Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 20
Текст из файла (страница 20)
в А Необходимо определить постоянные А, В и й из граничных условий. Полагаем, что функцию 1,=/(т) можно выразить рядом Фурье: 1, = †'+ ~~~ (а„соз — +Ь„ з)п ~1. (4-57) е ~е Уравнение (4-55) для х=О принимает вид: 1, = А соз Иат+ В яп а»ат. (4-58) Таким образом, сравнивая уравнение (4-57) и (4-58), мы видим, что А=а; В=Ь; й= ~~ —. . ° Г2ли Постоянный член а,/2 нли средняя температура при х=О не входит в решение (4-58).
Этот член обычно является средней величиной колеблющейся температуры при х = О и является результатом начальной неравномерности в момент времени, равный нулю. Ранее мы получили такое решение, которое для етого случая имеет вид: 1=ф(1 — ег( ) . (4-58)' ~за других складываются, чтобы получить другое частное решение: — С +'(»" "'»") ' '(»" '5~")~ (4-54) Физический смысл только что записанных более сложных решений можно выяснить, рассматривая более простое решение (4-62), Рассмотрим уравнение (4-62) при некоторых значениях пространственной координаты х, полагая, что х— постоянная величина. Поскольку сов 2ти=+1, когда т=0,1,2, 3,...,1 будет максимальным, когда 2ялт У ив — — — х=2ти Г или для любого х.
2воч Для поверхности х=О температура 1, =го „сов в и яв- 2илт ляется максимальной, когда — = 2ти или та =т — ' гом и при х=О. Сравнивая значения времени, когда имеет место максимальная температура на глубине х и на поверхности, можно видеть, что колебания имеют такой же период е,/и на каждом расстоянии от поверхности, но колебание на расстоянии Рис. 4-18.
Сравнение изменения температуры поверхности и изменения температуры на глубине х с течением времени для периодического стационарного состояния в полубесконечном теле. 135 от поверхности х запаздывают по фазе от колебаний на поверхности на 1/2 ~еа/апих. Кроме того, амплитуда колебания на расстоянии от поверхности х уменьшается на множитель е "н"". Эти физические особенности графически изображены на рис.
4-18 и 4-19. В аг ВВ аВ аВ РВ Рис. 4-19. Распределение температурных колебаний и стенке бесконечной толщины [Л. 325]. (4-63) х,=2 ~г — "". Величина то„соз [1/пж/а с,х — (2кпе/и,)) выражает ту же волну, что и раньше, но сдвинутую в положительную сторону направления х на величину 2иле/се. Таким образом, скорость распространения волны принимает вид 2Уиал/~,. Амплитуда упреждающей волны умень- 133 Если напомнить, что косинус является четной функцией, т. е. соз ( — р) = соз р, то решение (4-62) может быть записано в виде: 1= у,„е ""'"' (~Г "—" — — '" ) . Величина 1,„соз 'р' йи/асах выражает косинусоидальную волну с амплитудой (,„и длиной волны х,. Длина волны равна: шается с удалением от поверхности на множитель е — тгч~~~аздх Эти характеристики приведены на рис.
4-20. Решение (4-63) показывает также, что чем выше частота (чем больше и), тем меньше проникновение тепловой волны, т. е, высокочастотные тепловые' колебания быстро затухают по сравнению с основными или более низкими гармоническими колебаниями. Рис. 4-20. Характеристика колебания температуры в по- лубесконечной стенке. х = 1,6 )~я 3,62 10-'24 = 0,835 1м. Для годовой флуктуации глубина проникновения будет кратна и' 365, т. е.
15,94 л. После того как начальные нестационарные явления исчезают, в периодическом процессе направление потока тепла будет изменяться, поскольку температурный градиент на поверхности то положительный„ то отрицательный. Количество поглощаемого илн отдаваемого тепла мощно определить из уравнения теплопроводвости Фурьв: ~ч, = — м ( — ~) (4-64) 137 Пример 4-6. Следует определить, на какую глубину проникают в землю дневные и годовые температурные колебания. Из приложения можно получить температуропроводность глиноподобной почвы 3,62 ° 10-з лз/ч и температуропроводность песчаника от 3,8! ° 10-з до 4,55 10-' мз/ч. Вычисления проводились при более .низких значениях 0,039 †,62 1О-~. Из рис.
4-19 видим, что практически колебания затухают при к/(2 пат„) =0,8. Для дневных колебаний то=24 ч. Таким образом, получаем: Если решение (4-62) продифференцироватгь например, по х и подставить в уравнение,(4-64), мы получим уравнение ч / ля ( 2ллт 2клт ) г(Я. — — — аА! ~ — 1 з1п — — соз — л! бт — — -У та нли сот. г3( - — Глл (2клт л ) — = — Рг2 ХА! ~г — з1п ~ — — — ), г(т олт ат, 'х т, 4/' которое при интегрировании в пределах от т, до тз принимает вид: . ° ~ та г'2ллт л 'г () =Я( ~ =)(А! ~у — 'соз ~ — — ) ~ .
(4-65) Ом т' 2ппа 'Х та 4 ) ч Зависимость между максимальной и минимальной температурой, а также между максимальным и минимальным тепловым потоком показана в табл. 4-2. Таблица 42 Фавоаые соотношения в периодическом стационарном состоянии тепла (Л. 326) ах=о та 8 л Мах Мах та 4 л 3 т 8 л М1п та 2 л 5 тз 8 л М!и М(п Мах 9*, 8~ та л Мах Используя величины времени для (9ч,зс и Д „„в решении (4-65), можно вычислить количество тепла, втекиающего в твердое тело за полупериод: (4 66) 5( вде Решение (4-65) изображается графически на рис.
