Теплопередача и гидродинамическое сопротивление Кутателадзе С.С. (1013703), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Актуальное движение подчиняется соответствующим реологнческим уравнениям — для ньютоновских сред это уравнения (1.3.1) и (1.3.2). После нарушения устойчивости ламниарного течения возникает турбулентность, т. е. в каждой фиксированной просгранственной точке наблюдаются случайные по значению и направлению мгновенные скорости течения, температуры, концентрации примеси, электрические потенциалы и т. п.
Абсолютное мгновенное значение этих величин ограничено характерными значениями параметра конкретного процесса. Например, если скорость потока воздуха, набегающего на крыло, (Г~ = 100 м/с, то максимальная мгновенная скорость может быть только такого же порядка. Движение в «большом» характеризуется масштабами времени, достаточно большими по сравнению со среднестатистическим временем изменения (4.3.2) где à — промежуток времени, достаточно большой по сравнению с периодом пульсаций.
Если ф — случайная функция, <ф> — математическое ожидание, то (4.3.3) <ф. «рт > > = <фг > «рг >. Осредиенное уравнение турбулентного движения ньютоновской жидкости отличается от уравнения Навье — Стокса тем, что во всех его членах вместо актуальных вводятся осредненные значения соответствующих величин, и тем, что возникает еще дополнительная сумма членов, характеризующих турбулентный перенос импульса. Компоненты этих членов называются турбулентными (рейнольдсоеыми) напряжениями и имеют вид о ы = — < (ри', ) и'г >. (4.3.4) Уравнение сплошности для осредненного течения вследствие своей линейно- сти имеет вид тот же, что и для актуального: д< р > дг +41ч<ри)=0. (4.3.5) В действительности турбулентное течение существенно сложнее, и такое описание в ряде случаев оказывается недостаточным вследствие существования в потоке так называемых диссипативных структур вихревого типа.
Для жидкости с постоянными физическими свойствами (р=сопз1, =сопз1) уравнения Рейнольдса имеют вид (для проекции иа ось х); 1 / д<ии'> д<и'о'> ух — — йгай < р ) + чрз < и ) — ( + + дх ду Плотность кинетической энергии турбулентных пульсаций характеризуется величиной 2 < е ) = < и' > + < о' > + <ш") .
(4.3.7) Турбулентная геллояроеодносгь описывается уравнением (при постоянных физических свойствах) 85 рассматриваемой величины от нуля до максимума или от заданного значения вновь до того же значения. Такое представление, введенное Рейнольдсом (1895 г.), позволяет описывать актуальное движение как сумму осредненного и пульсацнонного движений: и=<и>+и'1 р=<р)+р', р= <р>+р' ....
(4.3.1) Здесь индекс ' означает пульсацию, а осреднение производится по правилу Рис. 4.8. Изменение «турбулентного» числа Прандтля по радиусу трубы, Ве=(1 —:7) 1О' Г2 г,д ' Л г,г д,е д,э Ц,д ~/Ез д Хпз < т >-1- и = — <(Ри)' Ь'>+ — <(Рп)'"'>+ дх дУ д д <й> д<й> д<й> + — <(Р )' й'>+<РЯ> + <1ю> +<Р > г дх ду дз (4.3.8) где й — энтальпня, В развитом турбулентном потоке имеет место условие подобия <(ри)' и'> <(ри)' А> Р"т = р,из р,идй (4.3.9) (4.3.10) Рг;»П-', „и ./~~ где и = — 1уг — — безразмерное расстояние от обтекаемой поверхности.
ч 1' 2 4.4. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Уравнения осредненного движения не замкнуты, т. е. представляют не. ограниченную цепочку уравнений для все более старших моментов (Келлер и Фридман, 1924 г.). Возникают затруднения и в формулировании краевых условий для пульсационных переносов. Поэтому в настоящее время используются полуэмпирические модели, основанные на тех или иных достаточно сильных допущениях и некотором числе эмпирически определяемых «констант турбулентности» (4.3, 4.6 — 4.8). Первой была предложена и широко применяется в настоящее время при решении наиболее простых, но массовых инженерных проблем модель длины пути смешения Тейлора (1916 г.)— Прандтля (1925 г.).
86 где Рг, — турбулентное число Прандтля, которое обычно меньше единицы (длн свободных затопленных струй Рг,-0,75, для следа за телом Рг,=0,5). На рис. 4.8 приведены данные о зависимости числа Рг, от радиуса круглой трубы. В непосредственной окрестности твердой поверхности тур.
булентное число Прандтля уменьшается и зависит как от расстояния от стенки, так и от физического числа Прандтля жидкости и отношения тепло- восприимчивости веществ жидкости и стенки (т, е, от отношения значений срХ этих веществ) При Рг — »ао Для двумерного развитого пограничного слоя со значительным попереч. ным градиентом скорости предполагается существование коррелвции; д(и> ~ д(и> — (и'а') = 1' ду ду (4.4.1) д(и) д(Т) ду ду где ! и 1,— длины пути смешения и пути теплового смешения, м; в общем случае !Ф!ь но обычно их значения достаточно близки (!ж1,). В развитом турбулентном потоке, когда влиянием молекулярной вязкости на общее трение можно пренебречь, значение ! в основном зависит от геометрии потока.
