Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если температура в точке Р(х, у) известна, то, применяя ряды Тейлора, можно температуру в окружающих точках вычислить с любой желаемой степенью точности. Например, принимая точку Р (х, у) за нулевую, получим: г =т +(д„) и+(3 х] 2, +(~ — „,) —,+... (3-86) ' Имеется ряд методов, основанных на аналогии теплопроводности с электрической проводимостью, потоком жидкости и т, д., которые можно использовать, чтобы получить графическое изображение желаемой формы или для грубого определения коэффициента формы. Более 'употребительные из этих систем обсуждаюяся П.
Дж. Ш~нейдером, «Теплопровод~ность», гл. 13 [Л. 351 '. ' Имеется русский перевод. Прим. ред. 7 — 308 97 (,=1,— ( — ) а+~- —,) — —,— ( —,) —,+... (3-87) Если уравнения (3-86) и (3-87) обьединнть, то получаем 1, + 1, = 21, + ( —,) а'+ 0 (а'), (3-88) Подобные уравнения, основанные на выражении для дчх ) — ) можно записать: ду) ' о Я.=' ' '+0" дмт 1,+~,— 2~, '+О (а'1.
Юу') а' Сумма этих вторых производных дает решение уравнения Лапласа с точностью порядка а'. , 7дЧ~ 1,+~,+~,+~,— 4~, ( ') +(') ' Решение уравнения (3-89) для температуры (, выражается через температуры окружающих точек в состоянии равновесия г,+г,+г,+г (3-90) о Ц е л ь ю э т о г о м е т о д а является установление в теле такого температурного поля, каждая точка которого удовлетворяла бы уравнению (3-90). Чтобы проделывать это систематически, определяем остаток Я,: 0,=1,+1,+1,+1,— 41, (3-91) и задача сводится к приведению остатков к нулю для каждой точки тела.
Рассматривая рнс 3-27 опять в свете уравнения (3 91), замечаем, что изменение температуры на единнцу,в любой из близлежащих точек может изменять остаток Яд на 4-1, в то время как изменение температуры самой точки на единицу изменяет остаток Яз на .+4, Это вв где 0 (а') указывает на остаточные члены порядка а'. Уравнение (3-88) может быть записано явно в членах (д (/дх'),: (''1= ' и . ~, + ~.-2~, +0(,~) дх /ю а* является ключом к вычислению, На рис, 8-28 изображена модель релаксации, которой удобно .пользоваться.
Следующий простой пример вполне объясняет этот процесс. Пример 3-7. В |качестве примера, иллюстрирующего этот метод, рас- смотрим Ь-образный угол. Такой угол показан на рис. 3-29. Температу- ра на границах стенки постоянна. Начальное распределение температур предполагается соответствующим граничным условиям. Величины распределения температур показаны оправа от узловых точек. Следующим шагом является подсчетостатков для каждой из узловых точек путем использования соответствующей модели релаксации,' которая в этом случае является моделью длн уравнения Лапласа, поскольку источники тепла отсутствуют. Остатки показав / ны налево от узловых точек.
Воздействуя на самые большие остатки, перемещаются от точки к точке, изменяя температуры и уменьшая остатки. При этом не,надо стремиться точно установить температуру. Как и при любой экопернменталыной работе, умение приходит с,практикой. На рисунке показано ~несколько первичных вьгчнсленнй, иллюстрирую- щих этот метод. Ввиду симметрии вычисления произведены лишь для половины угла. Если рассматриваемое нами тело имеет источники тепла, то урав- нение твплопро~вопностн принимает вид уравнения Пуассона д'1 дм Я'(х, у) дх' д ' )г (3-92) Снова используя выражения для частных производных, получаем: +0(а') =1(х, у).
(3-93) Я,=1, +1, +1, + 1,— 41,— аз)(х, у). (3-94) В случае уравнения (3-94) модель релаксации нужно изменить, как показано ~на рис. 3-30, чтобы отобразить плен аз) (х, у), характеризующий твпловыделение. Очевидно, что источники тепла могут быть произволыно распределены по всему телу, это раопрвлеленяе ~изображается точками при проведении вычисления. Таким образом, источник тепла является своего рода модификацией влияния азменення в нулевой точке. Метод релаксации можно использовать и в цилиндрической системе координат; однако в этом случае уравнения, соответствующие уравне- 7Ф 99 Остаток Я, в этом случае, пренебрегая членами четвертого и более вы- сокого порядка, принимает вид: Ъ Ъ о х 6$ Ю О ° Ъ Ъ ЪЪ Ъ Ъ ь ь » „Д Ъ Т ь ь ь й Ъ» О. о .Я О м Ъ, О.
ЪО о » Ъ» ОЪ С;» ЪЪ ЪЪ о х а пням (3-91) и (3-94), не так лепко применить. Заменой переменных можно свести цилиндрическую систему координат к прямоугольной системе, выраженной в новых переменных. В условиях стационарного рекима урамнение теплопроводноспи в двух измерениях г н 0 принимает мнд; Рис. 3-30.