4г2!. 138 3 та 4 л % ('ю/л) а( ~ = „„)à — '„'„' . 7 т, 8 л Йолубесконечное твердое тело. Температура окружающей жидкости периодически изменяется во времени. Если температура жидкости, соприкасающейся с открытой поверхностью х=О, изменяется периодически Рис. 4-21. Фазовые зависимости в периодическом потоке тепла [Л. 328[. 1 =1 ч соз —, 2ппт (4-67) а граничное условие на открытой поверхности с учетом переноса тепла конвекцией (4-68) (д ) Частное решение дифференциального уравнения дается решением (4-56), которое повторно приводится здесь для удобства: т — С,а-' ива' соз ([с'ае — [[1~2 Их — 3).
Следовательно, необходимо определить значения С„7в и В, используя решения (4-56), (4-67) и (4-68), чтобы получить 139 и теплообме~н происходит с коэффициентом теплообмена а, то решение в основноти такое же, как .н полученное в пре- дыдущем разделе.
Температура жидкоопи изменяется по закону решенйе предложенной задачи. По вычислении этих посФояя. ных, решение принимает вид: а-Уап!амх х рг 1 + 2У(яп)г')ат,а') + 2(кпХа)ат,а') тэ а пта 1 1 + Уатэаа)кп1зу Тщательное рассмотрение решения (4-69) для условий !на поверх~ности (х=О) приводит к заключению, что температура шоверхности !о колеблется с такой же частотой п(то, как и температура окружающей жидкости, но амплитуда колебания температуры 'на поверхности уменьшается на величину (4-70) )' 1 + 2У ппР/ат,а'+2(апХа)ат,а') Из вышеприведенного решения очевидно также, что для больших значений критерия Био температура поверхности подходит близко к тем!пературе жидкости, а для меньших значений критерия Био разница становится больше. Кроме того, более высокая частота тепловых колебавший 1менее эффективна при проникновении в тело, чем низкочастотные колебания.
Пример 4-7. Случай периодического переноса тепла имеет место в цилиндре двигателя внутреннего сгорания с возвратно.поступательным движением рабочих частей. Нужно рассчитать глубину проникновения температурных колебаний в стенку цилиндра. Предположим, что двигатель делает 2 000 об)лип. Если двигатель имеет двойной ход поршня, то период одного колебания равен: 1 1 ч а 60. 2 000 12, 10а Температуропроводность железа составляет а =0,0596 ма)ч. Таким образом, используя опять величину х/2 У аат, = 0,8 согласно рис.
4-19 как меру практической глубины проникновенна, мы можем вычислить х ъ / а 0,0596 12 !Оа Таким образом, колебания температуры проникают только на глубину 2 лл в стенку цилиндра. Из-за конечной величины коэффициента тепло- обмена температура поверхности стенки цилиндра будет изменяться со значительно меньшей амплитудой, чем температура газа в цилиндре. !40 Уменьшение» нчпляг)гдьг ьгожно вычислять прн помощи формульг (4-70). Принимаем п=! для основной волны и берем из приложения Л=44,6 акал/м' ч ° град и оцениваем а=4886 клал/м' ° ч. град, тогда нЛ' к(44,6)'12 10' а»,»к 0,0596 488,6 (1+ 2)'52760+ 2 52760) Ч»=0,0031.
Если температура газа изменяется с двойной амплитудой в 1 647'С, тогда температура поверхности стенки цилиндра имеет двойную амплитуду 1 647 У( О, 0031 = 5, 1' С. Согласно испытаниям, проделанным А. Майером [Л. 36) с двигателем Отто при п=2 000 об/мин, колебания температуры поверхности составляли приблизительно 11' С. ЗАДАЧ И 4-1. Стальная болванка, ~параллелнпипед по форме, с измерениям|и 1,22Х!,22Х305 м с начальной температурой 260'С помещается.
в печь, в которой температура поверхности составляет 1 203'С. Определить температуру точки вблизи угла болванки через 25 мин. Точка, о которой идет речь, расположена в 5,1 см от одной поверхности и в 20,3 см от каждой из других поверхностей.
4-2. Поверхность твердого тела повернута к спокойному потоку воздуха; температура по всему твердому телу такая же, как и температура воздуха. Поверхность твердого тела неожиданно подвергают действию потока тепла г)= 1 085 кнал/м' ° ч. Определить изменения температуры поверхности твердого тела как функцию времени. Через 1 сгк облучение прекращается. Определить изменение температуры поверхности со временем от момента прекращения облучения. Х, ккалр» м град р, кг!мг С , ккагркг град 544 0,50 1,2 0,24 0,149 0,022 Твердое тело . Воздух 4-3.
Кусок броневой плиты из !5»/г марганцевой стали (а=0,0111 мз/ч, А=14,88 ккал/ч ° м град) толщиной в 40,6 см извлечен из нагревательного колодца для поверхностной закалки. Плита закаливается в воде при 100' С, причем коэффициент тепло- обмена равен 10,750 клал/м' ч град на поверхности. За какое время температура плиты,в точках, удаленных от паверх~носпи иа расстоянии 6,4 мм, достигнет 370' С. 4-4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
