Термодинамика Бурдаков В.П., Дзюбенко Б.В., Меснянкин С.Ю., Михайлова Т.В. (1013734), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подставляя полученные значения в (9.15), имеем йЬ=ойр=— др Р (9.17) Следовательно, в несжимаемом потоке изменить температуру можно только за счет теплообмена, а уравнение энергии имеет вид — -1- й( — ) — О. (9.18) 9.2.3. Уравнение неразрывности. Уравнение неразрывности основывается на законе сохранения массы. Если течение газа установившееся, то через любое произвольное поперечное сечение канала протекает в единицу вре- мени одна и та же масса газа т, получившая название секундного расхода: т = Мар = — . ш( (9.
19) т = сопев. (9.20) Выражение (9.20) называемся уравнением неразрывности или сплоивности потока. Выражение (9.19) получило название формулы расхода, оно учитывает связь между площадью проходного сечения канала и скоростью потока. Исходя из закона сохранения массы, можно утверждать, что Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа Обычно уравнения (9.20) и (9.19) рассматриваются одновременно и используются для определения проходных сечений каналов. Для несжимаемого потока р = сопв$ и из уравнения (9.19) следует, что игГ = сопв1, т.
е. с увеличением поперечного сечения канала скорость потока убывает, и наоборот. Значительно сложнее для рассмотрения течение сжимаемого газа. В этом случае профиль канала при заданном секундном расходе газа т = сопв1 будет зависеть не только от характера изменения скорости иг, но н от плотности р (или удельного объема), которые изменяются по закону для адиабатного процесса. 9.3. Закономерности течения Рассмотрим уравнения Бернулли (9. 10), (9.
13) и уравнение первого закона термодинамики (9.11) для 1 кг рабочего тела в объединенной записи: — бр=а( — )+б(аг,„к)+3(„„+31,„. (9.2Ц Полученное соотношение позволяет проанализировать способы воздействия на поток рабочего тела. Предварительно рассмотрим уравнение состояния в виде функциональной зависимости р = р(р, в), дифференцирование которой приводит к выражению (9.22) Поскольку рассматриваются три параметра состояния — р, р, в, по аналогии с уравнением (б.бб) можно записать дифференциальное уравнение в виде (9.23) или (9.24) 232 9.9. Закономерности течения В последнем равенстве Поэтому (9.26) Сопоставляя (9.26) с (9.22), замечаем, что производная ( — ) г3р~ ор дважды входит в эти уравнения.
Она иллюстрирует связь изменения давления и плотности е адиабатных условиях при малых значениях этих изменений по сравнению со значениями этих величин. Слабые возмущения в сплошной среде могут возникнуть, например, при перемещении в ней твердого тела. При этом перед телом создается небольшое избыточное давление, распространяющееся в среде в виде звуковой волны.
Скоростью звука называется скорость распространения малых возмущений в среде. Малыми называются такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т. е. амплитуды давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением. Выясним, как связана величина скорости звука в данной среде с термодинамическими параметрами этой среды.
Рассмотрим процесс распространения слабого возмущения в сжимаемой среде. Пусть в трубу, в которой находится неподвижная сжимаемая среда, вводится поршень, движущийся со скоростью Йш (рис. 9.3). Поскольку рассматриваемый гаэ сжимаем, то он не будет сразу же перемещаться по трубе со скоростью поршня, как это было бы, если бы поршень проталкивал стержень. Газ, непосредственно прилегающий к поршню, сжимается первым, потом второй его слой и так далее. В газе распространяется слабая волна А, сжатия, которую можно представить себе в виде перемещающегося вдоль газа сечения АА, впереди которого находится невозмущенная область с параметрами р и р, а за ним возмущенная— с параметрами р + с1р и р + Йр.
Рис. 9.3 233 Глава Э. Термодинамика потоков жидкости и газа Скорость перемещения этого сечения (возмущения) обозначим через а. За время т сечение АА переместится на расстояние ат. Масса невозмущенного газа т„, которая будет захвачена этим сечением за время с, будет найдена как произведение объема на плотность. Объем, в свою очередь, находится как произведение пути (ат) на площадь |, т. е.
(9.27) т„= раас. Масса возмущенного потока т, находится аналогично, но с учетом видоизмененной плотности (р + Йр) и скорости (а — Йсо) т, = (р + йр)~(а — Йср)т. (9.28) В последнем выражении учтено, что фронт возмущения перемещается в среде со скоростью а. Но скорость перемещения фронта возмущения относительно поршня, который движется со скоростью Йср, будет определяться разностью скоростей (а — Йсо).
