Термодинамика Бурдаков В.П., Дзюбенко Б.В., Меснянкин С.Ю., Михайлова Т.В. (1013734), страница 39
Текст из файла (страница 39)
9.13). Дальнейшее уменьшение внешнего давления не сказывается на распределении давления внутри сопла и в том числе на значении р на срезе сопла (Ьс на рис. 9.13). Это явление связано с тем, что возмущения, происходящие во внешней среде (в данном случае уменьшение давления), распространяются только со скоростью звука. Следовательно, при достижении на срезе сопла скорости течения, равной скорости звука, возмущения внешней среды не могут проникнуть внутрь сопла и тем самым вызвать изменение режима течения за счет перераспределения давления. Отношение давлений р/р" = ~), при котором устанавливается скорость истечения, равная местной скорости звука, называется критическим и обозначается через ~)~, а соответствующие величины давления и скорости также называются критическими и обозначаются р, и ит Из выражения (9.85) следует, что уменьшение отношения давления всегда должно приводить к росту скорости, Однако на практике это не подтверждается и связано с тем, что, как указывалось ранее, в сужающемся сопле скорость течения газа не может превышать местную скорость звука.
В связи с этим предельное значение скорости течения в выходном сечении сужающегося сопла должно быть равно местной скорости звука, определяемой по формуле (9.51). 251 Глава 9. Термодинамика потокоа жидкости и газа и, = а = .ГАБТ =- ~ 2 ЯТ"'. Г ь (9.87) Сопоставляя формулы (9.85) и (9.87), можно получить значение критического отношения давления, т. е. отношения, при котором устанавливается критическая скорость истечения. Действительно, из равенства ~$м — 1па лр й — 1 1+1 следует, что (9.88) Из формулы видно, что критическое отношение давлений зависит только от показателя адиабатного процесса )к, т.
е. от физических свойств газа. Для одноатомного газа (е = 1,67 и ~), = 0,49, для двухатомного газа гг = 1,4, ~), = 0,528, для трехатомного газа )з = 1,29 и перегретого пара ~) „= 0,546, для сухого насыщенного пара )г = 1,135 и ~, = 0,577. Секундный расход газа через сопло определяется подстановкой формулы (9.55) для скорости истечения в уравнение (9.19) секундного расхода: (9. 89) где 7 — площадь выходного сечения сопла, и — удельный объем газа в этом сечении. Если истечение принимается адиабатным, для которого справедливо уравнение рпа = рки'", то и в формуле (9.89) может быть заменено на (9.90) Поскольку рассматривается идеальный газ, то для параметров на входе в сопло можно записать рли" = ВТ".
(9.91) 252 Если в атой формуле температуру газа в емкости принять равной температуре торможения, определяемой формулой (9.74) при М = 1, то критическая скорость истечения определяется выражением 9.7, Истечение газа из сосуда неограниченной емкости Если выражение (9.90) внести под знак радикала и выполнить замену по формуле (9.91), то уравнение (9.89) перепишется в виде (9.92) или (9.93) Отношение рк/и" в приведенном выражении может быть заменено с использованием уравнения (9.91) на ркз/(ВТ"). Таким образом, окончательно формула для определения секундного расхода примет вид (9.94) Из формулы видно, что массовый секундный расход газа зависит от площади выходного сечения сопла, параметров газа на входе р*, Т', рода газа (1г и А) и от отношения давлений р = р/р'.
Для истечения из сосуда неограниченной емкости р' = сопя( можно констатировать, что т зависит от давления в окружающей среде р, в которую истекает газ. Анализ формулы (9.94) показывает, что при р = р', когда ~) = 1, расход газа т становится равным нулю.
При р = О, т. е. при истечении в вакуум (р = 0), секундный расход тоже равен нулю, чего, естественно, быть не может. Поскольку т не может быть отрицательной величиной, то в интервале ~) от 1 до 0 расход будет больше нуля, а при некотором определенном отношении давлений ~) = р/р' расход газа будет максимальным. В точке максимума производная расхода т по р превращается в нуль, Давление р„при котором т = т к„называется гсритическим р . Для определения критического отношения давлений = р„ /р" возьмем первую производную от выражения (9.94) и приравняем ее к нулю.
Фактически от соотношения давлений зависит выражение в квадратных скобках. Его производная равна нулю в точке максимума, т. е. 253 Глава 9. Термодинамика потоков хгидкооти и газа После разделения переменных получим г  — 1 2; — -+1 в+1 бакр икр или окончательно РхР= (Ь р 1) (9.95) что совпадает с формулой (9.88). Фактически получено, что максимальные значения скорости и массового секундного расхода реализуются при одном и том же отношении давлений ~3„~ = р,гр, которое зависит только от показателя адиабатного процесса (з. Максимальный секундный расход находится подстановкой 6 (9.95) в формулу (9.92): гг" п~ах Г (9,96) Из выражения (9.96) видно, что максимальный секундный расход зависит от начальных параметров р", и* и показателя адиабатного процесса гз. На рис.
