Практический курс физики. Основы квантовой физики (1013878), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В узлах находятся положительныеионы без внешних (валентных) электронов, образующих электронныйгаз.О микроструктуре кристаллов можно судить по материаламрентгенографического анализа. Длина рентгеновских волн имежатомные расстояния в пространственных решетках кристаллов93имеют совпадающий порядок (10-10м). По отношению к рентгеновскимлучам кристалл представляет собой трехмерную дифракционнуюрешетку (плоский срез, последовательные атомные плоскости – рис.4.1), где θ - угол скольжения, d - расстояние между атомнымиплоскостями.Условие максимума в отраженных рентгеновских лучах2d sin θ = kλ, k = 1,2,3....(4.2)Это условие Вульфа-Брегга (Бреггов).На примере «металлического» кристалла скорость валентныхэлектронов электронного газа v ~ 105 м/с .Время пребывания электрона вблизи узла решеткиθθdθθатомные плоскостиРис. 4.1.d 10 −10τ~ ~= 10 −15 c5v10Воспользуемся соотношением неопределенностейΔE τ ~ h(4.3)h 10 −34= −15 = 10 −19 Дж ~ 0,7 эВτ 10Эта неопределенность энергии - ширина энергетической зоны.Число дискретных уровней зоны`(4.4)Z = kNгде N - число ионов (атомов) в кристалле, k - кратность вырождениясоответствующего энергетического уровня (максимальное числоэлектронов, находящихся на нем с соблюдением принципа Паули).ΔE ~94Элементы квантовой статистикиК свободным электронам в кристаллах (металлах) применяетсястатистический метод исследования как к большому числу частиц,подчиняющихся законам квантовой механики.
Квантовая статистикастроится на принципе неразличимости тождественных частиц(например, электронов в металлах).Концентрация электронов, энергия которых заключена винтервале значений от E до E + dЕ(4.5)dn(E) = g(E)⋅f(E,T)dE.Полное число электронов в единице объема в интервале энергийот 0 до Е равноE(4.6)n = ∫ g ( E ) ⋅ f ( E , T ) dE ,0g(Е) - плотность электронных состояний в единице объема, определяетчисло квантовых состояний в единичном интервале энергий3/ 2(4.7)1 ⎛ 2m ⎞g (E) = 2 ⎜ 2 ⎟E,2π ⎝ h ⎠m и E – масса и энергия свободных электронов.Электроны относятся к фермионам (частицам с полуцелымспином) и подчиняются принципу Паули.
Системы электроновописываются квантовой статистикой Ферми-Дирака:(4.8)1,f ( E,T ) = E −EFe+1f(E,T) - функция распределения Ферми-Дирака, определяющаявероятность заполнения электронами состояния с энергией Е,k – постоянная Больцмана, ЕF – энергия Ферми.Энергия Ферми в металле при T = 0(4.9)2/3h2EF (0) =3π2 n ,2mn - концентрация свободных электронов. Для некоторых металловЕF(0)Ag= 5,5 эв, ЕF(0)Li= 4,7 эв.Если T = 0 и E > EF, то f(E,T) = 0, уровни энергии, лежащие вышеEF, свободны; если E < EF, то f(E,T) = 1 (уровни энергии, лежащие нижеуровня Ферми, полностью заняты электронами).При Т > 0 уровни энергии, лежащие выше ЕF, заполняютсяэлектронами, а уровни, лежащие ниже ЕF, обедняются. (Рис.4.2)Это происходит в области энергий ±kT вблизи уровня Ферми (k –константа Больцмана, k = 1,38⋅10-23 Дж/K).kT()95Электронный газ, подчиняющийся квантовой статистике ФермиДирака, является вырожденным, энергия электронов не зависит оттемпературы.
Температура вырождения электронного газаTF = EF /k,где k – постоянная Больцмана.T=0f(E,T)1,0T = 300KT = 1000K0,5EEF –kTEFEF +kTРис.4.2Если энергия электронов значительно превышает энергиюФерми Е - ЕF >> kT, то распределение Ферми-Дирака переходит вклассическое распределение Максвелла-Больцмана−EkT .f ( E , T ) = const ⋅ e(4.10)Такой электронный газ невырожден.Средняя энергия электронов в зоне при любой температуре T∞(4.11)⋅()(,)⋅EgEfETdE∫E =0nПри Т = 0 и E < EFf(Е,Т) = 1 формула (4.11) упрощается:EFE(0) =∫ E ⋅ g (E)dE0(4.12)EF∫ g (E)dE0При Т = 0 и E > EF f(Е,Т) = 0 ;Средние значения скорости электронов при любой температуре Tрассчитываются по формуле∞∞00v = ∫ v ⋅ g (v) f ( E,T ) ⋅ dv∫ g (v) f (E,T ) ⋅ dv,(4.13)где g(v) - плотность электронных состояний в единичном интервалескоростей, g (v)dv = m3v2 π2h3 dv .(96)Среднее значение скорости при Т = 0vmaxvmax00v(0) = ∫ v ⋅ g (v)dv∫ g(v)dv,где vmax - определяется энергией Ферми2mvmax= E F (0).2Удельнаяполупроводников(4.14)(4.15)Электрические свойства твердых телпроводимость (электропроводность) собственных(4.16)σn,p = e⋅nn,p(μn + μp),где e – заряд электрона, nn,p - концентрация носителей зарядов(электронов и дырок), μn, μp - подвижности электронов и дырок.Подвижность – это отношение скорости дрейфа к напряженности поля:μ = v E , σ = 1 ρ , ρ - удельное сопротивление, σ - удельнаяпроводимость.С ростом температуры удельное сопротивление ρ для металловрастет по линейному закону(4.17)ρ = ρ0αT ,где ρ0 - удельное сопротивление при T = 300 K, α - температурныйкоэффициент сопротивления(4.18)1 ∂ρ.α=ρ ∂TДля полупроводников и диэлектриков с увеличениемтемпературы удельное сопротивление ρ уменьшается, а удельнаяпроводимость σ растетΔE З(4.19)ρ = ρ0e 2 kT ,ΔE З(4.20)−σ = σ0 e 2 kT ,где ΔEЗ – ширина запрещенной зоны.Зависимости концентрации электронов в зоне проводимости идырок в валентной зоне от температуры для полупроводников идиэлектриков3/ 2ΔEЗ−1 ⎛ 2mk ⎞3/ 2(4.21)n(T ) = ⎜ 2 ⎟ T e 2 kT ,4 ⎝ πh ⎠где m – масса носителей заряда.97Концентрация носителей заряда в зависимости от температурыполупроводникаΔE З(4.22)−nnp = n0 e 2 kT ,где n0 - концентрация электронов в валентной зоне.В эффекте Холла n0 - концентрация электронов в валентнойзоне, разность потенциалов UX(4.23)U Х = RХ ⋅ j ⋅ B ⋅ d ,где RХ - постоянная Холла, j – плотность тока, B – индукциямагнитного поля, d – высота образца.Постоянная Холла для металлического проводника(4.24)1RХ =.e⋅nПостоянная Холла для полупроводникового образца с зарядамиодного знака q:(4.25)3π 1RХ =.8 q⋅nТепловые свойства твердых тел.