В простейшей модели одномерного течения, когда и зависит от у так, что при у=О п=О, а при у ю и- У, из соображений о размерностях следует формула Прандтля (4.4.2) ! ху, где х — экспериментально определяемая константа. Для области с постоянным касательным напряжением (т=т„) из этой модели следует хорошо подтверждаемый экспериментами логарифмический закан распределения продольной компоненты осредненной скорости течения в плоском пограничном слое несжимаемой жидкости: ! у = С+ — 1пч, х (4.4,3) где у = и!аст; т) = э у,'т! о, = (тст/р)' — так называемая динамическая ско- 1!2 рость. В окрестности твердой стенки (Ч<Ч,) имеет место квазнламинарное течение (вязкий подслой), в котором (4.4.4) Для двумерного плоского пограничного слоя несжимаемой жидкости в полуэмпнрической двухслойной модели (0<О<пи — вязкий поделан; Ч)О~в развитое турбулентное течение) экспериментально определенные значения «констант турбулентности» следующие: х=0,4; Ч,=11,6; С=5,5.
Модели, опнсываюшче сложные турбулентные течения, в том числе с об. ластами контрградиентных переносов, приведены 14.3, 4.7, 4.8]. 4.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТЬЮ 87 При очень больших числах Рейнольдса абсолютные значения коэффициентов трения и тепломассоотдачи стремятся к нулю. Теоретически это реализуется в модели жидкости с бесконечно малой вязкостью. В модели пограничного слоя с исчезаклцей вязкостью имеют место следующие соотношения: чжО; 1(е=(!ь/ч-»сь при любых конечных скоростях течения и размерах тела; относительные значения коэффициентов трения и числа Стен- тона (или Нуссельта) стремятся к некоторым конечным значениям. Эта мо. дель приводит к интегральному соотношению Кутателадзе — Леонтьева (1962 г.) [4.4): 112 )(е - с, ~ (=) е(и= 1, о Реэп1 (4.5.1) где р=р/ре — относительная плотность среды в данной точке пограничного слоя; и=и/(1 — относительная скорость осредненного течения в пограничном слое; ер =.
с)/с( — отношение коэффициентов трения при данных и стане дартных условиях; т=т!тст — относительное касательное напряжение в данной точке; у=у/б — относительное расстояние от стенки; б — толщина пограничного слоя. Прн Ргж 1 и подобно заданных граничных условиях (4.5.2) Рт = 91!Б(е гз Ч~. Используя уравнение состояния для газов и связь между полями энтальпий торможения й* н скорости течения и, можно получить ряд конкретных решений, удобных для инженерных расчетов.
Этн соотношеаяя называются предельными законами трения н тепломассообмена в турбулентном пограничном слое 11.7, 4.41. 4.6. МОМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НОЛЕИ И СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ Осредненное турбулентное течение и его интегральные характеристики описанного выше типа являются реализациями во времени случайных мгновенных полей гндродинамнческях характеристик потока. Более детальный анализ требует введения локальных структурных характеристик: спектров пространственных и временных масштабов турбулентных вихрей, нх энерге- у'еитгг и 173 а,г 0,7 /<~ туз 0,00 0,04 а,аг а 40 00 гга 700 гаа Рис.
4.9. Относительные среднеквадратичные значения продольных (а) н поперечных (б) пульсаций скорости: 1 — вада, де=За 000; 2-0,007 ез-виа рвствар пелиетилекексидв, де=27 000 66 (4.6.2) тическил характеристик, распределений плотности генерации и дисснпации турбулентной энергии. Такие данные нужны как для получения численных коэффициентов а полуэмпирических статистических теориях турбулентности, так и для непо. средственного анализа тех нли иных явлений. Например, среднеквадратич.
ные пульсации позволяют судить о влиянии полимерных добавок на механизм турбулентного трения в пограничном слое (рис. 4.9). Коэффициенты корреляции имеют вид <и(А,)и(А,)> |гг<и(А1)и(А1) > <и(Аэ)и(А,)) ' где А1 — точки, в которых проведены измерения в один и тот же момент времени Г. Локальные масштабы длины и времени осредненного турбулентного движения определяются формулами: Г <и (А,)и)'(Аз)> 1= Меш; Ь(А1) = ) ' г(хгэ; ,) <и (А, ) иг' (Ат) > <и (А,; 0)иг'(А,; 1)> 12 0 НА1) а <и (А,; 0)и,'(А,; О)) где кы — расстояние между точками А, и А, (подробно см. (4,6 — 4.8]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