9.14 и 9.15 приведены графики зависимостей секундного расхода газа т и скорости истечения от ~3 = р/р*, приведенные для постоянных температуры Тв и давления р . Изменение ~3 на данных графиках обусловлено уменьшением давления в окружающем пространстве р, куда истекает газ. На рис. 9.14 видно, что при уменьшении отношения давлений от ~3 = 1 до ~3 = ~3хр расход газа возрастает от т = 0 при ~3 = = 1 до т = т,„„= т, при 6 = 6„р(кривая аЬ), т. е.
на срезе сужающегося сопла наступает такой режим истечения, при кото- 1 6 О 1 6 Рис. 9.14 Рис. 9.15 254 97. Истечение газа из сосуда неограниченной емкости ром расход газа т достигает своего предельного значения, определяемого формулой (9.96). При дальнейшем понижении давлений () < ~),„, согласно формулам (9.93) и (9.94), секундный расход должен уменьшаться (участок ЬО), но на самом деле в этой области секундный расход остается неизменным и определяется горизонталью Ьс, соответствующей формуле (9.96).
Напомним, что в этом случае (при р < ~), ) на срезе сужающегося сопла устанавливается постоянное давление р„р = ~)кар и процесс истечения происходит при постоянной разнице давлений от р* до р, . Это положение подтверждено многочисленными опытами. Аналогичный характер имеет и изменение скорости истечения в зависимости от отношения давлений (см.
рис. 9.15). При равенстве давлений внутри сосуда р и в окружающей среде р (~) = р/рк = 1) истечения не происходит и скорость равна нулю. При понижении давления р (уменьшении р) скорость возрастает до своего максимального значения при ри~ ф, ), а затем остается постоянной (участок Ьс) и равна значению в точке Ь, т. е.
критической скорости в,а, определяемой по формуле (9.87). В этой области давление на срезе сопла также постоянно и равно критическому ри = (), /р*. Критическое давление — это наименьшее давление, которое устанавливается в выходном сечении сужающегося сопла. В соответствии со сказанным можно выделить две области истечения, определяемые соответствующим отношением давлений: ° 1 — дозвуковая или подкритическая область истечения, для которой отношение давлений лежит в диапазоне ~„~ < ~) < 1; ° П вЂ” сверхзвуковая или надкритическая область истечения, для которой отношение давлений лежит в диапазоне 0<р<~),,.
Напомним, что во второй области не происходит полного расширения газов в сужающемся сопле и давление на выходе из сопла р„= 'р„ар, т. е. процесс истечения происходит при постоянном перепаде давлений от р' до р, . Для этой области истечения формулы (9.85), (9.93), (9.94) справедливы только при замене р на р,, а лучше воспользоваться формулами (9.87) и (9.96). 255 Глава Е.
Термодинамика потоков ткидкости и газа Таким образом, при практических расчетах, связанных с истечением идеального газа через сужающееся сопло из сосуда неограниченной емкости, в первую очередь необходимо определить область истечения. Для этого необходимо вычислить )) = р!р* и сопоставить с ~), для рассматриваемого газа (9.88), и только после этого пользоваться соответствующими расчетными формулами. Для сравнительной оценки численных значений скорости истечения и массового секундного расхода можно рекомендовать пропорциональные зависимости, которые будут иметь следующий вид: 1 область ф,„<р/р" < 1) ш — (ЯТ', „~, т — (, —,); (9.97) П область (О < Р(Р < Ркр) (9.98) С учетом того что в области П истечения в кинетическую энергию преобразуется не весь перепад давлений, а только критический (от р ' до р, ), следует предположить, что разница давлений от рк до р в сужающемся сопле не может быть полезно использована, а соответствующая данному перепаду кинетическая энергия является потерянной.
Это явление долгое время тормозило развитие паровых турбин (тепловых машин, у которых рабочий процесс основан на истечении пара). Вопрос о более полном использовании располагаемого перепада давлений был решен в 1889 г. шведским инженером Лавалем, который присоединил к сужающемуся соплу расширяющуюся насадку. Действительно, как было показано ранее (9.64), для получения сверхзвуковой скорости канал должен иметь расширяющуюся часть (см.
рис. 9.7). При этом в самом узком сечении всегда устанавливается критическая скорость (9,87), а в расширяющейся части происходит увеличение скорости в соответствии с выражением (9.60). Для предотвращения отрыва потока от стенок сопла в сверхзвуковой его части конусность расширяющегося участка рекомендуется выбирать в пределах от 8 до 12'. Площадь выходного се- 255 9.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
