Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Обычно на шероховатых пот(г г х л г,)-э лтг г 578 7 5 IР 7 Ф Рис. 6.15. Значение коэффициента трения для ламннарного и турбулентного пограничных слоев на плоской плите [Л. 330[. верхностях трение, больше, чем на гладких. Подробнее о шероховатости поверхностей будет сказано в разделе 6-7. Пример 6-2.
Требуется рассчитать толщину турбулентного пограничного слоя на расстоянии 300 мм от переднего края плоской плиты, которая омывается потоком воздуха со скоростью !О лг/сек при темпе. ратуре 16' С л атмосферном давлении. Определим критерий Рейнольдса: 1О 0,3 Ке =- 1, 8 1О-' 203000 Из уравнения (6-35) находилг, что отношение толщины погранич- д ного слоя к расстоянию от переднего края плиты — =0,03, Отсюда тол- к шина пограничного слоя равна 10 мм, а эквивалентная толщина пограничного слоя равна 1,25 мл. Согласно формуле (6-38) отношение тол- дь шины ламинарного подслоя к толщине турбулентного слоя — 0,037. а Таким образом, толщина подслоя равна 0,37 лм.
Вследствие незначительности тол5пины подслоя напряжение сдвига у поверхности плиты' для турбулентного потока в значительной степени определяется шероховатостью плиты, тогда как для ламинарного .потока шероховатость !88 играет лишь незначительную роль. Это можно обьяснить тем, что напряжение сдвига и сила трения о поверхность значительно возрастают, если шероховатость не полностью покрывается ламинарным подслоем. Точные экспериментальные измерения показывают, что сопротивление потоку сильно возрастает, если высота шероховатости приблизительно на алну треть ~превосходит толщину ламииариого падслоя. Для рассматриваемого примера поверхность плиты с высотой шероховатости менее 0,1 мм может считаться гидравлически гладкой. Толщина ламинарного подслоя обратно пропорпиональна скорости и, и лишь в слабой степени обусловливается расстоянием от переднего края плиты.
При высоких ° скоростях во избежание сильного повышения сопротивления потоку поверхность плиты надо обрабатывать с особой тщательностью. Формула (8-33) справедлива только для гладкой плиты. б-б. ГРАДИЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ П~ри наличии потока, в котором давление изменяется вдоль поверхности плиты, ~методику расчета следует изме'нить, чтобы учесть этот градиент давления.
Проведем такой расчет для лами1иа~рного попраничного слоя у поверхности (у=О). ~При этом уравнение (6-16) принимает вид: 2= (9)„. Это выражение заменяет уравнение (6-23) предыдущего параграфа. Используя уравнение Бернулли и зная, что др/дх постоянно для всего пограничного слоя, можно записать его в следующем виде: (6-39) На основании этого уравнения и уравнений (6-21), (6-22) и (6-24) определяем коэффициенты в выражении для поля скоростей и гг+ (тгт+ пуз+ г(уз Дифференцируя это уравнение дважды и полагая, что у=О, приходим к следующему уравнению для коэффициента бс й'и С= — 3 И вЂ” '.
ч зми Коэффициенты а, (з и гг определяются из других граничных условий. Таким образом, профиль скорости выражается формулой 189 где З» аа 2» Нх Напряжение трения (6-41) Вводя выражение для профиля скорости и напряжения трения в уравнение количества движения пограничного слоя н интегрируя его, получим: + р(8 24~ » йА 12+ 2) Ь или Йх[(280 208 420 )и 8) ( 4+12) (6-42) Необходимо знать изменение скорости потока вдоль поверхности. У~равнение (6-42) ~представляет собой дифференциальное уравнение ~первого порядка относительно неизвестной величины б, иосколыку параметр х являегся функцией толщины пограничного слоя б [уравнение (6-41)1 и известных параметров.
Интегрирование лучше проводить численно нлн графически. В результате такого расчета получаем толщину пограничного слоя вдоль поверхности. Эта величина в любой точке х вдоль ~поверхности оп~ределяет парамспр х уравнения (6-41), а с нвм и форму профиля ~пограничного слоя. Можно видеть, что отрицательное. х указывает 'на положителыную,кривизну профиля скорости на поверхности (у=О), т. е. ~профиль в форме буквы 5. П~ри х= 3 у стены имеегся дополнительный градиент скорости Ыи/ау=О. Большие отрицательные значения х привели бы к профилю скорости с отрицательными скоростями около стены, указывающими на ~наличие обратного потока.
Поэтому, когда расчет пограничного слоя дает величину х= — 3 в любом месте, тогда этот факт можно рассматривать как указывающий на отделение потока. Первые такие ~вычисления проводились Польхаузеном [Л. 53). Для описа~ния ~профиля скорости в пограничном слое вместо у~равнения (6-40) он использовал полипом 190 четВеРтого порядка и фассчитал развитие пограничного слоя вокруг круглого цилиндра.
