Практический курс физики. Основы квантовой физики (1013878), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3.1).0-0,38-0,54-0,85-1,51-3,4En/Z2 (эВ)n= ∞n=6n=5n=4ПашенаБальмераn=3n=2серия Лаймана-13,6n=1Рис. 3.1.Энергия ионизации – это та энергия, которую необходимосообщить электрону, находящемуся в основном состоянии (всостоянии с наименьшей энергией), чтобы он перешел на бесконечно64удаленный уровень, т.е. атом превратился в ион.
Для атома водородаэнергия ионизации равна Eион = E∞ − E1 = 0 − ( −13,6) = 13,6 эВ .Атом водорода и водородоподобные ионы в сферическихкоординатах. Квантовые числаВдекартовыхzкоординатахнеудобноописыватьдвижениеeэлектроновватомеводородаиводородоподобных ионовrrLi++).Его(He+,потенциальнаяэнергияx02ZeEn = −зависит только4πε0 ryот расстояния электрона доРис.3.2.ядра.Полеявляетсяцентрально-симметричным.Поэтому для описания движенияэлектрона можно выбратьсферическую систему координат с центром, расположенным в ядре(рис.3.2).Здесьx = r sin θ sin ϕ; y = r sin θ cos ϕ(3.9)z = r cos θ; Ψ ( x, y, z ) = Ψ (r , θ, ϕ) .Уравнение Шредингера для стационарных состояний всферических координатах∂Ψ ⎞1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ 1 ⎡ 1 ∂ ⎛1 ∂ 2Ψ ⎤+⎜r⎟+⎜ sin ϑ⎟+r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ⎢⎣ sin θ ∂ϑ ⎝∂ϑ ⎠ sin 2 θ ∂ϑ2 ⎥⎦(3.10)2m(E − U )Ψ = 0 ,+hгде Ψ = Ψ (r , θ, ϕ) - волновая функция, E - полная энергия частицы, U потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат).Символическая запись Ψ -функции, описывающей состояниеэлектрона и атома водородаΨn ,l ,m (r , θ, ϕ )(3.11)где n, l , m – квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное.65Будем искать волновую функцию Ψ = Ψ (r ) в виде произведенияфункций R (r ) только от радиуса и F (θ, ϕ) только от угловыхкоординат θ, ϕ .Ψ (r ) = R (r )F (θ, ϕ)(3.12)Подставляем это произведение в (3.10) и умножая все члены на2r RF .Можем переписать уравнение в виде1 d ⎛ 2 dR ⎞ 8π2 m ⎛Ze 2 ⎞ 2⎜⎟r =++rE⎟⎜4πε0 r ⎟⎠R dr ⎝ dr ⎠h 2 ⎜⎝(3.13)11∂2F∂ ⎛∂F ⎞= λ,=−⎟−⎜ sin θ∂θ ⎠ F sin 2 θ ∂ϕ2F sin θ ∂θ ⎝Первая часть есть функция только от r , а вторая – только отθ, ϕ , поэтому равенство их при всех значениях r , θ, ϕ , и возможнолишь в том случае, если каждая из частей равенства есть постояннаявеличина, обозначенная здесьλ .
таким образом, уравнениеШредингера распалось на 2 уравнения, которые можно записать в видеZe 2 ⎞ λ ⎫1 d ⎛ 2 dR ⎞ ⎧ 8π2 m ⎛⎜⎟ − ⎬R = 0r+E+(3.14)⎜⎟ ⎨r2 dr ⎝ dr ⎠ ⎩ h 2 ⎜⎝4πε0 r ⎟⎠ r 2 ⎭1 ∂2F1 ∂ ⎛∂F ⎞+ λF = 0 .(3.15)⎜ sin θ⎟+sin θ ∂θ ⎝∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ2Так как решение трехмерного уравнения Шредингера зависит оттрех чисел n, l , m , то волновая функция Ψ = Ψ (r , θ, ϕ) может бытьпредставлена в виде произведения 3-х функций от каждой изсферических координатΨn ,l ,m (r , θ, ϕ ) = Rn ,l (r )Θ l ,m (θ )Φ m (ϕ )(3.16)Здесь Θl ,m (θ)Φ m (ϕ) = F (θ, ϕ) .Подставляя в 3.15 функцию F (θ, ϕ) в виде произведенияΘl,m (θ)Φ m (ϕ) и умножая все члены наsin 2 θ, можно переписать этоΘΦуравнение в видеsin θ d ⎛dΘ ⎞1 d 2Φ2= m2.(3.17)⎟ + λ sin θ = −⎜ sin θ2dθ ⎠Φ dϕΘ dθ ⎝Здесь опять левая часть равенства есть функция только от θ , аправая – лишь от ϕ , следовательно, они могут быть равны друг другупри всех значениях θ и ϕ , если каждая из них есть постоянная,обозначенная здесь как m2 .Уравнение 3.17 переходит поэтому в 2уравнения66dΘ ⎞ ⎛m2 ⎞1 d ⎛⎟Θ = 0⎜ sin θ⎟ + ⎜λ −dθ ⎠ ⎜⎝sin θ dθ ⎝sin 2 θ ⎟⎠(3.18)d 2Φ= − m 2 Φ.(3.19)2dϕРешение последнего из уравнений(3.20)Φ (ϕ ) = e imϕ .Функция Φ (ϕ ) для ее однозначности должна бытьпериодической с периодом 2π , так как физически ϕ есть один и тот жеугол, что и ϕ + 2π .
