Теплопередача и гидродинамическое сопротивление Кутателадзе С.С. (1013703), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.4), где д — плотность теплового потока на поверхности прямоугольного ребра при 6= 1 и и толщине, равной толщине рассчитываемого круглого ребра. 4 — 6637 Для стержня с изолированным торцом (п=О) а=Дато(Т,— Т,) (Цтп(.). (2.9.3) Для стержня бесконечной длины (практическн когда плошадь боновой поверхности много больше торцевой): Т, = Те + (Т1 — Те ) ех р ( — гох); 1(= (Т,— Т,1 (ГЛт.
(2.9.4) Прямое ребро постоянного теплового напряжения наименее металлоемко, а на его конце устанавливается температура, близкая температуре окружающей среды. При значительной ширине ребра (Н»6): Р=2Н; В=6Р/2; т=р2а/(А61). У такого ребра должны выполняться условия: йт/б =(т 2В1~ 6/йт= 1+В1 х' — 2В1Хх,' йь — — йт/2, (2.9.6) где В!=ай~/Х; х=х/66 Е=л/66 бь бь, 6 — толщина ребра соответственно у основания, на торце и в данном сечении; Š— длина ребра.
Тепловой поток от основания ребра В,В а,у и пл ~г В,В 'В Врг Во В,В ВВ ВТ Рис. 2.4. Тепловой поток, отводимый утлым ребром кр В В,В В,г Рис, 2.3. Схема плоского круглого ребра В,Г Рис. 2.5. График для расчета теплового потока, отводимого коническим шипом В Х 10 х/юг Теплоотвод коническим шилом определяется по формуле ос=гЯ~(То — То) В)„ (2.9.7) ос,р — — аЕ,р(То — То)Е, (2.9.8) где ń— площадь поверхности оребрения; Ть То — температуры основания ребер и окружающей среды; Š— коэффициент эффективности оребрения, учитывающий изменение температуры по ребру.
На рис. 2.6 и 2.7 приведены графики для определения значений Е некоторых типовых оребрений. В случае трапециевидного сечения ребра значение Е умножается на коэффициент еа (рис. 2.7). 50 где В принимается по рис. 2.5. Следует иметь в виду, что коэффициент теплоотдачи от оребренной поверхности к окружающей ее среде сам зависит от конструкции оребрения. Тепловой поток от оребренной поверхности к окружающей среде может быть рассчитан приближенно по формуле Для прямых ребер постоянной толэцины Е = Ф (й Ъ/2та/ (ЛВ))ЯЬ $/24о)()хт)), для ребер с прямым основанием ф=0,90, для ребер с цилиндрическим основанием 9=0,85. Подробнее см. (2.3, 2.4).
(2.9.9) п,,у г — ' — (ю -2г) сс го лщ+щ г Рис. 2.6. Коэффициент эффективности круглых ребер с цилиндрическим осно- ванием а,б а,» Рис. 2ЕЕ Коэффициент эффективности квадратных ребер (1) и прямым основанием (2) 4" с цилиндрическим б! 2.10. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КАНОНИЧЕСКИХ ТЕЛАХ С РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ Приведенные ниже решения получены для условий: Л=сопз(, д~ = =сопз1. Плоская стенка толщиной б. Начало оси х, перпендикулярной к плоскости степин, находится на ее поверхности, имеющей температуру Т„ь Предполагается, что То<)Т„,)Т„»)Тоо, где Тоь Тоо — температуры омывающих сред с коэффициентами теплоотдачи соответственно а, и ао.
Естественно, что изменение знака с «плюса» на «минус» у соответствующей разности температур общего решения задачи не меняет. Распределение температуры в стенке: Т =То<очи[по/(2Л)](бо — х')+(и,/Л) (Тм — Т„<)(6 †); (2.10.1) Топ = [То<+ (а,/аз+а<6/Ц То<+ Се (б/ао+ бо/(2Л) ] /(1+ +а,б/Л+а</ао); (2.10.2) Том =Т„-1-цтб/ао+ (Тм — Тоо — Цт [б/ао+бо/(2Л) Ц/(1+ +аоб/Л+ао/а<), (2.10.3) где цт — плотность внутренних источников, Вт/м'. Общее тепловыделение в единичном объеме (У<=6 1.1) пластины и тепловые потоки на ее поверхностях: <>г<=цтб; пои=а<(Т<п — Т<); до,о=аз(Т„» — То).