Схема расчета методом релаксации для уравнения Лапласа — Пуассона. <ЛУ! ллогнеплта дет 1 дт 1 де! — + — — + — — =О. дг' г дг г' д0' л> (3-95) Примем 0=1пг, ч)=0; таким образом, ре Уг "ге Ь ге Уг Уг Уг б с бе ца с с, ц =Глг да! да! дбе даре дт 1 дт , дг г дь' да! 1 дет 1 д! Гс,р!лтам ем э 4 Рис. 3-3!. Логарифмическое преоб- разование в цилиндрической системе. а — цнниилричеекие координаты; б — тру- ба и преобрааонанных координатах.
дг' г' дР г* д4 Подставив зти значения в уравнение (3-95), получим: де! д'à — + — =О, (3-96) д0е 09а где теперь Г=Г(ь, П). Теперь можно применить систему релаксации— уравнение (3-91). Новые граничные условия можно получить, используя соотношения ь=!и г и т)ае О. Полученные результаты легко ~изобразить графически, переходя от системы !(ь, е)) к системе Г(г, О). Рассмотрим рис. 3-31. На рис. 3-3!,а изображена часть трубы, для которой требуется определить температурное поле.
На,рис. 3-31,б изображена часть трубы, преобразованвая в плоскость (Ь, т!) путем замены Г,=!и г; П О. Граничные условия изображаются здесь как постоянные температуры поверхности; однако если температура поверхности изменяется в зависимости от г нли О, илн от г и 0 вместе, то еа величина 101 у граничной точки будет соответствовать такой же точке преобразований в (ь, Ч) плоскости Прямоугольная сетка релаксации может быть применена непосредственно к рисунку в плоскости (ь, Ч), чтобы вычислить температуры в каждой точке. Поскольку это уже установлено, величины температур для этих точек связаны через условие преобразования с точками в плоскости (г, 6) и таким образом задача решена. ЗАДАЧИ 3-!.
Напишите выражение для зависимости температурного поля от длины в коническом ребре, основание которого имеет радиус Ь и угол а у вершины. Температура у основания считается постояв~ной. 3-2. Измерения, проводимые при .помощи ряда термопар, присоединенных к полубесконечиому телу по направлению теплового потока, показывает, что б//г/х<0 и что бэ//г/ха<0. Какой вывод можно сделать на основании этих экспериментальных наблюдений? 3-3. Предложили нагревать воду при помощи двухкнловаттного нагревателя Калорда диаметром в 2,5 мм и длиной в 71 см.
Нагреватель поместили (концентрически) в трубу с внутренним диаметром 1,59 см. Коэффициент теплообмена,к потоку воды, проходящему через нагреватель 146 538 ккал/мз ° ч град, температура воды ~на выходе 60' С. Можно ли использовать нагреватель в медной оболочке? 3-4. Труба диаметром 20,32 сл проложена на глубине 76,2 сл ниже поверхности земли. Температура на поверхности земли 4,4'С, температура стенки трубы 83,5'С.
Определите стационарный поток тепла от трубы к поверхности земли при помощи графического изображения потока. Сравните результаты этого измерения с результатами, полученными вычислениями. 3-5. Сколько требуется стеклянной н минеральной ваты для изоляции, чтобы температура плиты в кухне не превышала 58'С. Максимальная температура в печи поддерживалась при помощи термостатической регулировки я достигала 288' С. 3-6. Стены холодильника изолированы стеклянной ватой толщиной 7,62 см, которую поместили между наружной и внутренней стенками холодильника. Поверхность внутренней стенки вблизи испарителя — 6,6' С.
Показа~яки твпломера, установленного на внешней степке, 40,7 ккал/ма ° ч; температура внешней среды 32,2' С. Эффективна ли изоляция? Если иет, то укажите причины низкой эффективности. 3-7. Опрелелите температурное поле при стационарном резкиме н балке прямоугольной поперечной плошади сечения 6,35Х254 мм очень большой планы по сравнению с другими измерениями, через которую проходит ток 100 а. Балка — медная, температура окружающего воздуха 18,3'С. 3-8. Вычислите теплообмен через стенку круглого цилиндра с эксцентрическим каналом.
Внешний диаметр равен 20,32 см, а внутренний !2,7 см и эксцентричность 2,54 см. Температупьа внутренней поверхностй равна 121' С, а внешней поверхности 30 С. Материал, из которото изготовлен цилиндр, проводящий, неизолируюший. 102 3-9. Завершите решение задачи, показанной на рис. 3-29. 3-10. Определить стационарное температурное поле в любой точке Р(ь Е) длинного стержня радиусом 11, половина поверхности которого пои 0<0 <и сохраняет температуру г„в то время как другая половина и<0 <2п сохраняет нулевую температуру. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИйвЕ рс(г — = — аА (1 — 1 ).
Н1 и'т (4-1) 103 4-1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В |предыдущих главах рассматривались такие системы, в которых в результате теплопроводности процессы изменения температуры во времени был~и завершены. Теоретически считается, что требуется значительный промежуток времени для установления стационарного потока тепла и исчезновения влияния переходных явлений на границах системы. В этом разделе будет обсуждаться процесс нагревания или охлаждения тел, т. е. так называемые переходные про- Фгю це осы. Твердые тела с бесконечно б ол ьш ой теплопров одн ос тью. Если тело имеет очень большую тепло- Рис 4-1 Однородпроводность и низкий коэффициент теплообмэна, то тепловой поток к телу или от тела главныы образом определяется конвективным,сопротивлением и в теле ли~бо имеют |место малые градиенты температуры, либо они совсем отсупствуют, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
