Практический курс физики. Основы квантовой физики (1013878), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Примеры решения задачЗадача 4.1. Kα линия ванадия отражается в первом порядке отсистемы плоскостей (100) монокристалла NaCl под углом скольженияθ = 26,5°. Найти постоянную решетки а данного кристалла.Решение. Кубический кристаллNaCl изображен на рис.4.3. Постояннаярешетки a = 2d. Условие максимума вaсоответствии с (4.2):d2dsinθ = kλ.По условию задачи k = 1:2dsinθ = λ.Длина волны λ (Kα линия ванадия)11⎤ 32⎡ 12= Rλ (Z − 1) ⎢ 2 − 2 ⎥ = Rλ (Z − 1) .Рис. 4.3λ Kα⎣1 2 ⎦ 4Rλ − постоянная Ридберга322d sin θ = Rλ (Z − 1)4Z = 23 (порядковый номер ванадия)Постоянная решетки2o3Rλ (Z − 1)a = 2d == 5,63 A4d sin θЗадача 4.2. Получить выражение для граничной (максимальной)энергии Еmax свободных электронов в металле, при температуреT = 0°K, если известна их концентрация n и выражение для ихмаксимальной скорости.Вычислить Еmax для серебра, полагая, что на каждый атомсеребра приходится по одному свободному электрону.Решение.
Граничная энергия электрона в металле при T = 0°K –это энергия Ферми (4.9):h2(3π2 n )2 / 3 .Emax = E F (0) =2mМаксимальная скорость нерелятивистских электронов извыражения для кинетической энергии:22/3mvmaxh2Tmax == E F ( 0) =3π2 n .22m()101Отсюда:()()2/31/ 32 h2hvmax =3π2n=3π2 n .m 2mmПо условию задачи на каждый атом серебра приходится поодному свободному электрону. Следовательно:2/3h2Emax Ag = EF Ag (0) =3π2 ne .2meЗдесь me - масса электрона, ne - концентрация свободныхэлектроновne= na (концентрация атомов)(na =νN AV=)MN AN=ρ A.μVμДля серебракгкг; μ = 107,9 ⋅ 10−33мольм32310,5 ⋅ 10 ⋅ 6,02 ⋅ 10na = ne == 5,86 ⋅ 1028 м −3.−3107,9 ⋅ 10Тогдаρ = 10,5 ⋅ 103(1,05 ⋅10 ) (3 ⋅ 3,14−34 2EmaxAg22 ⋅ 9,1 ⋅ 10⋅ 5,86 ⋅ 1028−31)2/3= 8,7 ⋅ 10−19 Дж = 5,46 эВ.Задача 4.3.
Подучить с помощью распределения Ферми-Диракавероятность заселения электронами энергетических уровнейа) большихб) меньших уровня Ферми на ΔE = E − EF =± 2kT.Решение. Указанная функция распределения (4.8) имеет вид:1;f (E , T ) = E − EFe kT + 1а) ΔE = E − EF = 2kT, тогда1111= 2=== 0,12f (E , T ) = 2 kT7,39+18,391e+e kT + 1б) ΔE = E − EF = −2kT, тогда111= −2== 0,88.f (E ,T ) = −2 kT1,1351e+e kT + 1102Задача 4.4.