(2.104) В односторонне охлиждиел<ом полом цилиндре плотность тепловыделения на единицу длины и т<(Р2 Р! )41 (2.10.5) При охлаждении с внутренней поверхности круглой трубы: Т=То<4-(</«Р<с/(4Л)) ([2Л/(а<Р<)][(Р»/Р<)' — 1)]+ 4-1 — (Р/Р<) '+2(Р»/Р<) <1п(Р/Р<)); (2.10.6) (2.10.7) Тн = То<+ [СиР</(2ао)] [(Ро/Рт)о 1]1 Тн — То<+ [йк Рто/(4Л)! ([(2Л/(а<Р<)) !] ](Ро/Рт)о — 11+ + 2(Ро/Рт)' 1п(Ро/Рд)), (2.10.8) где То< — средняя температура охлаждающей среды, текущей в полости трубы; а, — коэффициент теплоотдачи от среды к внутренней стенке трубы; Р, Рь Ро — соответственно текущий, внутренний и внешний радиусы трубы, Разность температур наружной (неохлаждаемой) и внутренней (охлаждаемой) поверхностей полого цилиндра зависит толы<о от плотности внутреннего тепловыделения, теплопроводности и отношения внутреннего и внешнего радиусов цилиндра: Тн — Тн — [4 Р,о/(4Л)] [2!п(Р»/Рт) — 1+ (Рт/Ро)о] (2 10.9) 52 Для сплошного цилиндра, охлаждаемого с внешней стороны средой с температурой Т„при коэффициенте теплоотдачи аз 7=Тат+ (отРгзт/(4Л) ]ф2Л/(аэ)7з)+1 — (и/к,) '); (2.10.10) температура на оси цилиндра Тя =э = Тот+ (Нг)7з'/(4Л) )'(ЗЛ/(пз)гг) + 1) .
(2.10.!1) Пример. Полый электрический проводник охлаждается водой, текущей в его анутреннем канале. Коэффициент теплоотдачи а,=2 104 Вт/(м'К); максимальная средняя по сечению температура воды Т~=ЗОО К. Характеристики проводника: )!,=3 мм, )7з=б мм; площадь поперечного сечения П= =н()7э' — )7,')=5,024 1О-' м', теплопроводность Л=20 Вт/(и К); удельная электрическая проводимость п,=10' См/м. Определить максимально допустимый ток из условия, что Т,,(800 К. Сопротивление проводника длиной 1 м г1=1/(пзй) =1/(10'5 024.10 ') =1,99 10-' Ом/м; температура внутренней стенки проводника по формуле (2.10,7) Тя =Тат+(дн)7з/(2из))(Щ)(з)э !) = = 300+(пк 3 1Π— э/(2 2 10х))((5/З)з — !) =300+ 1,33 1О т Рк По формуле (2.10.9) Тя — †8 — [4„.5' 10-'/(4 20П (21п(5/3) — 1 + (3/5)')= 800 — 1,19 10 †' д„.
Совмепгая два полученных выражения для Тл, находим, что 1 300+1,33.10-'д~ =800 — 1,19 10 — 'дг, ря=2.!О' Вт/м'. Соответствующий максимально допустимый ток 7= 'р дк9/гз = Р' 2 !О'5 1О э/(1,99 10 — э) = 7!00 А. Глава третья ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 3.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕСТАЦИОНАРНОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ИЗОТРОПНЬ!Х СРЕДАХ В параболическом приближении, т. е. при времени тепловой релаксации, много меньшем характерного масштаба времени рассматриваемого процесса, уравнение теплопроводности в изотропной среде имеет вид гйт(ЛйгадТ)+де=с,рдТ/дй (3.!.1) При отсутствии внутренних источников и стоков теплоты (рк=О) и постоянных физических свойствах имеем: аЧзу=дТ/д1, (3.1.2) где а=Л/(сэр).
53 Краевые условия задаются как граничные (на контурах или в характерных геометрических местах системы), так и временные (в некоторый фиксированный момент времени — обычно в начальный момент отсчета). Безразмерное время характеризуется числом Фурье Го=а!/5', (3.! .3) где Š— характерный линейный масштаб. В ряде важных приложений возможно искать решение в форме произведения независимых функций координат и времени; Т=ф(х, д, 2)ф(!), (3.1.4 ) чему соответствует уравнение (3.1.2), представленное в форме обыкновенного дифференциального уравнения: 7'ф+Д'ф=б; ср/ А ехр(-]РГо). (3.1.5) Имеются задачи, в которых разделить переменные невозможно.