Такая периодичность будет иметь место, еслипараметр m равен любому целому числу, положительному илиотрицательному, включая нуль:m = 0, ± 1, ± 2...(3.21)Решение уравнения (3.16) можно получить в видеimϕFl ,m (θ, ϕ ) = Pl m (θ )e .(3.22)Pl m (θ) представляют из себя шаровые функции. Некоторые (дляl ≤ 2 ) показаны в таблицеFl ,m (θ, ϕ )lm00constc cos θ1011csin θ e ± iϕ20c (3 cos 2 θ − 1)21c sin θ cos θ e ± iϕ22c sin 2 ϕ e ±2iϕПерейдем к решению уравнения (3.14) для радиальной частиволновой функции Ψ = Ψ (r ) , обозначенной R (r ) . Постояннаяразделения λ в этом уравнении равна l (l + 1) .
ПоэтомуZe 2 ⎞ l (l + 1)⎫1 d ⎛ 2 dR ⎞ ⎧ 8π2 m ⎛⎜E +⎟−(3.23)⎜r⎟+⎨⎬R = 0r2 dr ⎝ dr ⎠ ⎩ h 2 ⎜⎝r2 ⎭4πε0 r ⎟⎠Выполнив дифференцирование в первом члене и вводяобозначенияπmZe 28π 2 mE = A,= B,(3.24)h2ε0h2можем переписатьd 2 R 2 dR ⎡2 B l (l + 1)⎤++ ⎢A +−R = 0,(3.25)2drr dr ⎣rr 2 ⎥⎦67Рассмотрим случай электрона, связанного с ядром, когда полнаяэнергия отрицательна, т.е. E < 0 , при этом A < 0 .Подставляя сюда значения А и В убедимся, что это требованиеравносильно следующему2π 2 mZ 2e 4 12π 2 mZ 2e 4 1,E =−=−(3.26)h2n2h2(l + 1)2В последнем выражении n обозначает целое число, равное l + 1,при этом n ≥ 1, n - главное квантовое число.Таким образом, в области E < 0 спектр собственных значенийэнергии дискретный, и эти дискретные собственные значения энергииEn совпадают с дискретными значениями энергии по Бору.Этимсобственнымзначениямэнергиисоответствуютсобственные значения Ψ –функции, определенные целочисленнымипараметрами n, l , m−rr0Ψn ,l ,m (r , θ, ϕ ) = Rn ,l (r )Θ l ,m (θ )Φ m (ϕ ) = Ae e imϕ ⋅l +i(3.27)l− m⎛ 2r ⎞mi⋅ ∑ ai ⎜⎜ ⎟⎟ sin θ ∑ bi cos θi =0i =0⎝ r0 ⎠Целочисленные параметры n, l , m характеризуют состояниеэлектрона в атоме и являются квантовыми числами.Радиальная часть решенияn −l −1rr0l +i⎛ 2r ⎞(3.28)Rn ,l (r ) = Ae ⋅ ∑ ai ⎜⎜ ⎟⎟ri =0⎝ 0⎠характеризует распределение плотности вероятности электронногооблака по радиусу, т.е.
распределение плотности вероятностинахождения электрона. Квантовое число n определяет энергиюэлектрона в атоме и может принимать значения 1, 2, 3…, ∞ . Переходэлектрона в состояние с n = ∞ соответствует ионизации атома,электрон в этом случае становится свободным, энергия электрона вэтом случае положительна и может принимать любые значения.Момент импульса электрона, находящегося в состоянии,определяемом квантовыми числами n, l(3.29)L = h l (l + 1) ,где l - орбитальное квантовое число, которое может приниматьзначения 0, 1, 2 … n − 1 (всего n значений).Проекция вектора L на направление магнитного поляLlz = mh ,(3.30)−68n −l −1где m - магнитное квантовое число.