Найти с помощью распределения Ферми приT = 0°K:а) среднюю кинетическую энергию свободного электрона вметалле, если известна его энергия Ферми ЕF(0);б) суммарную кинетическую энергию в 1 см3 золота, полагая, чтона каждый атом золота приходится по одному свободному электрону.Решение. Средняя энергия электрона (Еmax = ЕF(0)) всоответствии с (4.12):EFE =∫ Eg (E )dE0EF∫ g (E )dE0Плотность электронных состояний в единице объема (4.7)321 ⎛ 2m ⎞g (E ) = 2 ⎜ 2 ⎟ ⋅ E2π ⎝ h ⎠Тогда:32EFEF1 ⎛ 2m ⎞32∫ E 2π2 ⎜⎝ h 2 ⎟⎠ ⋅ E dE ∫ E ⋅ E dE 2 EF5 2 3E = 0E= E0=5= EF (0 );32FF25321 ⎛ 2m ⎞12∫ 2π2 ⎜⎝ h 2 ⎟⎠ ⋅ E dE ∫ E ⋅ E dE 3 EF00Суммарная кинетическая энергия всех электронов в 1 см3 золотаEΣ = Ne⋅〈E〉 ; Ne = neV (V = 1 см3; ne − концентрация электронов).ρ NПо условию ne= na; na = Au A ; ρAu = 19,3⋅103 кг/м3;μ AuμAu = 197⋅10−3 кг/моль19,3 ⋅ 1036,02 ⋅ 1023na == 5,9 ⋅ 1028 м −3.−3197 ⋅ 10Энергия Ферми для золота:()(223h21,05 ⋅ 10−3428 2 32EF (0 ) =3π na=3⋅3,14⋅5,9⋅10= 8,78 ⋅ 10−19 Дж .−312m2 ⋅ 9,1 ⋅ 10Суммарная энергия:3EΣ = naV EF = 5,9 ⋅ 1028 ⋅ 10−6 ⋅ 0,6 ⋅ 8,78 ⋅ 10−19 = 3,12 ⋅ 104 Дж .5())103Задача 4.5.
Какая часть η свободных электронов в металле имеетпри абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающуюполовину максимальной энергии?Решение. Искомую величину η можно определить какотношениеконцентрацийэлектроновссоответствующимидиапазонами энергий:Δnη=;nКонцентрация электронов, энергии которых лежат в диапазоне отE до E + dE (4.5)dn(E) = g(E)f(E)TdE. Так как E≤EF, то f(E,T) = 1 (T = 0) иdn(E) = g(E)dE В соответствии с (4.7):321 ⎛ 2m ⎞g (E ) = 2 ⎜ 2 ⎟ ⋅ E2π ⎝ h ⎠Максимальная энергия Еmax = ЕF (0). Значения Δn:3232EFEF1 ⎛ 2m ⎞1 ⎛ 2m ⎞ EF 3 2Δn = ∫ dn = ∫E dE = 2 ⎜ 2 ⎟∫ E dE;2⎜ 2 ⎟ππ2h2h⎝⎠⎝⎠EF 2EF 2EF 21 ⎛ 2m ⎞Обозначим⎜⎟2π 2 ⎝ h 2 ⎠EFТогда Δn = A∫E1232= A.dE;EF 2искомое отношениеEFΔnη==n∫EEF 2EF∫E1212dE=1−dE1= 0,64 .23 20Задача 4.6.
Найти с помощью распределения Ферми длясвободных электронов в металле при Т = 0 К среднюю скорость этихэлектронов v, полагая известной максимальную скорость vmax.Решение. Среднее значение скорости при Т = 0 К (4.1)vmaxv =∫ vg (v )dv0vmax∫ g (v )dv0104.Плотность состояний по скоростям g(v)dv можно получить изплотности состояний по энергиям g(E)dE (4.7):321 ⎛ 2m ⎞g (E )dE = 2 ⎜ 2 ⎟ ⋅ E dE2π ⎝ h ⎠Для нерелятивистских электроновmv 2mmE=; E =v; dE = 2vdv = mvdv2221 ⎛ 2m ⎞g (v )dv =⎟⎜2π 2 ⎝ h 2 ⎠vmax323m1 mmvdv = 2 3 ⋅ v 2 dv⋅v2π hm3 2∫ π2h3 v dv vmax 3= 4 = vmaxv = v03maxvmax 4m 2∫ π2h3 v dv30vЗадача 4.7. Ширина запрещенной зоны чистого полупроводникаравна ΔE = 1эВ.
