Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 27
Текст из файла (страница 27)
280 Градиент скорости у поверхности плиты определяется из уравнения (6-26): Поэтому напряжение трения у поверхности равно: Подстановка этого выражения и значения 7 в уравнение количества движения [уравнение (6-8)) дает следующее дифференциальное уравнение: З9 '1 З и. 280 х 2  — ри ~— = — р — '. Разделив переменные, получим: ЗЮ = — — Ых.
13 и Интегрирование последнего уравнения приводит к следующей формуле: 16-27) 8=4,64 в / — +сопз1. ~Ф 8 (6-28) 4,84 Подкоренное выражение является критерием Рейнольдса для данного расстояния х от переднего края плиты.. Если это выражение обозначить символом Ке„, придем к следующему уравнению: Ь 4,64 (6-29) ~' Ке 179 Постоянная интегрирования равна нулю, когда х измеряется от переднего края плиты, так как при х= 0 толщина В также равна нулю.
Формула 16-28) показывает, что 8 увеличивается пропорционально корню квадратному из расстояния х. Этой формуле полезно придать безразмерный характер: Величина количества движения, даваемая уравнением (6-12), 3,= —, 3 = 0,139о= р. Тогда напряжение трения у стенки 0,323ри~~ „/д., ' (6-31) Вместо этой величины часто применяют коэффициент трения )р, который ~равняется силе 1соп~ротивления движению по поверхности ~плиты, деленной на площадь поверхности ~плиты .и динамическое давление в потоке. Необходимо ~различать две величины: локальный коэффициент трения ~р и средний коэффициент трения )р . Первый определяется из уравнения ио 2 откуда 2~„, ри, Второй можно найти из равенства х ио т о1Х=)р ХР о откуда и х — о Ых= — 7 Ых 2 Р 1 Г хри, ) о о или 1,292 Р'о ),~ оо 181 (6-26), приведенный выше интеграл дает следующий 1результат: Ь 0'3758 з ' Более точные ~расчеты для числителя данной формулы, основанные на решении ура~вненнй пограничного слоя, дают значение 1,327, т.
е. на 3'$! больше. Формула находится в хорошем ~соответствии с результатами опытов. Пример 6-1. Необходимо определить толщину пограничного слоя на расстоянии 100 мм от переднего края плиты при движении воздуха вдоль ее поверхности. Скорость движения воздуха 1О м/сек, температура 16' С, давление — атмосферное. Находим критерий Рейпольдса: и,х !О.О, ! Йе„= — ! 4 1Π— — 67500. ч 1,48 10-' Значение козффициента кинематнческой вязкости взято из таблиц приложения. Отношение толщины пограничного слоя к расстоянию от переднего края плиты д 4,67 х рг67600 =0,0!78, откуда толщина пограничного слол иа расстоянии 100 мм от края равна 1,8 мм. Эквивалентная толщина пограничного слоя 6*=0,6 мм.
Отсюда видно, что при обычных скоростях. и расстояниях толщина пограничного слоя достигает около 2 мм. Для турбулентного п огра н и ч н о г о с л о я кривая распределения скоростей обладает гораздо большей кривизной, чем для ламчзна~рного пограничного слоя. Хорошее приближение к действительному распределению скоростей дает ~формула Прандтля: 1б-32) Однако для участка, лежащего непосредственно у поверхности плиты, формула неверна. В этом можно убедиться, сделав расчет напряжения сдвига у поверхности. Градиент скорости йи 1 "з ли=7 !ау,учй) т.
е. у самой поверхности плиты !при у=О) бесконечно велик. Вследствие этого и напряжение сдвига у поверхности должно было бы быть бесконечно большим, что физически невозможно. В дейсгвителвносги турбулентность всегда исчезает у поверхности. Реальные условия можно упростить, приняв гипотезу Прандтля, что между турбулентным,пограничным слоем и поверхностью плиты существует ламинарный подслой, в пределах которого скорость воз- !82 растает прямо пропорционально изменению ординаты у.
