Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако необходимо сохранить постоянную температуру поверхностей, чтобы поверхность была изотермической в задаче о подземном кабеле. З-а. ЛВУХМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Уравнение теплопроводности для изотропных однородных материалов в двух измерениях, в которых раопределенне температуры во времени, постоянно при отсутствии источников тепла, можно записать в следующем виде: Это уравнение может быть истолковано в результате использования комплексного переменного'. Рассмотрим рис. 3-22, на котором изображена плоскость г, причем г=х+юу. На этой ~плоскости нанесены следы плоскостей Ф и ф, которые связаны с г посредством Рис.
З-92. Потенциальная функ- выражения ° ция тока в комплексной области. Ф + ю ф = )." (х + юу) = ~ ( г), Ф и ф — сопряженные функции комплексной переменной, Поэтому можно записать следующие соотношения: дФ .дй, . дФ .дй — +юд— =~'1г)' д +ю'д — =ю)'1г) Отсюда, разделяя и приравнивая действительные и мнимые части, получаем соотношения Коши — Римана: дф дт ду дх дФ дт дх ду 13-72) ' См., например И. С, и Е. С. Сокольниковы, Высшая математика для инженеров и физиков, 1941 [Л. 14). 91 Следы Ф=сопзт и ар=сонэ(, таким образом, взаимно о р т о г о н а л ь н ы, т.
е. перпендикулярны друг другу в точках пересечения. Другим свойством сопряженных функций является то, что,,каждая из них удовлетворяет у~равнению Лапласа. Это свойство можно продемонстрировать, дифференцируя уравнение (3-72) по частям, сначала по х, а затем по йч д*ф д'~ ду дх дх' дтф д24 дх ду ду' даф д'ф д'ф даф ду' дх ду дх' дх ду Из этих соотношений получаем два уравнения Лапласа: даф д~ф — + — =О; дха дуа (3-73) — л — = — л сов 0 — — л з(п 0 — . дф дф . дф ди дх ду ' Когда эти условия используются применительно к уравнению (3-72), это уравнение примет вид: — Ь вЂ” = — йсоз0 — +2з1п0 — = — А —. (3-74) дф дф . дф дй да ду дх да' (Уравнение (3-74) графически изображено на рис. 3-23.) Поэтому дф д4 дл да ' (3-75) * Сопряженные функции в уравнении Лапласа обычно называются потенциальной функцией и функцией тока.
Здесь зто соответствует температуре и потоку тепла соответственно. 92 Если принять, что ф=т обозначает температуру, то ф должна обозначать линию теплового потока и поэтому относиться к Я". Рассмотрим рис. 3-23, на котором изображена система координат г, и, расположенная таким образом, что и перпендикулярна к изотерме, а з является касательной к ней в этой же точке. Для потока тепла, направленного вдоль и, мы можем написать: В частности, если отрезки линий постоянной температуры и тока тепла берутся в конечных приращениях, то уравнение (3-76) может быть заменено следующим приближенным выражением: й( дл (3-76) Уравнение (3-76) полностью справедливо, когда скорости изменения Ф и зр постоянны.
Из уравнения (3-?6) следует, что плоскость будет разделена на криволинейные квадраты, если ЛФ=Ьф и приросты достаточно малы.' Чем Ряс. 3-23. Соотношения компонентов произ- водных от функции потока. меньше прирост, тем ближе криволинейные квадраты к геометрическим квадратам.
Уравнение (3-76) имеет важное применение в технике графических расчетов, которая будет использоваться в следующем разделе. Природа ф функции потока может быть выражена, если ' Криволинейные ываараты — близкое приближение к обычным квадратам только в пределе, когда число квадратов стремится к бесконечности. В конечном виде криволинейные квадраты могут быть использованы'в конструировании, когда нужно получить стороны с такой длиной, чтобы средние длины противоположных друг другу сторон были равны. Внутренние углы, конечно, равны и/2 в каждом случае.
93 мы вычислим поток тепла, проходящий через элементарн ую площадь (рис. 3-24): где Т, — измерение, перпендикулярное к плоскости чертежа. Интегрируя уравнение (3-76) по высоте (у,— у,) с помощью уравнения (3-72), мы опять получаем: ) д а ~д а ) дк дд Таким образом, п7х — а тк ап'. (3-78) или функция тока ф принимает вид: (3-79) Таким образом, функция тока ф — общий поток тепла, рассчитанный на единицу теплопроводносли и единицуглубины. Если ф постоянно, тогда величина потока тепла Я поатоянна и поверхности, вы- Д п„раженные линиями фп и фь образуют трубку тока тепла, в которой Я вЂ” постоянно.
