Практический курс физики. Основы квантовой физики (1013878), страница 13
Текст из файла (страница 13)
На дифракционную решетку нормально падает пучоксвета от газоразрядной трубки, наполненной атомарным водородом.Постоянная решетки d = 5мкм. Какому переходу электронасоответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этойрешетки в спектре пятого порядка под углом ϕ = 41°.Решение. Определим длину волны наблюдаемой линии. Изусловия максимума при дифракции на решетке следуетd sin ϕ = kλ, где k = 5; sin 41° = 0,6561, откуда λ = 6,5 ⋅ 10 −7 м .Полученная длина волны лежит в видимой области спектра,следовательно относится к серии Бальмера, которая излучается припереходах на уровень n = 2. Запишем формулу Бальмера-Ридберга дляэтой серии⎛1 1⎞1= Rλ ⎜ 2 − 2 ⎟ .⎜2 n ⎟λi ⎠⎝Откуда получим1 114λRλ= 3.n=−,=iλRλ − 4ni2 4 λRλНаблюдаемая линия излучается при переходе с уровня ni = 3 науровень n f = 2 .Задача 3.5. С какой минимальной кинетической энергией должендвигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении сдругим, покоящимся атомом водорода, один из них оказался способнымиспустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атоманаходились в основном состоянии.Решение.
Из закона сохранения энергии T0 = Т1 + Т2 + ЕB, где Т0 начальная кинетическая энергия движущегося атома; Т1 и Т2 кинетические энергии атомов после столкновения; ЕB - энергиявозбуждения одного из атомов.Поскольку в условии задачи речь идет о минимальном значенииТ0 , то ЕB также минимальна; т.е. переход происходит на уровень n = 2.Найдем, что ЕВ = Е2 - El = Rhc(l – 1/4) = Rhc⋅3/4; ЕВ= 10,2 эВ.
Изминимальности T0 следует также, что соударение абсолютнонеупругое, так как в этом случае наибольшая доля кинетическойэнергии переходит во внутреннюю энергию, а значит, скорости атомовпосле соударения равны и Т1 = Т2 = Т. Из закона сохранения импульсаrrrrrrр 0 = р1 + р 2 , где р 0 - начальный импульс движущегося атома, а р1 и р 2- импульсы атомов после соударения. Как следует из вышесказанного,BBB77⎧T0 = 2T + E Bp1 = p2 = p, так что ⎨, откуда, используя связь импульса и2p=p⎩ 0TT= 0кинетическойэнергииполучаемиp = 2mT ,43T0 = 2 E B = Rhc ; Т0 = 20,4 эВ.2Задача 3.6.
Проанализировать физический смысл решенияуравнения Шредингера для атома водорода в основном состоянии.Охарактеризовать картину распределения электронного облака в атомеводорода для основного состояния.Решение. Состояние электрона в атоме водорода с квантовымичислами n = 1, l = 0 и m = 0 называется основным состоянием исимволически обозначается как 1s–состояние. Уравнение Шредингерадля основного состояния водородоподобного атома имеет видd 2 ψ 2 dψ 2 m ⎛e2 ⎞⎜ E1 +⎟ψ = 0 .++dr 2 r dr h 2 ⎜⎝4πε 0 r ⎟⎠Решением этого уравнения в основном состоянии являетсяволновая функция электрона, которая зависит только от r−rr0ψ100 (r , θ, ϕ) = ψ(r ) = Ae .Это означает, что s–состояние электрона в атоме сферическисимметрично, угловая часть решения Y (θ, ϕ ) = 1 4π не зависит отуглов, следовательно, распределение электронного облака впространстве сферически симметрично.Найдем первую и вторую производные ψ -функции по rrr−1 − r0 d 2 ψ 1dψ= − Ae ,= 2 Ae r0 .2drr0drr0Подставив их в уравнение Шредингера, получимh2 ⎛ 12 ⎞e2⎜ − ⎟−−= E1 .2m ⎜⎝ r02 rr0 ⎟⎠ 4πε0 rЭто уравнение удовлетворяется для любых значений r привыполнении двух условий:h2h2 2e2E1 = −,=.2mr02 2mrr0 4πε0 r78h 2 4πε0Из второго условия следует r0 =, что совпадает сme2радиусом первой боровской орбиты для водорода.