За !пределами этого поцслоя справедливо уравнение (6-32). Предполагаемые кривые !распределения !скоростей сопрягаются ~на пранице ~подслая, образуя очень небольшой угол, как показано на рис. ~6-!2. Напряжение трения у поверх- и насти плиты здесь необходимо определять непосредственным измерением. Для ааеслишком больших зна- и чений критерия Рейнольдса и и гладких поверхностей хорошие й - там результаты дает формула Бла- / зиуса: а 4' ч !!и Рис.
бл2. ламинарный под=0,0228ри, ~ — з) . (6 33) слой и турйуаантный насра ничный слой. Формула выведена на основании ~результатов опытов с движением жидкостей и газов в трубах. Шульц-Грунов (Л. 48) опытным путем доказал справедливость этой формулы для движения вдоль плоских плит вплоть до Бе=10'. Для более высоких значений критерия Рейнольдса существует весьма сложное уравнение, речь о катаром будет идти ниже.
Подставив значение и,из формулы (6-32) в уравнение каличеспва движения (6-8), и4олучим: ь У=р~и(и — и)41у=ри~~Я ~1 (Р-Дс(у — Ри,о. о о Здесь также верхний предел интегрирования необходимо заменить на й, так как уравнение (6-32) справедливо лишь для у с й. При у) й и и = и, интегрируемое выражение обращается в нуль.
Подстановка значения интеграла / и формулы (6-33) в уравнение количества движения приводит к дифференциальному уравнению чу — ри* — =0,0228ри 1 — ) '. 72 айх ' а(и а) Разделив переменные, получим: й ~'Я=0,235 ( — ) 'а'х. 4и 4 !83 После интегрирования имеем: 8=0,376( — ") 'х'+сопз1.
~и у (6-34) Некоторые трудности возникают ~при определении константы интегрирования. Из рнс. 6-5 следует, что начало турбулентного пограничного слоя |находится на некотором критическом расстоянии х, от переднего края. В втой точке он уже имеет определвнную толщину, так как он возникает из ламннарного пограничного слоя. Оба слоя должны соедщнятыся в этой точке. Иногда говорят, что величины количества движения турбулентного и ламина|р- Перехаднал Рис.
6-13. Ламинарный и турбулентный пограничные слои на плоской плите. ного слоя здесь равны. ~По Л. Прандтлю [Л. 49) (рис. 6-13) выражение (6-34) хорошо согласуется с измерениями, если определить толщину турбулентного пограничного слоя, положив, что он ~начинается у переднего края, имея вэтом месте нулевую толщину. Последние экспериментальные наблюдения показывают, что это не совсем так, но мы, однако, примем это ~упрощающее допущение.
Постоянная в уравнении (6.34) тогда равна О, причем х выражает,расстояние от переднего края. В крнтериальной форме уравнение (6-34) приобретает вид: Ь 0,376 0,376 (6-35) ." (иллан (Ие )Ь В правой части равенства снова появляется критерий Рейнольдса, вычисленный для расстояния х. Эквивалентная толщина пограничного слоя турбулентного потока согласно уравнению (6-32) равна 8 =8/8, а величина 8,.= — 8. Если для критического расстояния рассчитать и ламннарный и турбулентный пограничные слои, то последний окажется толще. В дейст- 184 вительиости мгновенное возрастание толщины пограничного слоя невозможно.- Переход от ламинарного к турбулентному пограничному слою имеет место ~в переходной зоне, показанной на рис. 6-13.
Переход от лвмннарного к турбулентному режиму движения в пределах .пограничного слоя начинается с колебаний сравнительно большой длины волны. В оановно~м эти колебания носят тот же характер, что и волны, которые .можно наблюдать,при обтекании ~вертикалыной плиты в попраничном слое в случае свободной ~кснвекции (Рис. 11-1!). Как было аналитически доказано .В.