Найти вероятность попадания электрона на уровнивблизи дна зоны проводимости при температурах Т1 = 0 К и Т2 = 290 К.Будет ли увеличиваться эта вероятность, если на полупроводникдействует электромагнитное излучение с длиной волны λ1 = 1 мкм,λ2 = 2 мкм.Зона проводимостиРешение.Длячистого полупроводникауровень Ферми лежитΔEпосередине запрещенной EFзоны (рис.4.4).ΔE/2Функцияраспределения Ферми –ДиракаопределяетВалентная зонавероятность нахожденияРис 4.4электрона в состоянии сэнергией E1f (E , T ) = E − E;Fe+1При Е > EF и Т = 0 f(E,0) = 0.При Т = 0 электрон не может попасть на уровень вблизи дназоны проводимости.kT105Расстояние между уровнем Ферми и дном зоны проводимостиЕ – EF = ΔE/2 = 0,5 эВ = 0,5·1,6·10–19Дж.Тогда вероятность при Т = 290 К будет11f (E , T ) = ΔE 2= 0,5⋅1,6⋅10−19≈ 2 ⋅ 10−9ekT+1e1,38⋅10− 25⋅290+1Энергии квантов действующего излучения:ε f = hν = hcλhc 6,62 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108ε1 = hν = = −6= 1,24 эВλ110 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19ε2 = hc = hc = ε1 = 0,62 эВλ 2 2λ1 2Так как ε1 > ΔE (ширины запрещенной зоны), то вероятностьзаполнения указанного уровня увеличивается и при Т = 0 °К и при Т =290 °К.
Так как ε2 < ΔE, то вероятность не изменится.Задача 4.8. Запрещенная зона в Ge равна приблизительноΔE= 0,75 эВ. При какой длине волны Ge начнет поглощатьэлектромагнитное излучение?Решение. Поглощение излучения определенной длины волны λозначает передачу энергии электронам валентной зоны для перехода ихв зону проводимостиhc= eΔϕ = ΔEλhc 6,62 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108= 1,655 ⋅ 10−6 мλ==−1−19ΔE 7,5 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10= 1,655 мкм = 16,55·10–7 м = 16550 Å Это – инфракрасное (ИК)излучение, длинноволновый край полосы поглощения чистогогермания.Задача 4.9. Чистый кристаллический германий содержит4,5·10 атомов/м3. При температуре 300 °К один атом из каждых 2⋅109атомов ионизован. Подвижности электронов и дырок при этойтемпературе соответственно равны μn = 0,4 м2/В⋅с и μp = 0,2 м2/В⋅с.Определить удельную проводимость чистого германия.Решение.
В соответствии с формулой (4.16)28106σ = σ n,р = nn,р⋅е(μn + μp)Концентрация электронов и дырок собственных носителей4,5 ⋅ 10 28nn , p == 2,25 ⋅ 1019 м −3 .92 ⋅ 10Тогда σ = 1,6⋅10-19 ⋅ 2,25⋅1019 (0,4+0,2) = 2,16 См/м = 2,16 Ом–1м–1.Задача 4.10. Характерная особенность полупроводников –наличие отрицательного температурного коэффициента сопротивленияα. Вычислить α для чистого германия при температуре Т = 300 °К.Ширина запрещенной зоны германия ΔE0= 0,75 эВ.Решение.
Удельное сопротивление Ge (4.19):ΔEΔE∂ρ⎛ ΔE ⎞2kT2= ρ0e kT ⎜ −ρ = ρ0eТогда.2⎟∂T⎝ 2kT ⎠Температурный коэффициент сопротивления1 ∂ρΔE.=−α=ρ ∂T2kT 27,5 ⋅ 10 −1 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19Тогда α = −= −0,048 K −1 .− 2342 ⋅ 1,38 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 10Задача 4.11. Некоторый образец германия n-типа имеетпостоянную Холла RХ = 6,3·10–3м3Кл–1 и удельное сопротивлениеρ = 1,7⋅10–2 Ом·м. Найти концентрацию и подвижность электроновпроводимости.Решение.