Подобные методы ~расчета:разработаны также для турбулентного пограничного слоя. Турбулентные пограничные слои в ~потоках при больших градиентах давления встречаются значительно реже, чем ламинарные, поэтому методы расчета для них здесь 1не обсуждаются. 6-6. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ПЛОСКОИ ПЛАСТИНЫ Установление ламииа~рного,пограничного слоя вдоль плоской пластины при постоянном давлении для стационарного состояния было изучено довольно рано путе~и интегрирования уравнений пограничного слоя потока. Эти ,расчеты были выполнены Х, Блазиусом после того, как Л.
Прандтль пока~зал, что для ~рассматриваемых условий потока возможно преобразованиедифференциальных уравнений в частных производных (6-16) и 16-18) в полные дифференциальные уравнения. Два дифференциальных уравнения, описывающие поток, можно объединить в одно уравнение, вводя функцию тока Ч', оп~ределяемую следующим образом: дФ, дФ и= —; о= — —. ду ' дх Введение функции тока в уравнение непрерывности (6-18) удовлетворяет это уравнение. Уравнение количества движения (6-16) принимает вид: дФ д'Ч! дч! дЖ д'Ф 16-43) — — — — — М— ду дхду дх ду~ ду' Л. Прандтль показал, что это уравнение может быть преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение, если ввести новую независимую переменную и допустить, что функция тока может быть записана следующим образом: Ч1 ~/ чи,х 11т1), где 1 является функцией только т1.Введение этих двух новых 191 параметров 1 и и в уравнение количества движения дает новое уравнение 16-44) Граничные условия 16-19) для двух новых переменных такие: при 4=0 )=О; — =0; еч при и=-оо Совершенно очевидно, что функция 1 сразу же описывает две составляющие скорости согласно соотношениям Блазиус решил зто уравнение, разлагая функцию 1 в ряды.
Позже Пиерси и Престон 1Л. 54) дали другой метод, который привел к простому решению путем последовательных приближений. Для этого обозначим вторую производную от 1 через г. Тогда дифференциальное уравнение принимает внд; Если мы в какой-то момент рассматриваем 1' как данную функцию 4, то можно разделить переменные: и произвести интегрирование 1п я = — ф6) + 1п С,; я = С,е п~з. Дополнительное интегрирование приводит к следующему вы- ражению для скорости и в пограничном слов и 1 е1 1г с,г -пел — =-у —— — ~~Ы„= ~ ~ е А+С,.
и, 2,й~ 2) 192 Постоянные С, и С, определяются из граничных условий и после подстановки дают: ч ~геэ ~ее и О (6-45) и ~)1еэ 3) е Это уравнение нельзя рассматривать как решение уравне. ния (6-44), поскольку 'неизвестна функция 1", которая пояйляется в показателе степени в правой части уравнения. Однако оно может ~быть использовано для топо, чтобы получить ~решение путем последовательных приближений следующим образом. Делается первая оценка, функции 1.
Эта величина подставляется в уравнение (6-45), и уравнение решается относителыно и. Дополнителыное интегрирование дает ), которое опять можно подставить в уравнение (6-45) как второе приближение функции 1. Интегрированием получаем третье приближение, и так можно продолжать до тех пор, пока последовательные приближения не будут удовлетворительно совпадать одно с другим. Пиерси и П~рестон 1начали свои вычисления с,грубого допущения, что 1=2т1, и получили очень хорошее решение для профиля скорости всего лишь после трех последовательных повторений. Профиль скорости, полученный таким образом, изображен на рис. 6-16. Здесь при~водится также профиль, описываемый уравнением (6-26), с эквивалентной толщиной пограничного ~слоя.
Из ~рисунка видно, что совпадение вполне удовлетворительное. Точные 1решевия ура~внений лами~на~риего пограничного слоя получены также для д~вухмерного потока на поверхности, когда скорость потока изменяется согласно соотношению и,=Сх . Это ~распределение скорости устанавливается вдоль поверхности ~бесконечного ~клина с углом раскрытия а= =2тп/(и+1) =ря в несжимаемом потоке, направленном симметрично по направлению к вершине. Поэтому эти,решения относятся ~к типу ~решений для потока, омывающего клин. Опять-таки преобразование уравнений пограничного 13 — 308 193 ог о о г „г Рис. 6-16. Кривая распределения скорости в ламинарном пограничном слое вдоль плоской пластины, рассчитанная Х. Блазиусом и аппроксимированная полино- мом третьей степени.
60 ог о о ог оз оо оо йо йг 14 йо йо го гг г4 Рис. 6-17. Кривые распределения скорости для потока с ламинарным пограничным слоем над клином при разных значениях пара- метра давления р [Л. ЗЗ11. 194 слоя в обыкновенные ди~фференциальиые у~равнения возможно путем таких же преобразований, какими мы пользовались и прежде. Окончательное дифференциальноеуравнение в полных производных будет иметь вид (Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
