Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Однако, вычислительная работа трудна и громоздка. Поэтому в настоящей чьииге принимается приближенный метод, разработанный Т, Карма~нам 1Л. 4У1..Этот метод отлнчаепся болыиой простотой и имеет то преимущество, что ан ~может быть, применен ~для тех случаев, когда точное ,решение невозыоньно. Во всех случаях 1разумного применения этого Ориближеннаго метода он давал удовлетворительные, результаты.
Он основа~и на законе количества движения, который для стабилизированного потока можно оформулдровать следующим образом: Выделим в потоке участок, ограниченнь1й постоянной поверхностью произвольной формы. Частицы жидкости, проходя через этот участок, меняют свое количество движения. Известно, что количество движения равно массе, умноженной на скорость. Увеличение количества движения всех частиц, проходягцих через данный участок за единицу времени, можно вьс'1бт разить Как разность между количеством движения часгяц, вышедших из участка за единицу времени, и количеством движения частиц, вошедших в участок за ту же единицу времени, Это изменение количества движения в единицу времени равно силам инерции и должно находиться в равновесии с внешними силами, действующими на поверхности участка или внутри него.
Теперь применим этот закон к двухмерному потоку вдоль плоской стенки (рис. 6-8). Используемая сггстема координат расположена таким образом, что ось х ~параллельна поверхности стенки, а ось у перпендикулярна к ней. Вектор скорости и параллелен поверхности стенки. 1 г Вектор скорости о, нормальный к и плоскости стенки, незначителен. Зат кон изменения количества движения применяется к направлению движения вдоль оси х. КонтрольРнс. Сз. К расчету гнд. НЫй УЧаСтОК В фОР~МЕ .ПаРаЛЛЕЛЕПИ- ранннаинчеснсгс ангра-,педа выделяется двумя плоскостяннчного слоя. ми: 1 — 2 и 3 — 4, находящимися на расстоянии йх друг от друга, плоскостью, параллельной поверхности стенки и проходящей на расстоянии 1 от последней, и ~поверх~костью самой стенки.
Значение 1 превышает толщину пограничного слоя б. Кривая раепределения скоростей в плоскости 1 — 2 изображена на рис. 6-8. На ~расстоя~нии у от поверхности стенки скорость ~равна и. Скорость потока иа за пределами пограничного слоя достигается на ~расстоянии б от.:поверхности стенки, а поэтому наблюдается и,в выделенном участке 1.
Плоскости, ограничивающие выделенный участок параллельно, плоскости чертежа, находятся на ~расстоянии единицы друг от друга. За единицу времени через элемент Ыу ~на расстоянии у от поверхности стенки протекает мааса, равная риду. Ее количестводвижения в направлении оси х получается умножением этой величины на составляющую скорости и. Тогда для количества движения получаем величину риаау. Количество движения жидкости, протекающей через всю плоскость 1 — 2, равняется: 168 р ~ инду. а При движении вдоль оси х количество движения изме.
няется на величину 1 р —, ~ и'4у йх= р4х„~ ~ и*ду. О о Через плоскость 1 — 3 движения частиц нет, однако через плоскость 2 — 4 движение частиц обычно происходит и его можно рассчитать следующим образом, Через плоскость 1 — 2 за единицу времени проходит масса, равная р )ийу.
При перео и мещении иа расстояние дх масса изменяется на рдх . ~( я'х Х ~ и4у. а Эта разность массы потока, проходящего через плоскости 3 — 4 и 1 — 2, должна выйти в параллелепипед через плоскость 2 — 4. Составляющая скорости в направлении оси х в втой плоскости и,, поэтому количество движения жидкости, проходящей через плоскость 2 — 4, равно: ри,Йх — „и ~иду. о Отсюда общее увеличение количества движения жидкости в параллелепипеде равно: — ри дх — ~ ийу+ рйх — ~ и*йу= — рйх — )( 4 г Фх ) Ых ) дх о ..
о с с ци, е Х ~(; — и) и у+ р4х „,.') и у. о о На поверхность ~параллелепипеда в направлении оси х действуют следующие внешние силы: напряжение трения т.„ вдоль поверхности стенки 1 — 8 и давления р и р+ + фр/4х)Нх на поверхности 1 — 2 и 8 — 4 соответственно. На поверхности 2 — 4 напряжений трения ~нет, так как зта плоскость находится за пределами поираничного слоя. 169 Приравнивая эти силы приращению количества движения, получаем: р„— ~ (и,— и)иду — р — „'~ийу=т +1 — „.
(6-8) о о теория пограничного слоя показывает, что давление р изменяется в направлении у по всему ~пограничному слою ли~шь незначительно. Поэтому уравнение Бер~нулли (6-1) можно использовать, чтобы привести уравнение количества движения (6-8) к ~виду, более подходящему для числовых вычислений. Согласно уравнению Бернулли скорость и, в потоке за,пределами пограничного слоя ~связанна с градиентом давления следующим об~разом: ир оя — = — ри ох о ох Подстановка в уравнение (6-8) приводит к выражению и г ди, г р „— )~ (ц — ) ийу+ р ~ ' )~ (ц — ) г(у = (6-10) Пределы интегрирования теперь изменились, поскольку в области о(у(1член (и, — и) в подынтегральных функциях равен нулю.