Толлымином (Л. 501 и Х. Шлихтингом 1Л. 511, движение в пограничном слое становится неустойчивым лри таких колебаниях с определенной длиной волны, когда толщина пограничного слоя достигает некоторого определенного значения. Эти колебания всегда существуют в потоке вследствие действия различного ряда, побудителей, приходящих из внешнего потока. В неустойчивой области пограничного слоя они не затухают, а усиливаются ~по лал~равлению течения жидкости. Постепенно вол~им приобретают неправилыную форму и превращаются в завихрения, которые в конце концов совсем размываются, приобретая характер умеренного турбулентного движения. Из-за случайной природы возмущений наложение ~переходной зоны зависит от беспорядочных колебаний во ~времени.
Эта зона чрезвычайно трудно поддается изучению, и наши знания о процессах в ней весьма ограничены. Расчеты, приводимые в настоящем па~рапрафе, относятся мсключителыно к области с вполне установившейся турбулентностью. Для последующих расчетов теплообмена необходимо знать толщмну ламлнарного,подслоя б.
Для этого требуется,раньше определить скорость иь на пранице между турбулентным слоем и ламина~рным подслоем. По напряжению трения на поверхности плиты находим увеличение линейной скорости в ламинарном подслое: ии и ='г „=р „ Ну и Подстановка значения и в вто равенство дает следующую формулу: 188 Решая это уравнение относительно у и имея в виду, что при у = б„и = и„получаем: -"=-" '-( —:.
)"' С другой стороны, использовав уравнение (6-32), находим: -"=®' Приравнивая правые части последних двух равенств, приходим к следующему выражению: Здесь критерий Рейнольдса вычисляется по толщине пограничного слоя. С помощью уравнения (6-35) вводим расстояние хп (6-37) Теперь толщину ламинарного подслоя можно определить из уравнения (6-38) Напряжение сдвига у поверхности плиты определяется из формулы "о 'Ф =ив ао или 0,0296 а и олр г' Де„) ' Сопротивление потоку можно рассчитать по напряжению сдвига на участке с ламинарным пограничным слоем и на участке с турбулентным пограничным слоем.
Для критического значения критерия Рейнольдса, равного 485000, этот расчет дает следующий результат: 0,074 1 700 ро )Ч йо 186 а для критического значения )се, равного 85 000, 0,074 300 (це ) д мел' На ~рис. 6-14 представлен график поля скоростей в турбулентном пограничном слое согласно зк~апернменталыным исследова~ния~м ван дер Хегге-Динен (Л.
52!. Здесь тоже вместо резкого перехода от одного режима к другому наблюдается .переходная зона, е пределах которой турбулентность постепенно замирает. На рис. 6-15 да!но сравнение «еееи га ае 1г ! йгЬ агут Рис. 6-!4. Кривая распределения скоростей в турбулентном пограничном слое на плоской плите по результатам опытов ван дер Хегге — Цинен [Л. 3291. кривых, построенных на основании двух данных выше формул для коэффициента трения, с экспериментальными данными. При больших числах Рейнольдса (свыше 1От) уравнение Блазиуса не описывает результаты измерений с достаточной точи~остью. Интерполяцией были получены различные формулы, которые достаточно точны вплоть до Яе=10в.
Хорошо известно ударив!гение Кармана — Шоенгер!р а: = 1я ()се„( ). $7 1,. Зависимость, предложенная Прандтлем и Шлихтингом, более удобна: 0,466 рт 0 ц )з,за !87 Для коэффициента локального трения Шульц-Грюнов дает следующее соотношение: 0,370 Р ()е ое )2,588 .При более высоких чи|слах Рейнольдса влиянием ламинарного попра~н~ичного ~слоя ~можно пренебречь, о чем овидетелыствует рис. 6-15. Вышеприведенные соотношения справедливы для абсолютно гладкой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