Подставив его ввыражение для Е1, находимme4E1 = −.32π2h 2ε02Это выражение соответствует энергии для основного состоянияатома водорода в теории Бора.Задача 3.7. Определить кратность вырождения уровня атомаводорода с квантовым числом n, для которого энергия связи электронаравна 1,51 эВ.Решение. Определим главное квантовое число указанногоуровня.RhcRhcЭнергия связи уровня E = 2 (Дж ) или E = 2 (эВ). Отсюдаnne2n = 9, n = 3.
Уровню с данной энергией соответствует ряд различныхсостояний, отличающихся квантовыми числами l, m, ms. Число такихсостояний и есть кратность вырождения. При заданном n квантовоечисло l принимает n различных значений ((l = 0, 1, …, (n – 1)).Каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений числа m(m = 0,±1,±2,...,±l). Следовательно, разных наборов чисел l и m приданном n будетn −1∑ (2l + 1) = n 2 = 9.l =0Состояниям с заданными n, l, m соответствуют два разных11⎞⎛состояния,отличающиесячисламиms⎜ ms = , ms = − ⎟.22⎠⎝2Следовательно искомая кратность вырождения N = 2n ; N = 18.Задача 3.8.
Определить энергию электрона атома водорода всостоянии, для которого волновая функция имеет вид ψ(r) = A (1 + ar)eαr, где А, а и α – некоторые постоянные.Решение. Волновая функция, представляющая состояние с некоторой энергией, является решением уравнения Шредингера. Подставимволновую функцию в уравнение Шредингера. Поскольку заданнаяволновая функция не зависит от углов, в уравнении останутся толькопроизводные по r. Получим уравнение:h 2 d ⎛ 2 dψ ⎞e2r−−ψ = Eψ.⎜⎟2mr 2 dr ⎝ dr ⎠ 4πε0 r79Подставив сюда заданную волновую функцию и произведядифференцирование, придем к уравнениюh2 ⎛e2e2a2a 2α ⎞22−−= E(1 + ar ), или,⎜ − 4aα + α + arα + − ⎟ −rr ⎠ 4πε0r 4πε02mr2 ⎝сгруппировав члены по степеням r, получим⎡ h 2 (α 2 − 4aα) e 2 a⎤ ⎛h 2 aα 2 ⎞ 1 ⎡ e 2h 2 (a − α )⎤⎜⎟++ErEa++++⎢⎥ ⎜⎥ = 0.⎟ r ⎢ 4πεmπεmm242⎠⎣⎦ ⎝⎣⎦00Поскольку при подстановке решения в уравнение должнополучаться тождество, соотношение должно обращаться в нуль прилюбом r.
Это возможно, только если коэффициенты при всех степеняхr равны нулю:⎧ h2e2a2⎪ 2m (− 4aα + α ) + 4πε + E = 0,0⎪22⎪⎪h aα= 0,⎨ Ea +2m⎪⎪ e2h2+ (a − α ) = 0.⎪4πεm⎪⎩0h 2α 2; подставив это выражение в2mme 2первое уравнение, получим α =.8πε0 h 2Окончательно для энергии, получимme 4me 4me 4 1E=−=−=− 2 2⋅ .128 π 2 ε 02 h 232 h 2 ε 028h ε 0 4Сравнивая полученное соотношение с выражением для энергииЕn, заметим, что найденное значение энергии соответствует уровнюn = 2.Из второго уравнения E = −Задача 3.9. Показать, что наиболее вероятное расстояниеэлектрона от ядра в основном состоянии атома водорода равно радиусупервой боровской орбиты, если известно, что собственная функция80имеет вид ψ100 (r , θ, ϕ) = ψ(r ) = Ae−rr0.
Радиус первой боровской орбитыh 4πε0.me2Решение. Вероятность того, что электрон в основном состоянииатома водорода находится от ядра в интервале расстояний от r до r+drопределяется выражением2dW = ψ dV = A2e −2 r r0 ⋅ 4πr 2 dr .Чтобы определить наиболее вероятное расстояние rmax электронаотядра,исследуемфункциюплотностивероятностиdW= A2e −2 r r0 ⋅ 4πr 2на экстремум. Необходимое условиеw=drdwэкстремума= 0.drr0 =22dw= − A2e −2 r r0 ⋅ 4πr 2 + A2e −2 r r0 ⋅ 8πr = 0 .drr0Откуда плотность вероятностиh 2 4πε0rmax = r0 =.me2Задача 3.10. Известно, что собственная функция, описывающая−rr0состояние электрона в атоме, имеет вид ψ100 (r , θ, ϕ) = ψ(r ) = Ae , где А– некоторая постоянная, r0 - радиус первой боровской орбиты. Найти:1) постоянную А, 2) среднее значение радиуса атома в основномсостоянии.Решение.