Р4КПа/ Графическое изображение 5, потока. Изложенное в последних параграфах можно игопользовать при решении двухмерлоцп4у ных стациона!рных задач теплоправодности,,применяя 'способ, известный под названием графического изображения потока. Р с. 3-24, Фу ис. - 4. Функция тона. В основе этого метода лежит зарисовка от руки линий тока (лишний течения) и потенциальных линий с соблюдением правил, относящихся к ортогональньпм линиям в криволинейных квадратах.
Таким образом, вычерчивается сетка линий то к а или гр а- 94 ф и к п о т о к а. Далее гриводится описание етого метода. Рассмотрим параллелепипед (рис. 3-25), верхняя и нижняя поверхности которого имеют аостоянные температуры соответственно г1 и 1,, а другие поверхности полностью изолированы. Верхняя поверхность может быть совершенно исключена, чтобы образовать произвольное число проходов для теплового потока (трубок тока).
Линии, изобраг жаюшие изотермы, могут быть вычерчены с интервалами Лу, сохраняя при этом зу=бх и условия перпендикулярности изотерм и линий ~потока тепла в точках их пересечения. Поток тепла через трубку теплового потока раве|и (3-80) ЬЯ = — л1.ах — . ар Уравнение (3-80) можно записать аналогично уравнению (3-78) для условия Ьу=бх: (3-8 1) Построение должно быть продолжено до тех пор, пока поле потока Н будет исчерпано.
В результате имеем Мс трубок тока и Фл приростов температуры Ы. Весь поток тепла в теле, очевидно, является суммой приростов потоков тепла, обусловленной общей разностью температуры: (3-82) где г, ) га. При построении принималось Ьх = Ьу; отсюда О лс и. м (3-83) Отношение )ч' /Мл —— с есть коэффициент формы' тела. Коэффициент формы тела — чисто геометрическая величина и может быть определен раз и навсегда для любой данной ' Термнн «коэффнцнент формы» используется часто прн изучении теплообмена н каждый раз имеет различное значение, которое читатель легко усвоит. Общее для всех коэффициентов формы это то, что онн определяют геометрию н поэтому в каждом отдельном случае для каждого рассматриваемого тела определяются раз н навсегда. 95 системы.
На рис. 3-25 коэффициент объема тела может быть вычислен путем подсчета и колонок и рядов ос 5 Ул 6 Легко показать, что если линии теплового потока поменять местами с изотермами (это более соответствует горизонтальному потоку тепла, чем вертикальному), коэффициент формы с' для этой сменной задачи является обратной величиной, определяемой уравнением (3-84): 5'= —. Рассмотренная система была очень простой и как таковая имеет значение только в качестве иллюстрационного примера.
Однако описанный метод применим не только к ~простейшим системам. Он часто очень полезен для быстрого получен~ни приближенных результатов. (3-84) Рис. 3-26. Температурное поле и линии потока тепла в Е-образном теле при стационарном режиме. Рис. 3-25. Схема для расчета потока тепла в параллелепипеде при стационарном ре. жиме. 96 Пример 3-6. Рассмотрим распространение потока тепла в стенке канала квадратного сечения с постоянными температурами поверхностей. Поскольку канал симметричный, рассмотрим только один угол.
На рис. 3-26 схемавнчески изображены нзотермы и линии теплового потока, при построении которых уделялось внимание вычерчиванию результиРуюпгих кРиволинейных квадратов. Коэффициент формы можно легко определить, подсчитав, что число линий теплового потока 1О, а линий прироста температур 4. Поэтому коэффициент фоРмы Дгс 20 = — = — = 2,65 Фл 7 и поток тепла, передаваемый благодари теплопроводности, г7 =2,85ХЕ(~,— т,). Поток тепла можно вычислить, зная характеристики материала, из кото. рого сделаны стенки канала, и падение температуры на толщине стенки'. Метод релаксации.
Решение двух (трех) мерного уравнения тепло~проводности с источником тепла или без источника тепла можно полу шть прн ,помощи численного метода, разра- У ботанного Саусвеллом (Л. 16, !7, 2 18] и называемого методом релаксации. Этот метод |применяется глав- а ным образом при решении урав~не- лсжрз ния Лапласа — ~Пуассона, но здесь г л его обсуждение связано с задачей а ] а теплопроводности. а При стационарном режиме без внутренних источников тепла уравнение Лапласа является дифференциальным уравнением, решение ко- Рис.
3-27. Система коорторого с учетом соответствующих динат для метода граничных условий опрсделяет в результате стационарное температурное ~поле в теле, в котором отсутствуют источники тепла: д»г 3»т (3-85) Рассмотрим точку' Р (х, у) в теле, через которую проходит система прямоугольных координат (рис. 3-27). Другие точки в этом теле могут располагаться на небольших расстояниях от Р (х, у) таких, как Р(х+ а, у), Р(х, у+а), Р(х — а, у), Р (х, у — а). Они для удобства соответственно пронумерованы 1, 2, 3, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