ФононыКоличество теплоты, необходимое для нагревания тела оттемпературы T1 до температуры T2T2Q = ∫ mc(T )dT ,T1(4.26)где m – масса тела, c(T) – удельная теплоемкость, которая связана сC (T )молярной теплоемкостью Cm(T) соотношением c(T ) = m,Mздесь M – молярная масса.Молярная теплоемкость твердого тела(4.27)dU mCm =,dTгде Um – внутренняя энергия моля твердого тела. Согласноклассической теории Um = 3RT (R = 8,31 Дж/моль⋅K).Закон Дюлонга и Пти: в случае высоких температур все твердыетела имеют одинаковую молярную теплоемкостьСm = 3R(4.28)При низких температурах теплоемкость зависит от температуры.Температура, при которой спектр колебаний атомов становитсяпрактически непрерывным, то есть становится существеннымквантование энергии колебаний, называется характеристическойтемпературой Дебая θ.
Она определяется из условия98hωmax(4.29)kгде ωmax – максимальная частота колебаний атомов в узлахкристаллической решетки.Некоторые значения температуры Дебая.θ=Таблица 4.1Вещество θ К ВеществоСвинец88 МедьНатрий150 НикельЗолото170 АлюминийСеребро215 ЖелезоВольфрам 310 БериллийθК3153703904201160С учетом реального спектра колебаний атомов решетки молярнаятеплоемкость кристалла по Дебаю⎡ ⎛ T ⎞3 θ / T x3dx 3(θ / T ) ⎤− θ / T ⎥.Cm = 3R ⎢12⎜ ⎟ ⋅ ∫ x(4.30)θ1−ee − 1⎦⎥⎝⎠0⎣⎢Здесь x =hω.kTВ области низких температур (T << θ) эта формула принимаетвид312π4 ⎛ T ⎞(4.31)Cm =R⎜ ⎟ .5⎝θ⎠R – универсальная газовая постоянная.
Это соотношение называетсязаконом Дебая. Теплоемкость вещества пропорциональна кубутемпературы. Закон Дебая для диэлектриков и полупроводниковвыполняется вплоть до абсолютного нуля температур.Электронная теплоемкость одновалентных металлов вблизиабсолютного нуля линейно зависит от Т:π2 RkT.Cme =(4.32)2 EFk – постоянная Больцмана. Молярная теплоемкость электронного газадля металлов с валентностью Z находится по формулеπ2 RZ kT.CmeZ =(4.33)2 EF99Теплопроводность твердых тел. Фононы.Энергия тепловых волн в твердом теле квантована. Кванттепловой энергии называется фононом. Фонон может существоватьтолько в кристалле и поэтому он является квазичастицей.Энергия фононаE = hν = hω.
;(4.34)импульс фононаhp = 2π .(4.35)λФононы относятся к бозонам (спин s = 0 ). Их распределение поэнергиям описывается функцией Бозе - Эйнштейна1f (E, T ) =eE − EFkT,−1Длина волны фонона λ = vT, где v – скорость тепловой волны,совпадающая со скоростью звука vЗВ; T - период. Скорость фононаявляется групповой скоростью звуковых волн в кристалле.Звуковые волны распространяются в кристалле в видепродольных v|| и поперечных v⊥ волн, скорости которых определяютсяпо формуламEGv|| =; v⊥ =,(4.36)ρρгде E и G – модули продольной и поперечной упругости (модуль Юнгаи модуль сдвига), ρ - плотность материала твердого тела.Максимальная частота колебаний атомов может быть выраженачерез продольную и поперечную скоростьωmax18π2 n,= 3 −3v|| + 2v⊥−3(4.37)где n – число атомов в единице объема.Если v|| = v⊥, то ω max = v3 6π 2 n .Для оценки минимальной длины волны в кристалле используетсявыражение2πv2π2λ min ==≈3 .ωmax 3 6π2 nnТак как величина 1 / 3 n соответствует минимальному расстояниюмежду атомами в узлах кристаллической решетки d, то(4.38)λmin = 2d.1004.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