Число m может приниматьзначения 0, ±1, ±2 …± l (всего 2l + 1 значений). Соотношение (3.30)отражает принцип пространственного квантования.Состояние электрона в атоме определяется введеннымиквантовыми числами n, l , m . Если n = 1 , то орбитальное квантовоечисло l = 0 , а магнитное квантовое число m = 0 . Если n = 2 , тоорбитальное квантовое число может иметь 2 значения l = 0, l = 1 . Приэтом магнитное квантовое число m может принимать такие значения:если l = 0 , то m = 0 , а если l = 1 , то m может принимать 3 значения m = 0, ± 1 .Таким образом, каждому значению энергии En (кроме E1 )соответствует несколько волновых функций Ψn ,l ,m , отличающихсязначениями квантовых чисел n, l , m .
Например E2 , соответствуетчетыре волновые функции Ψ2, 0 , 0 , Ψ2 ,1, 0 , Ψ2 ,1, −1 , Ψ2 ,1,1 . Это означает, чтоэлектрон в атоме водорода может иметь одно и то же значениеэнергии, находясь в различных состояниях.Состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, ачисло различных состояний с одинаковым значением энергииназывается кратностью вырождения.
Каждому уровню с главнымквантовым числом n соответствует n состояний, отличающихсяквантовыми числами l = 0, 1, 2 ...n − 1 . Такое вырождение имеетсятолько в кулоновском поле ϕ = k e r . В свою очередь, каждоесостояние с определенным l вырождено 2l + 1 раз по значению m ,поэтому общая кратность вырождения стационарного состояния(стационарного уровня) с квантовым числом n будетn −1∑ (2l + 1) = n 2 .l =1Так, состояние, относящиеся к различным значениямl = 0, 1, 2 ... принято обозначать соответственно буквами s, p, d , f ...латинского алфавита. Например, состояние с нулевым орбитальныммоментом ( l = 0 ) называют s –состоянием, состояние с l = 1 p –состоянием, и т.д..
При n = 1 имеется одно состояние 1s ( l = 0, m = 0 ),при n = 2 l принимает 2 значения, ( l = 0, l = 1 ) поэтому имеется 2состояния 2 s и 2 p и т.д.Рассмотрим спектр функций распределения электрона вводородоподобных атомных системах для различных значенийорбитального квантового числа l и для значений главного квантовогочислаВ s –состоянии ( l = 0, m = 0 ) волновая функция сферическисимметрична, не зависит от углов θ, ϕ .
При l > 0 , т.е. для p –69состояний, d –состояний и т.д. электронное облако уже не будетсферически симметрично, т.к. Ψ (r ) будет зависеть от угла θ .Вероятность того, что электрон находится в области объемом dVв окрестности точки с координатами r , θ, ϕdW = Ψn ,l ,m (r , θ, ϕ ) dV ,2(3.31)где(3.32)dV = r 2 sin θdθdϕdr .Нормированные собственные функции Ψ (r ) , отвечающие 1 s –состоянию и 2 s –состояниюrr−11r ⎞ −2a⎛ae , Ψ2, 0, 0 (r ) =Ψ1, 0, 0 (r ) =(3.33)⎜ 2 − ⎟e ,a⎠4 2πa 3 ⎝πa 3где в качестве единицы длины принят боровский радиус4πε ha = 2 0 = 52,9 пм . Илиemρ−1 −ρ1(2 − ρ )e 2 ,Ψ1, 0, 0 (ρ ) =e , Ψ2, 0, 0 (r ) =(3.34)π4 2πгде ρ = r a - безразмерная единица длины.Вероятность dW найти электрон в атоме водорода находящимсяв s –состоянии в интервале (r , r + dr ) одинаков по всем направлениямми определяется формулойdW = Ψ n , 0 , 0 (r ) 4π r 2 drОрбитальный магнитный момент электронаμ l = μ B l (l + 1 ), где l = 0, 1, 2 … (n - 1 ),eh= 0 ,927 ⋅ 10 − 23 Дж/Тл - магнетон Бора.а μB =2m2(3.35)(3.36)Многоэлектронные атомы.
Спин электрона.Принцип ПаулиРелятивистская квантовая теория постулирует, что кромемомента импульса, связанного с движением электрона вокруг ядра,электрон имеет собственный момент импульса, называемый спином.Спин и спиновый магнитный момент электронаLs = h s (s + 1), μ s = 2μ B s (s + 1),где s - спиновое квантовое число. Для электрона, протона и нейтронаs = 1/2, μ B - магнетон Бора.70Квантовое число ms определяет проекцию спина на направлениемагнитного поля (ось Z)(3.37)Ls Z = hms ,где ms = ±s = ±1/2.Таким образом, состояние любого электрона в атомеопределяется набором 4-х квантовых чисел: n; l; m; ms..В невозбужденном атоме электроны занимают состояния свозможно низкими значениями энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