Для нахождения постоянной А запишем условиянормировки указанной ψ -функции+∞∫ψ2dV = 1 .0Элемент объема шарового слоя dV = 4πr 2 dr и выражениеволновой функции из условий задачи подставим в условие нормировки+∞2 − 2 r r0∫A e4πr 2 dr = 1 .0Перепишем это выражение в виде81+∞r 2 drr 4πA ∫ e= 1.r02 r00Проведя замену переменной x = r r0 , возьмем интеграл+∞1 +∞ −2 x1 +∞ 2 −2 x1−2 x 2∫ e x dx = 2 ∫ x de = − 2 ⋅ 0 + 2 ∫ e 2 xdx =000302− 2 r r0∞11 +∞ −2 x1 −2 x ∞ 1−2 x= − x⋅e+ ∫ e dx = − e= .22 04400Подставив полученное значение интеграла в условиянормировки, найдем постоянную A = 1 πr03 , следовательно, волновая1функция имеет вид ψ1 (r ) =−rr0e .πr03Среднее значение радиуса атома+∞r =∫r ψ0+∞∫ψ224πr 2 dr4πr 2 dr+∞4 +∞ 3 −2r r0= ∫ ψ 4πr dr = 3 ∫ r edr .r0 00230Введем переменную y = 2 r r0 , возьмем интеграл и получимсреднее значение радиуса атомаr +∞4 +∞ y 3e − y dy r0 +∞ 3 − y= ∫ y e dy = − 0 ∫ y 3 de − y =r = 3 ∫r0 0 164 04 0r0 +∞ − y 23r= ∫ e 3 y dy = − 044 0+∞∫y02de−y6r= 04+∞3r0∫ e ydy = 20−y+∞∫e0−ydy =3r0.2Задача 3.11.
Доказать, что каждый энергетический уровень nlатома водорода вырожден. Найти кратность вырождения для n = 1, 2, 3.Решение. Состояние электрона в атоме полностью определяетсянабором четырех квантовых чисел: n - главное, l - орбитальное, m магнитное, ms - спиновое. Полная энергия в атоме водорода113,6me 4⋅ 2 = − 2 эВ.En = −2 2 232π h ε 0 nnПоскольку собственные значения энергии электрона зависяттолько от главного квантового числа n, то состояния электронавырожденны. Кратность вырождения, то есть количество возможныхсостояний с заданной полной энергией Е равна 2n 2 . Найдем82количество возможных состояний для различных значений главногоквантового числа.n = 1, основное состояние, E1 = −13,6 эВ.
Соответствующиеэтому состоянию квантовые числа: n = 1, l = 0, m = 0, ms = ±1 2 .Возможно всего два состояния 2n 2 = 2 . В условных обозначенияхосновное состояние записывается 1s. Первый энергетический уровеньсостоит из одного подуровня.n = 2, первое возбужденное состояние, E 2 = −13,6 4 эВ. В этомсостоянии квантовые числа: n = 2, l = 0, 1, m = 0, ± 1 , ms = ±1 2 .n=2n=2n=2n=2llll=0=1=1=1m=0m=0m = +1m = –1msmsmsms= ±1= ±1= ±1= ±12 состояния 2s2222⎫⎪⎬ 6 состояний 2p⎪⎭Всего для n = 2 возможно 8 состояний электронов. Второйэнергетический уровень в атоме водорода состоит из двух подуровней2s и 2p.n=3,возбужденноесостояние,E3 = −13,6 9 эВ.Соответствующие квантовые числа и возможные состояния:n=3n=3n=3n=3llll=0=1=1=1m=0m=0m = +1m = –1msmsmsms= ±1= ±1= ±1= ±12222n=3Dn = 3n=3n=3n=3lllll=2=2=2=2=2m=0m = –1m = –2m = +1m = +2msmsmsmsms= ±1= ±1= ±1= ±1= ±122222}2 состояния 3s⎫⎪⎬ 6 состояний 3p⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬ 10 состояний 3d⎪⎪⎪⎭Всего для n = 3 возможно 18 состояний электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