Решение одной из таких задач имеет вид Т = ]С,/(2 Г' яп])[ехр [ — (Сэ — х)э/4аг], где С~ и Сз — коэффициенты, определяемые по краевым условиям. Теория теплопроводиости неподвижных (обычно твердых) сред и современные методы и технологическое обеспечение вычислительной математики позволяют решить поставленные конкретные задачи, если имеются достаточно надежные данные о теплопроводности, объемной теплоемкости и об условиях на границах системы. Подробно методы решения уравнения нестационарной теплопроводности в неподвижных средах изложены в [3.1, 3.2, 3.4, 3.5]. Там же рассматриваются и некоторые цроблемы теплопроводности в анизотропных средах и средах с конечным временем тепловой релаксации. Хорошая сводка расчетных формул и номограмм содержится в [3.3], ряд задач с нелинейными граничными условиями применительно и затвердеванию слитков металла и некоторым другим процессам решен в [3.7].
(3.1.6) 3.2. НОЛУОГРАННЧЕННОЕ ТЕЛО /ау= ' =ег]с~ „г )— — ехр(В!„— В]„э Го )ег1с, — + В1„[г Го,/1, 2 1' Гох (3.2.1) 54 а) Полуограниченный стержень (ограниченный с торца), боковая поверхность которого изолирована так, что тепловым потоком через нее можно пренебречь, охлаждается с торца средой, имеющей температуру Тэ.
В момент погружения торца стержня в охлаждающую среду температура во всех точках стержня одинакова и равна Ть Коэффициент теплоотдачи а от торца стержня к охлаждающей среде не меняется во времени. Температура Т в любом сечении стержня является функцией времени ! и координаты х (расстояния от торца) и определяется с помощью формулы где Ро,=а1/х'! В(,=ах/Л; а и Л вЂ” коэффициент температуропроводности и теплопроводность материала стержня.
Плотность теплового потока через торец стержня', Вт/м', д = и(Тт — Та)ехр(В1„э Рох)ег(с(В|, 'гхРох). (3.2.2) Произведение В),Ро,ы'=а[!/(срЛ)) и' ие зависит от линейного разме- ра и представляет собой форму краевого условия, связывающего меру ин. тенсивности теплоотдачи от поверхности твердого тела с комплексным фи- зическим свойством срЛ, характеризующим наряду с коэффициентом темпе- ратуропроводности а термоинерционные свойства данной среды (см., напри- мер, в гл. 13 число срЛ). б) Та же задача, что и в п, «а», но при отсутствии тепловой изоляции боковой поверхности стержня.
Температура среды, окружающей боковую поверхность, постоянна и равна начальной температуре стержня Ть Коэф- фициент теплоотдачи от торца к охлаждающей среде относительно велик, и можно допустить, что температура торца сразу становится равной Т,. Безразмерная температура в сечении х с учетом теплоотдачи от боко- вой поверхности стержня т,— т ! Т вЂ” / х/л ат= ' = — [ехр( — (ГВ!х/л)ег1с( — — (г В! Ро~ + Тг Та 2 (2УРо +ехр ()Г В1 — /! ег1с ~ — + )/В! Ро ), (3.2.3) '(2~ Р где л=й/Р— отношение плошади сечения стержня к периметру сечения; Вг=ал/Л; Ро=а1/Лг'. Плотность теплового потока через торец стержня л(т,— т ) г [ — екр( — В)Ро) +(Г В! ег((у В)Ро)~. (3.2.4) л ~)г яро в) Охлаждаемый торец полуограниченного стержня с изолированной боковой поверхностью погружен в среду с начальной температурой Ть В последующем температура среды является функцией времени, Ть(!) =/(!), коэффициент теплоотдачи от торца стержня н охлаждающей среде а=сопя!.
Температура стержня в сечении х в момент времени 1 ! / Ро, / х' -(Ц~ — ! (В,) — *„Т ( — — )— Π— ехр В1„+ э ег1с .— + В1„— г/ г!т, (3.2.5) где и — текущая переменная. Для полуограиичеиного стержня, кроме приведенных, имеются также решения для следующих условий (3.5): ' Все решения, приведенные для режима охлаждения тела, пригодны и для режима нагрева. 55 г) Торец стержня с изолированной боковой поверхностью в начальный момент принимает температуру окружающей среды Т», которая затем остается постоянной в течение всего процесса. д) Торец стержня, имеющего начальную температуру Ть нагревается постоянным тепловым потоком. Кроме того, применительно к условиям п, «б» в [3.5] дано решение для стержня, ограниченного с обоих торцев.
3.3. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА а) Неограниченная пластина толщиной 26, равномерно прогретая в момент времени 1=0 до температуры Ть погружена в среду с постоянной температурой Т,. Коэффициент теплоотдачи а от поверхности пластины к среде не меняется во времени. Ось х перпендикулярна к боковым поверхностям, начало координат в середине пластины. Безразмерная температура в плоскости х в момент времени ! опреде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