В соответствии с (4.25) постоянная Холла3π 1⋅ .RX =8 qnОтсюда концентрация3π3 ⋅ 3,14== 0,117 ⋅ 10 22 = 1,17 ⋅ 10 21 м −3n=−19−38qR X 8 ⋅ 1,6 ⋅ 10 ⋅ 6,3 ⋅ 10Проводимость σ =1/ρ = q·nn·μn.Подвижность электронов проводимостим211.μn === 0,31ρqnn 1,7 ⋅ 10 −2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1,17 ⋅ 10 21В⋅с107Задача 4.12. Можно ли считать температуры Т1= 20 К и Т2 = 30 Книзкими для железа, если известно, что теплоемкость при этихтемпературах равна соответственно СV1= 0,226 Дж·моль–1К–1 иСV2 = 0,76 Дж·моль–1К–1.Решение. Отношение теплоемкостей при этих температурахСV1/ СV2 = 3,36Отношение температурxCC⎛ T2 ⎞T⎜⎜ ⎟⎟ = V2 ; x lg 2 = lg V2CV1T1CV1⎝ T1 ⎠CVlg 2CV1 lg 3,36 0,526x===≈ 3.T2lg1,50,176lgT1Температуры можно считать низкими, т.к.
отношениетеплоемкостей соответствует закону Дебая (4.31).Задача 4.13. Скорость поперечных упругих волн в алюминииv⊥ = 3130 м/с, продольных v║ = 6400 м/с. Определить температуруДебая θ для алюминия.Решение. Температуру Дебая θ определим из (4.29)hωθ = maxkωmax – максимальная частота колебаний атомов в узлах решетки (4.37)ωmax18π 2 n18π 2 n= 3 −3=3v|| + 2v⊥−31 v||3 + 2 v⊥3Концентрация атомов Al в решеткекгρN Aкгn=; ρ Al = 2,7 ⋅ 103 3 ; M Al = 27 ⋅ 10 −3Mмольмh18π 2 n1,05 ⋅ 10 −3418 ⋅ 3,14 2 ⋅ 2,7 ⋅ 10 3 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23==θ= 3k M 1 v||3 + 2 v⊥3⎛⎞1,38 ⋅ 10 − 23 312⎟+2,7 ⋅ 10 −2 ⎜⎜ 6,4 ⋅ 10 3 3 3,13 ⋅ 10 3 3 ⎟⎝⎠= 408KЗадача 4.14. Кристаллический образец характеризуетсятемпературой Дебая θ = 300 К и скоростью звука v = 5,2 км/с.
Дляфонона с максимальной энергией, которая может возбуждаться в этомобразце, определить энергию, импульс и длину волны де-Бройля,сравнить ее с постоянной решетки а ≈ 0,3 нм.(108)() ()Решение. Энергия ε = ћωmax=kθ= 1,38·10–233·102 = 4,14·10–21 Дж == 4,14·10–21/1,6·10–19 =2, 58·10–2 эВ.hω4,14 ⋅ 10 −21− 24 кг ⋅ м=⋅0,810Импульс фонона p = max =.vс5,2 ⋅ 103Длина волны де-Бройляh 6,62 ⋅ 10 −34λф = == 0,8 ⋅ 10 −9 м = 0,8 нм− 25p8 ⋅ 10λ фонона с максимальной энергией совпадает по порядку величины смаксимальной длиной тепловой волны в кристалле:λmin ≈ 2a = 0,6 нм.4.3.Задачи для самостоятельного решения4.15. Сравнить длину волны де Бройля для электрона,движущегося со скоростьюv = 2⋅105 м/с с постояннойкристаллической решетки металла d = 5⋅10-10 м.
Нужно ли учитыватьдифракционные явления на узлах решетки.4.16. Пучок рентгеновских лучей с длиной волны λ падает наповерхность поворачивающегося монокристалла. Найти λ, еслиизвестно, что направления на максимумы 2-го и 3-го порядков отoсистемы плоскостей с межплоскостным расстоянием d = 2 ,8 Aобразуют между собой угол θ = 60°.4.17. Определить угол, под которым пучок рентгеновских лучей сoдлиной волны λ = 1,1 A отражался в максимальном порядке отсистемы кристаллических плоскостей, расстояние между которымиod = 2 ,5 A .4.18. Пользуясь формулой средней квадратической скоростиопределить среднюю тепловую скорость свободного электрона прикомнатной температуре Т = 300 К.4.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
