Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 26
Текст из файла (страница 26)
6-9. Пограничный слой вокруг рим скорость в главном обтекаемого потоком тела, потоке и„в таком масштабе, что она также будет порядка единицы. Можно ожидать, что скороспи в 1направленни основного потока в самом 1пограничном слое — величины такого же порядка. Мы можем легко определить порядок, величины составляюших скорости и в ,направлении у из уравнения непрерывности. Это уравнение требует, чтобы два его члена были 1велнчинами одного и того же порядка.
Поскольку и и х порядка единицы, произ1вод~ная ди/дх должна быть такого же 1парядка. Мы можем поэтому заключить, что дп/ди порядка 1 и что и должно быть 1порядка б. Под каждым из членов приведенного ниже уравнения непрерывности указывается порядок величины: да де дх ду — + — =О. ь 1 Ь Теперь перейдем к уравнению количества движения в направлении х. Ниже приводится уравнение количества движения и под ним указан порядок величины каждого члена: 1 1 1 Ь— 1 1 ь 1 1 ьг 173 Можно сразу же сказать, что второй член в левой части я!вляетоя величиной порядка единицы.
Первый член может быть величпной, порядка, меньшего 1, в случае чего мы рассматриваем действительный поток !как квазистациона!рный, или порядок величины !этого члена может !быть 1, как указывается здесь, или, !наконец, он !может ~быть ббльшим по сра|внению с !. Это означало бы очень быстрое изменение скорости во времени. Однако мы исключаем здесь эту возможность. Мы можем также оразу определить, что порядок ~величины третьего члена левой части уравнения будет 1. Допустим, что плотность р также порядка 1.
Для того чтобы опрвделить порядок величины первого члена в !правой части у!ра!пнения,,вспомним, что уравнение Бернулли (611) сп!раведливо !для потока вне пограничного слоя. Это у!равнение для струи может быть записано в таком виде: ар, аи, ах ~ ~ах — +'ри — ' = О. ! ! Ц! И|з-за тонкого пограничного слоя гра!диент давления не !может изменить !порядок величины.
Поэто!му можно заключить, что градиент давления та!кого же порядка величины, ~как л член, выражающий инерцию. Теперь следует проанализировать два остававшихся члена правой части уравнения. !Порядок величины двух членов внутри круглых скобок можно сразу установить н указать по|д соответствующими членами.
Очевидно, что,можно пренебречь членом дзи/дхз по сравнению с членом дзи/ду'. Оставшийся член, выражающий вязкость, должен быть теперь такого же порядка, как и другие члены в уравнении, если желательно иметь уравнение, содержащее члены, которые будут соответствовать силам вязкости. Поэтому 14(д'и/ду') должно быть порядка 1', что будет выполнено, если мы предположим, что имеем вязкость порядка б'. Это означает, что для того, чтобы создать поток пограничного слоя, вязкость должна быть совсем мала, а именно — порядка бз. Такой же порядок величины аргумента для уравнения количества !движения по направлению у приводит к выводам, содержащимся !в след~ующем уравнении: 174 ь'! — — !— ! ! В 42( — + — ~ 4~ ,Все указанные члены имеют порядок величины б.
Следователыно, др/ду должно быть порядка б, которым можно пренебречь ~по правнению с ~величинами порядка 1 в первом уравнении. Это ~указывает на то, что измененме давления по всему пограничному слою в на~правлении, перпендикулярном ~поверхности, пренебрежимо мало.
Другими слова(ми, давление ~в пограничном слое определяется основной струей потока вне пограничного слоя. Система уравнений, описывающих двухмерный поток пограничного слоя жидкости с постояннымн характеристиками, имеет вид: р(д, +пт+ — д)= — д +р —,; (6-16) 7ди ди ди ~ др д'и ~~ =О; (6-17) ду — + — =О. ди ди дА ду (6-18) Граничные условия для этих уравнений: при у=О и=О, о=О; при и= оо и=и,. (6-19) Предполагается, что стенка, у которой образуется пограничный слой, ~находится ~в состоянии ~покоя. Может показаться странным, что второе граничное условие за~ппсывается для у=ос, тогда как система уравнений пограничного слоя описывает поток,в предполагаемом тонком пограничном слое. Решения, полученные из этих уравнений, показывают, что скорость, потока фактически быстро приближается на коротком расстоянии от стенки к постоянной величине.
Решения для этих т1рех уравнений можно получить значительно более простым путем, чем для ура~аникий Новье— Стокса. Эти уравнения нелинейные; однако одно переменное исключается, поскольку давление теперь следует рассматривать как ~величину, предписанную основным потоком, Кроме того, один из двух членов вязкости в оставшемся уравнении количества движения также опущен, Для вращательно-симметричного потока уравнения абсолютно одинаковы. Едмнственное изменение имеет место 175 в уравнении ~непрерывности, которое нуж~но записать следующим образом: (6.20) х опять измеряется .вдоль поверхности тела вращения, у— нормально .к поверхности, и и о — соответствующие со.
