я = — Н(0) = — 1 и начинается ее фильтрация в грунт. При этом в начальный момент нормальная к границе выемки Г скорость жидкости бесконечна (1, 2), а уравнение, определяющее продвижение Гэ в грунте, как нетрудно показать, в каждой точке Г тождественно соответствующему уравнению для фронта насыщения одномерной задачи теории фильтрации. Пусть координата Нг движущегося переднего фронта Гг отсчитывается от Г по нормали 1Х1 к ней, а над границей грунта в указанной точке расположен слой жидкости высоты 6 = Н вЂ” Х, где, в согласии со сказанным ранее, х = Х(у) уравнение образующей выемки.
Тогда Н = Нг(з, 1) с координатой з, отсчитываемой вдоль Г, определяется уравнением (1, 2) ОХ)дг = 2(Ь+ зЕХ), Х = Нг'. (2.1) При получении этого уравнения не учитывалась двумерность течения в пористом грунте, т.е, перетекание жидкости в направлении, касательном к Г, что, строго говоря, верно лишь при 1 = О. Поэтому оно используется лишь на достаточно малом начальном интервале 0<т<т,«1. В результате интегрирования (2.1), которое до т = г, проводилоь методом Рунге — Кутта, получается начальная зона полного насьпцения, позволяющая при г > т, решать задачу (1.6) — (1.10) с помощью МГЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
