Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Зависимость теплопроводности от температуры для отдельных небольших диапазонов температуры может быть .приемлемо выражена в линейном виде: ~=х,((+3(), (2-5) гдег 2, — величина теплопроводности при некоторых начальных условиях; р — температурный коэффициент, он может быть положительным или отрицательным в зависимости от материала. Рис. 2-3 показывает изменение температурного градиен. та в теле в зависимости от того, положительно или отрицательно р. Легко понять, что линейный градиент температуры существует только при постоянной твплопроводности.
Ф вЂ” М8 49 Интересно отметить, что уравнение Фурье для теплопроводности совершенно аналогично закону Ома для электрического проводника. Вакон Ома для проводника любой формы можно выразить так: г(1 = — ЫА — „. дЕ дп ' (2-6) В уравнении (2-6) электрилеский ток соответствует аотоку тепла Я, электрический потенциал Е соответствует температуре г и электропроводность о (а=!~р, где р — электрическое сопротивление) соответствует твплопроводности. Поскольку уравнения (2-2) и (2.6) имеют один и тот же Рис.
2-3. Распределение температуры в простой плите. Рис. 2-2. Направление потока ° тепла. 2-З. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В этом разделе приводится вывод уравнения теплопроводности в виде дифференциального уравнения в прямоугольной системе координат. Дифференциальный вид уравнения теплопроводности являетдя наиболее удобным, 50 вид, то температурное поле внутри нагретого тела и поле электрического напряжения в телах такой же формы аналогичны при условии, что распределение температур на поверхности соответствует поверхностному распределению электрического напряжения.
Эта аналогия способствует более детальному уяснению задач твплопроводности при помощи подобных электрических цепей. Рис. 2-4. К выводу уравнения теп- лопроводности. сй~, = — 2дудг — . Величину теплового потока, выходящего из объема вдоль оси х, можно получить, разлагая оЧ~„в ряд 'Тейлора и сохраняя только первые д~ва члена, как достаточное .приближение: "~х+Зх — '~х+ дх ("~х~' +" Приращение потока тепла, вызванного теплопроводностью в направлении х, будет: дЯ вЂ” Й~ = — (Х вЂ” ) Йхйудг. (2-7) Два уравнения, подобных уравнению (2-7), для направлений у и г можно записать подобным же образом: йЯ вЂ” сИ~ = — ~А — ) дхйуйг; д / дхт у «+ги ду ( ду) аЯ вЂ” гй'„) = — (Х вЂ” ) йхйуйг. Сумма приращений тепловых потоков является тем количеством тепла, которое должно накопиться в объеме: ~,— „(2; — )+ — ( д )+д, ( д,)13хйуйг.
(2-8) 51 Уравнение тейлопроводности для изотр оп ных м а терн алов. Рассмотрим бесконечно ма- ' лый объем пространства с измерениями ~х, бу и бг, изображенный в трехмерной системе координат х, у и г, г как показано на рнс.,2-4. х'7г.дг Рассмотрим также и,песта- м ((„„64 ционарные условия, т. е. из- 6 менение температуры врет ф мени т. l ! Согласно закону тепло- ддх -~! .- игах проводности Фурье тепло, у,» уг протекающее в элементар- ай» г ный объем вдоль оси х, дг можно записать в виде: "уг Если за единицу времени в едннннном объеме возникает количество тепла Я'(х, у, а, т), тогда накопление тепла в элементарном объеме будет равно: (2-9) Тепло, которое осталось в элементе объема благодаря проводимости 1уравнение (2-8)] и тепло, выделившееся в самом объеме )уравнение (2-9)), увеличивает тепловую энергию элемента объема.
Такое увеличение тепловой энергии вызывает изменение теплоемкости элемента объема и может быть записано: ср3хйуВг — > д>: (2-10) где с — удельная теплоемкость; р — плотность; ч — время. Баланс энергии для элемента объема может быть составлен путем приравнивания изменения содержания тепла в элементе объема к потоку тепла, поступающему благодаря теплопроводности и теплу, образовавшемуся в самом элементе: сг ~~ — — д (Х э — )+ э (А д )+д (Ха— )+ Я'. (2-11) Здесь следует отметить, что (х, д> я, г)> с> с(х, д> 3> 1) н р> й(х, д> я, 1).
Таким образом, (2-11) справедливо для нзотропных, гетерогенных сред. Если член уравнения, выражающий тепловыделение в объеме, можно опустить (тело свободно от источников), то (2-11) можно записать в проекции на три осн координат как д> д д д — срыв 8 01х)+а Ю+ а (су,).
(2-12) Это выражение носит более общий характер и будет полезно в разделе, посвященном неизотропным материалам. Уравнение (2-11) можно упростить применительно к изотропным однородным материалам, и если величина теплопроводности считается величиной постоянной; таким образом, 52 Комплекс х/рс имеет размерность, квадрата линейногб измерения, деленного на время, и называется температуропроводностью а. Он характеризует свойства материалов.
Уравнение теплоп ров одности в цилиндрическойй системе ко ор дина т. ~При агомощи агреобра- Рис. 2-б. Сферическая система координат. Рис. 2-5, 1Аилиндрическая система координат. зования системы координат (2-13) может быть записано в виде, более удобном для цилиндрической системы.
Таким образом, в соответствии с рис. 2-5 х=гсозб; у=г з(пд; а=а — =а~ — + — — + — — + — )+ —. (2-14) дг гдм !дт 1 дн днх Я' дт ~дга г дг г' дз' дг') рс' Уравнение теплоп ров одности в сферической системе координат. Подобное преобразование для сферической системы (рнс. 2-6) приводит к следующим выражениям: х=г$1пфсоаф; у=гз1пф51пф; е гсозф; (2-15) Уравнение теплопроводности для анизо- тропных м а те риалов. В предыдущем разделе полу- чено уравнение теплопроводности для изотропных сред.