ставляющие скорости и г — расстояние рассматриваемой точки ~поверхности от оси вращения. Мож~но заметить, что система уравнений пограничного слоя совершенно ~не за~висит от тем~перапуры, поскольку свойства .величин р и р, входящих в них, считаются постоянными. Это подтверждает вывод,' сделанный ранее о том, что для жидкости с постоянными физическими свойст~ва~ми ~поле скорости полностью ~не зависит от температу~рного поля ~в самой жидкости. Теплообмен ве имеет никакого влияния на физические ха~рактеристики потока.
На стр. 155 упоминалось, что почти все потоки, которые встречаются,в технике, можно с достаточной степенью точности считать ~стационарными. Количественная оценка того факта, ~копка поток ~пограничного слоя можно считать квазистационарным, теперь может быть сделана путем сравнения первого члена в уравнении (6-16) со вторым членом. Скорость и имеет порядок и„градиент скорости др/дх порядка и,//, при /„ указывающем характерный ,размер тела.
Если величина, которой ~мы измеряем время, ,равна тв тогда ди/дт-будет ~порядка и.,/тв Первым членом уравнения (6-16) можно пренебречь, когда и, и, 2 т. — (( — ' или ч ~ —. ~а и .Для тела с ~размером /.=0,3 м, погруженного в поток, движущийся со скоростью и,=30 м/сек, лоток ~можно ~рассматривать |как квазистацнонарный, ковда измененияв нем имеют место за период времени, больший, чем то=1/10 сея. Изменения- за такое короткое ~время встречаются редко.
Некоторые решения уравнений вограничного слоя будут рассмотрены позднее. Теперь же ~вернемся к интегралнному у|равнению количества движения и с его помощью 1вычислим толщину пограничного слоя. Это действие даст только приближенные ~результаты; од~пако оно имеет то огромное преимушество, особенно для задач технических, что сачмо вычисление значительно короче и этот Метод может приме- 176 няться широко, тогда как даже ~со значительньими усилиями решения 'дифференциальных уравнений попраннчного слоя были получены для ламииарного потока только в ограниченном числе случаев. Преимущество интегрального уравнения количества движения заключается главным образом,в том, что оно является об~щим дифференциальным уравнением для х, в то время как полные уравнения пограничного слоя являются частными диф~ференциальньами уравнения~ми для х и и.
аль ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ Рис. 6ЛО. Ламииариый пограничный слой иа плоской плите. на допущении произвольного выражения для распределения скоростйс ~некбторым числом постоя~нйых, 'вычисляе: мых с соблюдением определенных условий.
В качестве пбследдйих;могут' быть 'иопольывайы словия на поверхноу " Р "ю ' ДГ и а слоем и потоком'1у=б): Известно, что при у=О и=О; 16-21) при д.=й 16-22) 177 12 — 306 Используем уравнение (6-6) для,расчета толщины пограничного ~слоя на поверхности, плоской стенки при уста~новившемся потоке. Как ~уже упоминалось выше, у поверхности плиты близ ее переднего края существует ламинарный пограничный слой (рис. 6-5). Пусть скорость движе. ния жидкости за предела~ми пограничного слоя будет постоянной вдоль всей плиты.
Тогда согласно уравнению Бернулли и давление также будет постоянным, поэто- ср и му последний член ~уравнения (6-8) обращается в ~нуль. Как по- тш казали измерения, кривая распределения скоростей в ламинарном пограничном слое имеет форму кривой, изображенной на рнс. 6-10. м мм ~ ии камее'«ю т. ку р Если уравнение пограничного слоя (6-16) записано для у= О, тогда для постоянного давления при у= О д'и (6-23) По выходе за пределы пограничного слоя у)8 кривая распределения скоростей должна отражать существование постоянной скорости и,, не претерпевая разрывы непрерывности.
Поэтому для у=8 ди — = О. у (6-24) и = а+ Ьу+ су*+ Ну' (6-25) Эти коэффициенты можно определить, подставляя уравнение (6-2!) — (6-24) в уравнение (6-25). Они будут иметь вид: Зи 1 и, а=О; Ь= — '; с=О; г(= — 2 и кривая распределения скоростей определяется уравнением и 3 у 1 туто и 2д21а) (6-26) Используя эту формулу для интеграла количества движения в уравнении (6-8), получаем: У= р~(и,— и)ийу=ри,~ ~ — —" — — Я ~ Х о о хà — ++++( — ",)'1ы Верхний предел определенного интеграла ~необходимо было измео1ить на б, так как для у>б скорость и=и, и подынтегральное выражвние обращается в нуль, а также поскольку уравнение (6-26) справедливо только для у~ 8, 178 Это необходимое условие.
Можно показать, что вторая, третья или любая другая более высокая производная будет также равна О при у= 8. Но мы удовлетворимся здесь четырьмя условиями (6-21). — (6-24). Соответственно мы можем выбрать для профиля скорости выражение с четырьмя неопределенными коэффициентами, например Если перемножить еыражения в скобках, а затем вы- полнить интегрирование, получим. 39 а У = — ри,б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