Это уравнение можно записать в более простом виде, если использовать следующие сокращения: 170 Это уравнение можно использовать, чтобы выразить последний член правой части уравнения (6-8), имея в виду, что скорость потока и, не зависит от у: др оо,р 1 — = — р '~ иду. дх — их 1 о (6-13) Решения уравнения количества движения пот1раничного слоя будут рассматриваться в следующих параграфах. Однако ~в начале ~рассмотрим точные уравнения пограничного ~слоя, ~выведенные Л. Прандтлем. Первая величина называется (г(1эр!асегпеп1 1(11с(спезз) эювивалинтюой толщиной смещения попраничного слоя, поскольку она указывает, до какой степени следует перемещать поверхность в направлении к потоку для того, чтобы создать такое же внешнее лоле ~потока в повязкой жидкости. Вторая ~величина бт называется (гпогпеп1шп 1(т)с(спезз) толщиной количества движения попраничного слоя, поскольку он связан с потокам количества движения или импульсом через плоскость, ~нормальную,к поверхности.
Уравнение ~погратеичного слоя, записанное с двумя талщкнами пограничного слоя, юмеет вид: д а ди, р„— (и,б,.)+ри, 'Ва=~ . В-З. УРАВНЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ , ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА В этом парагра|фе мы выведем уравнение погра~ничного слоя,из уравнений Навье — Стокса. Эти уравнения, которые, вообще говоря, описывают поток вязкой жидкости, были выведены Навье (1827) и С. Д. Пуассоном (1831) в ~результате 1расомотрепия межмолекулярных сил н Сен-Венаном (1843) и Г. Г, Стоксом (1845) на основании предположения, что нормальное напряжение и напряжение трения,в жидкости пропорциональны скоростям деформации.
Уравнение Навье — Стокса,не будут выводиться здесь, поскольку такая операция, займет много места. Вывод этих уравнений можно найти в учебниках по Риека~нике жидкостей, ~на~яр~имер в «Теории пограничного слоя», Х. Шлихтинга, Для жидкости с посткяпными характеристиками, движущейся относительно стационарной системы координат х, у, г с составляющими скорости и, о, в, )ара~внения Нэвье — Стоюса выражающие баланс сил ~давления и сил вязкости по трем направлениям, имеют вид'.
!ди ди Ыи ди т др р( — +и — +о — + тн — ~= — — + ( де дх ду дг 7' дх ' Предполагается, что объемными силами можно пренебречь. 171 тдо до до дол др р ~ — +и — +о — + ш —.)= — — + (д~ дх ду дх) ду + (3+$+3)' /ди дм дв ди Х др у ~ — +и — +о — + ш — )= — — + ( до дх ду дг) дх (б-14) где т выражает время. Кроме того, нужно выполнить условие сохранения массы: ди до дв — + — + — =О. дх ду дх В своей знаменитой статье по пограничным слоям, опубликованной в 1904 г., Л. Прандтль пришел к заключению, что л жидкостях с нез~начительной вязкостью влиянием вязкости можно пренебречь; исключение составляет лишь тонкий слой вдоль твердых поверхностей.
На основании этого он начал упрощать уравнения Навье — Стокса путем определения порядка величин .различных членов в этих уравнениях, Придерживаясь в оановном его идей по выведению уравнений пограничного слоя, мы ограничиваемся двухмерным потоком (ш=О, д/да=О).
Применение этих уравнений к ~ротационно симметричному потоку будет спела~но ниже. Трехмерный поток в пограничном слое обратил внимание на себя недавно в связи с второстепенными задачами. Однако это слишком специфичная н сложная задача, чтобы обсуждать ее здесь. Исходя нз того, что уравнение (6-14) должно описывать поток в тонком пограничном слое, мы предполагаем, что толщина этого слоя б очень мала по сравнению с любым ,размером твердого тела, погруженного в поток и окруженного, пограничным слоем. Если поверхность этого тела искривлена, тогда мы предполагаем, что пограничный слой также тонкий по сравнению с ~радиусом кривизны в любом месте вдоль поверхности.
При этих условиях можно выбрать систему координат, внутри пограничного слоя, как показано иа 172 рис. 6-9, на котором ось х ййвравлейа йдоль поверхностй тела, а ось р ориентирована нормально к ней и указывает на1правление наружу. Следует ожидать, что в тонком 1погра1ничном слое изменение таких парамет1ров, как и, и, р, характеризующих поток, ньроисхсьдит гораздо скорее в направлении у, чем в направлении х. Приняв это во внимание, мы~ выбираем напра1вление й измерением его в меньшем масштабе, чем длину ~в 1на1правлении х, Это можно сделать, полагая что х является величиной порядка единицы, тогда как у имеет порядок величины б. Все другие величины, входящие в уравнения (6-14) и (6-15), 'мы предполагаем, что они порядка 1, за исключением вязкости, которая считается небольшой. Например, мы изме- Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