53 Некоторые, технически вйжйые слоистые материалы име)бт теплопроводность весьма заметно изменяющегося в зависимости от,направления потока тепла, проходящего через тело. К этой категории материалов относятся кристаллические вещества, дерево, сложные пластинки и ~металлы, использующиеся в якорях,трансформаторов, и фанера. Чтобы применить к этим анизотропным материалам уравнение теплопроводности, его необходимо соответственно пересмотреть. Обычная форма этого уравнения очень сложная (Л.
5) и поэтому не рассматривается в этой книге; однако Рис. 2-7. Поток тепла в аиивотропной среде. основные понятия будут рассмотрены в случае двухмерного измерения. Тэплопроводность в случае двухмерного измерения распределена таким образом, что максимальные и ~минимальные значения имеют место по «предпочтительным» осям или, как их называют, г л а в н ы,м ос я м.
Величины теплопроводности в других направлениях имеют промежуточные значения. Распределение теплопроводности можно представить эллипсом, оси которого соответствуют максимальному и минимальному яиачениям теплопроводности. Рассмотрим тело, расположенное в (х, у) системе координат (рис. 2-7), которая образует угол р с главными осями теплопроводности материала. Система координат (я, П) совпадает с главными осями теплопроводности.
Потоки тепла через тело в направлении координат 5 и т): дГ . дà — — = — л Едй' и едЧ' 54 Потоки в направлениях х и у будут: д~ у — д совр — у япр — — Х совр + +Х в!пр— (2-!6) д =д в1п~+~ сову — — х япр —— д~ — х совр— д1 з дл Температурный градиент может быть преобразован в градиенты х и у следующими соотношениями: д~ д1 дх д1 ду + де дх дВ ду д~ д1 д1 дх д1 ду + дз дх дя дуда и согласно геометрии фигуры у=вин~=л1сов~; х=$совр= — яв(пр.
Подставляя эти значения в чравнения (2-16) и преобразуя их, получаем для потоков тепла = — (зевсов р +х яп р) — (1в — А ) совр в1п р —; д = — Я — Х ) в1прсовр д— — ~А.,в1п'~+А сов'я )д . (2-17) и тд~ Применяя уравнения теплопроводности в общем виде 1уравнение (2-12)) тепловых потоков [уравнение (2-17)], можно написать уравнение теплопроводности в двух измерениях для неизотропных материалов в виде: руд — — — (1 сов'у+1 в(п'~)) —,+ дС ди + (3.
я п' ~ + Х сов' ~) —, + Я вЂ” Х ) в!п 2~ — . (2-18) Для изотропной среды Х~ — — Х и у=О. Для этих условий уравнение (2-18) сокращается дадвухмерного уравнения (2-13). Интересно отметить, что если .пластинку нз аннзотроп.ного материала зажать между изотермичеокнми поверхноСтяын испытываемой теплопроводящей системьв и если пла- ву стина образца приготовлена так, что ее главные оси составляют угол (1 с изотермическими поверхностями, то измеряемые теплопроводности (зависящие от того, проводились ли измерения по иаправления~м х или у) выражаются как Х =Х соз*р+Х з)пар; 2л = А яп' р + 2, сов' р. Ь' Если геометрические оси аиизотропного тела совпадают с главными осями теплопроводности, тогда уравгение (2-18) упрощается: дс дм дм рс — =2 — +2 —.
дт 1дса ч дч' ' (2-19) Для древесины, которая имеет различную теплопроводность вдоль волокна з и поперек волокна г и по окружности 6, можно использовать идею уравнения (2-19) применительно к Рис. 2.8. Вектор потока тепла в слоистом материале. уравнению (2-14), располагая ось г по линии центра дерева и пренебрегая членом, выражающим источник тепла: таким образом, в цилиндрических координатах Пример 2-1. Плита (пластина) слоистого материала используется в опыте на теплопроводность.
Слои составляют угол 1 с гладкими поверхностями образца (рис. 2-8), Поверхности А сохраняют постоянную, но различную температуру и, таким образом, являются изотермическими поверхностями. Требуется вычислить угол, составленный вектором тепло- його Йотока с перпендикуляром' л к нзотермическим,йоверхностям. )[з рис. 2-8 можно сделать вывод, что для Л! ) Л у Л дг [64 !йт= = Л, дт[дй. у! Л! l~ Но на основании более ранних расчетов д! д! д! . з1П р +сов р дч дх ду ' д! д! д! — = соз р — + 3! п [) —, д$ дх ду ' Лч [соз р (д!/ду) — з1ц ~ (д!/дх)! Л! [соз г (дг1дх) — з! и р (дг!ду)[ отсюда (а) !и У = — „стй Р= Л !и а. Л! ! Следовательно, тк а и вектор теплового потока не перпендикулярен к изотермической поверхности, как это имело бы место, если бы материал был изотермическим.
Если Лая-— 2Л среда †дере и й = 45', тогда 1, тат- 2 ' у =26,6'. ЗАДАЧИ 2-1. Предложите метод измерения теплопроводнасти жидких метал. лов нрн высоких температурах. Укажитс схематически основные части прибора и определите погрешность предложенного измерения. 2-2. Используя цилиндрическую систему координат, разверните уравнение (2-14) по образцу уравнения (2-11). 2-3. Используя сферическую систему координат и малый элемент объема в втой системе координат, разверните уравнение (2.15) по образцу уравнения (2-11). 2-4. Составьте уравнение теплопроводности для анизотропной среды в трех измерениях, полагая, что Л,!6Л =Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