Вследствие уравнения неразрывности (9.20) полученные выражения для т„и т, равны, т. е. (9.29) раас = (р ~- Йр)7(а — Йи>)т. Пренебрегая членами второго порядка малости, имеем (9. 30) айр=рйсо. В приведенном уравнении имеются две неизвестные величины а и Йср, следовательно, для его решения нужно добавить еще одно уравнение. В качестве него можно выбрать уравнение импульсов, констатирующее, что изменение количества движения тела равно импульсу, полученному этим телом под воздействием силы.
Изменение количества движения массы т при изменении скорости от 0 до йср составит т Йи>. Импульс силы, действующей на эту массу, равен 7 Йрт, где 7 йр определяет силу. В рассматриваемом случае уравнение импульсов будет иметь вид (9.31) т Йсо = 7' Йрт. Подставляя в данное выражение т„из уравнения (9.27), получаем ЙР = ра Йсо. 234 9.3. Закономерности течения Полученное выражение совместно с уравнением (9.30) позволяет получить формулу для скорости звука: (9.32) Так как звуковые колебания в среде распространяются очень быстро, то сколько-нибудь заметного теплообмена между зонами разрежения и сжатия звуковых волн и окружающей среды не успевает произойти, поэтому этот процесс можно считать адиабатным или изознтропным, а соответствующая величина а„получила название адиабитной скорости звука (9.33) Данное выражение носит название уравнения Лапласа 1 и иногда записывается через и = —.
В данном случае а = Р— и2( — ), где ~ — ~ — величина, обратная адиабатной (до), (до), сжимаемостн вещества. Поскольку величины и и ( — ~ являгд; к ются функциями состояния, то скорость звука а,, определяемая уравнением Лапласа, также является термодинамической функцией состояния. Заметим, что уравнение Лапласа справедливо для любых сжимаемых однородных сред, в том числе и для твердых тел, имеющих малую по сравнению с газами и жидкостями, но тем не менее конечную сжимаемость.
Так, если для водяного пара при температуре 100 'С и атмосферном давлении 1013 ГПа адиаг де 1 мкс2 батная сжимаемость ! — ! = -0,1259 ° 10 4 —, для воды при 1др), ' кг2 ' кд» вЂ” 12 М4с2 2 = 20'С и том же давлении ( — / = — 0,4434 ° 10 '2 —, то (,др), = где 1 мксе при ~ = 20 'С для железа ~ — ~ = — 6,14 ° 10 'з —, а скорость 'к др,1, кг2 звука в каждой из этих сред составляет соответственно 471, 1505 и 5130 м/с.
235 Глава 9. Термодинамика потоков ктидкости и газа Г3о'т Для абсолютно несжимаемой среды ~ — ) = О, скорость рас(,ар), пространения звука в такой среде равна бесконечности. Дифференцируя выражение для плотности р = —, имеем (9.34) Тогда выражение (9.33) перепишется в виде (9.35) откуда с учетом определения коэффициента адиабатной сжи- маемости (5.60) (9.36) получим 2 а т 6з (9.37) Иногда величина а, выражается через коэффициент изотермической сжимаемости (5. 58) (9.38) Из (9.36) и (9.38) получим (9.39) (9.40) 236 В данном выражении необходимо избавиться от производной при э = сопэ$, поскольку величину энтропии измерить невозможно.
Для набора из трех термодинамнческих параметров Т; р, Я по аналогии с ранее введенным дифференциальным уравнением состояния (5.55) имеем Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа при фиксации Т следующим выражением: сопве Ъ" =— р а именно: ~дЪ') д Гсопз() рк |г (9.50) Подставляя (9.50) в (9.38), будем иметь (9.48). Для идеального газа постоянного состава адиабатная скорость звука (9.47) с учетом выражений (9.48) и (9.49) имеет вид а, = а = .~МВТ. (9.51) Таблица 9.! 2077,2 1,66 1005 461,5 1,33 424 Азот 28,013 287,1: 1,40 343 ВозДУх 28 960 238 Отсюда следует, что для идеального газа адиабатная скорость звука пропорциональна 7Т, причем коэффициент пропорциональности различен для разных идеальных газов (из-за различных Й и В). Следует также заметить, что поскольку В = В/т, где т— молярная масса газа, то из (9.51) следует, что скорость звука в газе тем больше, чем меньше молярная масса етого газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
